Werk:Die mathematischen Schriften/Von den Mathematischen Ergänzungen

(De mathematicis complementis)

Dem Heiligen Vater, Nikolaus V., widmet der Kardinal von St. Peter in den Ketten seine Abhandlung

Von den Mathematischen Ergänzungen

Vorrede

Groß ist die Mächtigkeit des hohenpriesterlichen Amtes, das Du innehast, Heiliger Vater Nikolaus, Deines Namens der Fünfte! Alle, die seine Gewalt mit Aufmerksamkeit betrachten, setzen sie dem gewissermaßen stärksten Vermögen gleich, das d a ist, den Kreis ins Quadrat und das Quadrat in den Kreis überzuführen. Ja, auf Dir ruht nicht nur die Schlüsselgewalt des Primates, die Macht des Wissens und der höchsten kirchlichen Würde, sondern schon wegen Deiner angeborenen glücklichen Veranlagung giltst Du auf allen Wissensgebieten als vollendeter Meister von unvergleichlichen Kenntnissen. In aller Großzügigkeit und mit wunderbarer Umsicht hast Du dahin gewirkt, daß sämtliche noch auffindbaren Schriften der Alten, die der Griechen und die der Lateiner, in peinlich genauer Überlieferung uns allen zugänglich wurden, wobei Du auch die von unseren Vorfahren hochgeschätzten geometrischen Schriften nicht außer acht gelassen hast. Jüngst erst hast Du mir die geometrischen Schriften des großen Archimedes übermittelt, nachdem sie durch Dein Bemühen aus dem Griechischen, wie sie Dir zugegangen sind, ins Lateinische übertragen waren. Sie sind mir so bewundernswert erschienen, daß ich mich ihnen mit aller Hingabe widmen mußte, und so ist es gekommen, daß ich als Ergebnis meines eigenen Forschens und Arbeitens eine Ergänzung angefügt habe, die ich mir erlaube Deiner Heiligkeit zu widmen. Dich allein weiß ich nämlich würdig, daß durch Dich allgemein bekannt werde, was den Jahrhunderten verborgen blieb. Es handelt sich ja nicht nur um das, was hinsichtlich der gesuchten Quadratur des Kreises immer wissensmöglich war, sondern meiner Meinung nach läßt sich aus meinen Darlegungen auch eine Einsicht gewinnen, die für jede vollkommene mathematische Überlegung eine Ergänzung bedeutet.

Erstes Buch

Nach dem Zeugnis aller, die sich geometrischen Fragen gewidmet haben, kam niemand der Quadratur des Kreises näher als Archimedes. Er hat erkannt, daß er sie nur dann wirklich erreichen kann, wenn sich die krumme Kreislinie in eine Gerade ausstrecken läßt, und deshalb lat er versucht, diesen Kunstgriff mittels seiner Spirale zu leisten. Aber die Bewegung eines Punktes vom Mittelpunkt aus über den Halbmesser hin verhält sich zur Bewegung eines zweiten Punktes, der sich in der nämlichen Zeit über den Kreisumfang hin bewegt, wie der Halbmesser zum Umfang. Ohne dieses Verhältnis läßt sich die Spirale nicht beschreiben; dies ist jedoch nicht bekannt, sondern gesucht. Daraus sieht man, daß Archimedes hier versagt hat. Es wird nämlich leichter sein, den Kreis zu quadrieren, als die Spirale zu beschreiben und am Ende eines Umlaufs an sie die Tangente zu zeichnen. Nach dem, was Archimedes hinterlassen hat, bleibt dieser Kunstgriff also bis zur Stunde völlig im Verborgenen. Obwohl ich gelesen habe, daß — ich weiß nicht wie viele — mit dieser Aufgabe vergeblich gerungen haben, habe ich trotzdem den Versuch unternommen, ob sich diese Schwierigkeit vielleicht beheben ließe mittels der Koinzidenzen, da ich ja auf anderen Wissensgebieten die Stärke ihrer Schlußkraft erfahren hatte. Und es hat sich mir gezeigt, wenn man die wohl allgemein zugestandene Lösbarkeit voraussetzt, so läßt sich sowohl die theoretische wie die praktische Behandlung dieser Aufgabe leicht auf die folgende Art gewinnen:

Abb. 25.

Erstens ist zu beachten, daß in einem Vieleck oder Polygon mit gleichen Seiten ein Punkt gleichen Abstandes von den Mitten und Endpunkten der Seiten Zentrum heißt, und daß die von jenem Zentrum aus zur Seitenmitte gezogene Linie der Halbmesser des dem Vieleck einbeschriebenen Kreises ist und Prim heißen soll; eine zweite vom nämlichen Zentrum aus nach einem Seitenende oder einer beliebigen Ecke gezogene Linie ist der Halbmesser des dem Vieleck umbeschriebenen Kreises und soll Sekund heißen. Diese beiden Linien sind in jedem Vieleck von verschiedener Größe, und sie unterscheiden sich um s o mehr, je größer die Vieleckseite ist; denn das Quadrat der Sekund — als Gegenseite zum Rechten Winkel im rechtwinkligen Dreieck — enthält — wie Euklid bewiesen hat —, das Quadrat der Prim und das Quadrat der halben Seite. Weil die erste geradlinige Figur das Dreieck ist, ist im Dreieck die Differenz zwischen Sekund und Prim am größten. Im Kreis fallen sie zusammen, weil dort das Zentrum vom Umfang überall gleichen Abstand hat; Mitte und Endpunkt einer Seite fallen nämlich zusammen und überall ist eine Ecke. Im Dreieck ist die Prim also a m kürzesten, die Sekund am längsten. Im umfangsgleichen Quadrat ist die Prim nach der Dreieck-Prim die kürzeste, ebenso die Sekund nach der Dreieck-Sekund die längste und s o fort. Die Prim in einem derartigen Quadrat ist demnach länger als die Prim im Dreieck. Wenn man nun die Quadrat-Prim mit dem halben Umfang multipliziert und ebenso die Dreieck-Prim mit dem nämlichen halben Umfang, so sind die entstehenden Flächen, die jeweils gleich den Vielecken sind, verschieden groß . Der Überschuß der Fläche, die durch Multiplikation der Quadrat-Prim mit dem halben Umfang entsteht, über jene Fläche, die aus der Multiplikation der Dreieck-Prim mit dem nämlichen halben Umfang hervorgeht, ist daher der Überschuß der Quadratfläche über die Dreieckfläche. So läßt sich also für alle Vielecke aus dem Überschuß einer beliebigen Vieleck-Prim über die Prim des umfangsgleichen Dreiecks der Flächenüberschuß eben dieses Vielecks über die Dreieckfläche finden. Je kleiner aber der Unterschied zwischen Sekund und Prim ist, umso größer ist der Überschuß der Vieleck-Prim über die Dreieck-Prim, und weil im Kreis Prim und Sekund zusammenfallen, ist der Überschuß des Halbmessers im umfangsgleichen Kreis über die Prim des Dreiecks der größte Überschuß, und daher ist auch der Flächenüberschuß des Kreises über das Dreieck der größte. Ein und dieselbe Strecke als Umfangslinie ist im Dreieck in drei Seiten ausgespannt, im Quadrat als dessen Umfang in vier und weiterhin noch mehr im Fünfeck; wenn sie aber a m stärksten ausgespannt ist, so daß sie sich nicht mehr weiter ausspannen läßt, so wird sie zum Umfang des Kreises. Daraus erhellt: Wenn das Dreieck, wo Prim und Sekund sich am meisten unterscheiden, den kleinsten Flächeninhalt hat und der Kreis, wo Prim und Sekund zusammenfallen, den größten, dann wird in den dazwischen liegenden Vielecken dieses Verhältnis entsprechend sein. Wenn man daher den Überschuß der Kreisfläche über die Dreieckfläche proportional setzt der Differenz von Sekund und Prim im Dreieck, dann wird der Überschuß der Kreisfläche über die Quadratfläche proportional sein der Differenz von Sekund und Prim i m Quadrat und so fort: aus einem größeren Uberschuß der einen VieleckPrim über eine andere folgt nämlich, daß im größeren Vieleck die Differenz zwischen Sekund und Prim kleiner ist als im kleineren. Wenn also der Überschuß einer beliebigen Vieleck-Prim über die Dreieck-Prim gegeben ist, und dazu der Unterschied zwischen der Differenz von Sekund und Prim im größeren Vieleck und der Differenz von Sekund und Prim im Dreieck, dann läßt sich der Halbmesser des isoperimetrischen Kreises finden; sein Umfang ist nämlich gleich den drei Dreieckseiten oder den vier Quadratseiten. Wenn man ihn kennt, steht der Qua-dratur des Kreises nichts mehr entgegen; denn multipliziert man den Halbmesser dieses isoperimetrischen Kreises mit dem halben Umfang, so entsteht eine Rechteckfläche, die — wie Archimedes ohne Schwierigkeit gezeigt hat — weder größer noch kleiner sein kann als die Kreisfläche. Diese Rechteckfläche läßt sich in ein Quadrat verwandeln, dessen Seite das geometrische Mittel zwischen dem Kreishalbmesser und dem halben Kreisumfang ist, wie man bei Euklid VI, 9 findet. Obwohl dies alles handgreiflich klar ist, will ich es doch auch jenen völlig aufhellen, die auf das Studium der Mathematik keine Mühe verwendet haben. Vieleckfiguren mit gleichen Seiten und gleichen Umfängen — und von solchen spreche ich — findet man im Gleichklang mit der griechischen Sprache bei einigen als isopleure und isoperimetrische Polygone bezeichnet.

Abb. 26.

Wenn man eine Gerade mit einer Geraden multipliziert, entsteht eine Rechteckfigur, und wenn man die nämliche Gerade mit der doppelten Strecke multipliziert, entsteht die doppelte Fläche und so fort. Und wenn man aus einer Ecke zur gegenüberliegenden eine Gerade zieht, so ist dies ein Diameter [eine Diagonale], weil sie die Fläche zweiteilt.

Wenn man z. B. die Linie $ab$ mit $bc$ multipliziert, entsteht eine Viereckfigur $abcd$ mit vier rechten Winkeln, und wenn man $ab$ mit $be$, dem Doppelten von $bc$, multipliziert, entsteht das Rechteck $abef$, das doppelt so groß ist wie $abcd$; $ac$ ist Diagonale, ebenso auch $ae$.

Satz 1

Abb. 27.

Die Multiplikalion der Prim mit dem halben Umfang ergibt die Fläche des Vielecks.

Es sei $abcd$ ein Quadrat — eine Figur mit vier rechten Winkeln und gleichen Seiten; um das Zentrum $e$ soll ihr ein Kreis einbeschrieben werden derart, daß er die vier Quadratseiten in ihren Mittelpunkten berührt. Von $e$ aus soll zum Berührpunkt des Kreises mit $ab$ die Linie $ef$ gezogen werden; dies ist die Prim, weil sie der Halbmesser des einbeschriebenen Kreises ist. Ferner werde die Linie $eb$ gezogen, und ebenso von $e$ aus zum Berührpunkt des Kreises mit der Seite $bd$ die Linie $eg$. Die Strecke $fb$ werde verdoppelt, dies ergibt $fh$; ebenso werde $eg$ verdoppelt, dies ergibt $ei$. Mit $ih$ werde das Rechteck geschlossen und die Diagonale $el$ gezogen. Aus dem Vorhergehenden ist klar, daß die Dreiecke $efb$ und $ebh$ gleich sind. Das erstere ist nämlich die Hälfte des ersten Rechtecks, weil $eb$ Diagonale ist; Dreieck $efh$ ist die Hälfte des zweiten Rechtecks, weil $eh$ Diagonale ist; dieses zweite Rechteck ist aber das Doppelte des ersten. Es ist also Dreieck $ebh$ gleich Dreieck $efb$. Nun sollen die Strecken $fh$ und $ei$ verdoppelt werden; $fk$ sei das Doppelte von $fh$ und $el$ das Doppelte von $ei$, die Linie $lk$ schließe das Rechteck. Da Dreieck $efb$ ein Achtel des Quadrates $abed$ ist, ist Rechteck $efkl$ gleich dem Quadrat $abed$; $fk$ ist aber die Hälfte des Umfangs von $abcd$ — sie ist nämlich gleich zwei Quadratseiten, und die Prim $ef$ ist mit dem halben Umfang multipliziert. Daher gilt die Behauptung. Und wie im Quadrat, so gilt sie ebenso in allen Vielecken; denn alle Vielecke lassen sich in doppelt so viele rechtwinklige Dreiecke zerlegen als sie Seiten haben, und das Verfahren ist das nämliche wie vorher.

Satz 2

Der Umfang eines Vielecks, das einem Kreis umbeschrieben ist, ist größer als der Kreisumfang, und zwar um so größer, je weniger Seiten das Vieleck hat. Das Umgekehrte gilt, wenn das Vieleck dem Kreis einbeschrieben ist.

Abb. 28.

Es werde dem Kreis $abc$ das Dreieck und das Sechseck $defhik$ umbeschrieben; aus dem Zentrum $g$ werde der Kreishalbmesser $ga$ gezogen, der gleichzeitig im Dreieck und im Sechseck Prim ist. Multipliziert man nun $ag$ mit dem halben Dreieckumfang, so ist das entstehende Rechteck gleich der Dreieckfläche. Die Dreieckfläche umfaßt die Fläche des einbeschriebenen Kreises; die Kreisfläche ist also kleiner, weshalb auch der Kreisumfang kleiner ist als der Dreieckumfang — und ebenso ist der Umfang des Sechsecks kleiner als der Umfang des Dreiecks und der Umfang des Kreises kleiner als der Umfang des Sechsecks; also gilt die Behauptung. Für einbeschriebene Vielecke gilt das Umgekehrte; denn hier ist die Fläche des Kreises größer. Deshalb ergibt sich das ihm flächengleiche Rechteck durch Multiplikation des Halbmessers mit einer Strecke, die größer sein wird als der halbe Umfang irgendeines ihm einbeschreibbaren Vielecks. Die Kreisfläche enthält also die Fläche des einbeschriebenen Sechsecks und diese die Dreieckfläche. Der Umfang des Kreises muß also der grölite sein, dann folgt der des Sechsecks und zuletzt der des Dreiecks. Und so ist es in allen Fällen.

Satz 3

Von einer Geraden und einem Kreisbogen ist die kürzere Linie diejenige, die der anderen unterspannt ist; unter mehreren wird die kleinere Unterspannte von der sie überspannenden Linie weniger übertroffen.

Der dritte Teil des Kreisumfangs, der der Dreieckseite unterspannt ist, ist kleiner als diese Seite, und ebenso ist der sechste Teil des nämlichen Kreisumfangs, der der Sechseckseite unterspannt ist, kleiner als die Sechseckseite. Und da dieser Sechseckumfang kleiner ist als der Dreieckumfang, wird ein Sechstel des Kreisumfangs von der Sechseckseite im Verhältnis weniger übertroffen als ein Drittel des Kreisumfangs von der Dreieckseite. Ebenso übertrifft ein Drittel des Kreisumfangs die Seite des einbeschriebenen Dreiecks im Verhältnis mehr als ein Sechstel des Kreisumfangs die Seite des einbeschriebenen Sechsecks.

Satz 4

Der einem Vieleck umfangsgleiche Kreis ist größer als der Inkreis und kleiner als der Umkreis des Vielecks, und je mehr Seiten das Vieleck hat, um so näher kommt es diesen Kreisen.

Das ist klar; denn die Vieleckseite ist kleiner als der Bogen, dem sie unterspannt ist — dieser Bogen ist aber ein Bogen des Umkreises — , und größer als der Bogen, der ihr unterspannt ist - dies ist der Bogen des Inkreises —. Und d a Inkreis und Umkreis sich näher kommen, wenn das Vieleck mehr Seiten hat, so kommen sie auch dem isoperimetrischen Kreis näher.

Satz 5

Zwischen ein beliebiges einbeschriebenes Vieleck und den Kreis können Vielecke in unbegrenzter Zahl fallen, die größer sind als das Ausgangsvieleck und hileiner als der Kreis, ebenso znischen ein umbeschriebenes Vieleck und den Kreis Vielecke, die kleiner sind als das Ausgangsvieleck und größer als der Kreis.

Das erhellt aus der unbegrenzten Teilung des Kontinuums durch Proportionalteile (partes proportionales). Wenn nämlich die Sehne eines beliebigen Bogens gegeben ist, dann ist die Sehne des halben Bogens kleiner. So geht es ins Unbegrenzte; die Sehnen sind Seiten von Vielecken. Ebenso geht es hinsichtlich der Seiten in umbeschriebenen Vielecken. Wenn nämlich die Seite eines umbeschriebenen Vielecks gegeben ist, der ein Bogen unterspannt ist, dann ist auch eine kleinere Seite gegeben, der der halbe Bogen unterspannt ist, und so fort ins Unbegrenzte.

Satz 6

Das Rechteck, das sich ergibt aus der Multiplikation des Halbmessers mit dem halben Kreisumfang, ist weder größer noch kleiner als die Kreisfläche.

Das erhellt aus dem Vorhergehenden. Denn der Umfang eines Vielecks, das sich umbeschreiben läßt, ist größer als der Kreisumfang, wie auch seine Fläche größer ist als die Kreisfläche. Und der Umfang eines Vielecks, das sich einbeschreiben läßt, ist kleiner als der Kreisumfang, wie auch die Fläche kleiner ist als die Kreisfläche. Also ergibt die Multiplikation des Kreishalbmessers mit dem halben Kreisumfang eine größere Fläche als die Fläche eines jeden Vielecks, das sich einbeschreiben läßt, und eine kleinere als die Fläche eines jeden Vielecks, das sich umbeschreiben läßt. Wie sich zu einer gegebenen Fläche, die größer ist als ein einbeschriebenes Vieleck und kleiner als der Kreis, immer ein größeres Vieleck einbeschreiben läßt, so kann man zu einer gegebenen Fläche, die größer ist als der Kreis, immer ein kleineres Vieleck umbeschreiben. Also gilt die Behauptung.

Satz 7

Der Kreis übertrifft an Fläche alle umfangsgleichen Vielecke.

Das ist klar. Denn in allen Vielecken ist die Prim kleiner als die Kreis-Prim, und der Umfang ist in allen der nämliche. Die Multiplikation der Prim mit dem halben Umfang ergibt also im Kreis mehr als in irgendeinem beliebigen umfangsgleichen Vieleck.

Satz 8

Das umfangsgleiche Dreieck hat die kleinste Fläche.

Das ist klar. Weil das Dreieck die größte Seite hat, übertrifft es den Umfang des einbeschriebenen Kreises mehr als jedes andere Vieleck. Deshalb ist sein Inkreis kleiner als alle anderen Inkreise, also seine Prim die kleinste. Daher ist auch seine Fläche die kleinste.

Satz 9

Je mehr Seiten ein solches umfangsgleiches Vieleck hat, um so größer ist sein Inhalt.

Das ist klar. Da die Seiten kürzer sind, und das Quadrat der Sekund gleich ist dem Quadrat der Prim und dem Quadrat der halben Seite zusammen, unterscheiden sich Sekund und Prim weniger und nähern sich mehr der Prim des isoperimetrischen Kreises an; eine kürzere Seite nämlich wird vom Kreis weniger übertroffen.

Satz 10

In dem der Fläche nach größeren Vieleck muß die Prim notnendig länger, die Sekund kürzer sein.

Das ergibt sich aus dem Vorhergehenden. Denn da der Inkreis dem isoperimetrischen Kreis näher kommt, weil er größer ist und der isoperimetrische Kreis der größte ist, deshalb ist die Prim dieses Vielecks länger und seine Seite kürzer. Die kleinere Seite wird nämlich vom Bogen weniger übertroffen und kommt daher dem isoperimetrischen Kreis näher. Und weil die Seite kürzer ist, unterscheidet sich die Sekund von der Prim weniger und kommt so der Prim des isoperimetrischen Kreises näher; die Sekund ist also im flächengrößeren Vieleck kürzer. Und das ist der wichtigste Satz zur Auffindung dessen, was wir suchen.

Satz 11

Wenn man den Überschuß der Kreisfläche über die Dreieckfläche der Differenz von Sekund und Prim im Dreieck entsprechen läßt, so wird der Überschuß der Kreisfläche über die Fläche eines Vielecks zzwischen Kreis und Dreieck der Differenz seiner Sekund und Prim entsprechen. Und wenn man im Dreieck den Überschuß der Hälfte oder einem andern Bruchleil der Differenz von Sekund und Prim entsprechen läßt, so wird das Gleiche in den dazwischen liegenden Vielecken gelten-

Nimm an, es sei gesetzt: Der Überschuß der Kreisfläche über die Dreieckfläche entspreche der Differenz von Sekund und Prim im Dreieck. In Zahlen sei die Dreieck2®. In Zahlen sei die Dreieck-Prim 7, die Sekund 14; die Differenz ist 7. Die Prim des isoperimetrischen Kreises ist dann 14, weil sie um die Differenz größer ist als die Dreieck-Prim, und diese Differenz ist 7 . Ich behaupte: Die Prim des Kreises ist größer als die Prim irgendeines zwischen Kreis und Dreieck liegenden Vielecks um die Differenz von Sekund und Prim eben dieses Vielecks. Im Quadrat z. B., wo die Differenz 4 sei, übertrifft die Prim des Kreises die Quadrat-Prim um 4; die Quadrat-Prim ist also 10. Wenn Du behauptest, die Quadratfläche sei im Verhältnis zum Kreis gröBer, so muß die Quadrat-Prim länger sein. Sie sei nun 11; füge die Differenz dazu, so hast Du 15 [für die Sekund]. Und d a 15 größer ist als 14, ist die Quadratfläche nach dem Vorhergehenden kleiner. Sie ist also gleichzeitig größer und kleiner. Ähnlich verhält es sich, wenn Du behauptest, die Quadratfläche sei kleiner. Angenommen, die Prim sei 9, dann ist die Sekund 13 und somit kleiner als 14; deshalb ist die Quadratfläche nach dem Vorhergehenden größer. So ist sie also gleichzeitig kleiner und größer, was sich nicht vereinbaren läßt. Und diese Schlußweise gilt für alle Vielecke. Jetzt betrachte den folgenden Fall: Wenn man in einem Vieleck irgendeinen Bruchteil des Pfeils zur Prim hinzufügen muß, damit die Prim des Kreises entsteht, so fügen [um dieses zu erreichen] alle Vielecke den nämlichen Bruchteil hinzu. Um dies klar einzusehen, gehe so vor: Aus dem Vorhergehenden erhellt: Wenn die Prim des flächengrößeren Vielecks größer ist als die Prim des flächenkleineren, so ist sie immer noch kleiner als die Prim irgendeines anderen Vielecks; denn zwischen einem Vieleck, das sich kleiner als der Kreis geben läßt, und dem Kreis kann man größere Vielecke in unbegrenzter Zahl finden. Und so ist die Prim eines solchen größeren Vielecks immer kleiner als die Prim des Kreises. Wenn aber die Prim des Vielecks kleiner ist als die Prim des Kreises, dann ist die zugehörige Sekund größer als die Sekund des Kreises; sie ist also auch größer als die Prim des Kreises. Wenn man also setzt, daß [in einem Vieleck] durch Hinzufügen irgendeines Bruchteils des Pfeils zur Prim die Prim des isoperimetrischen Kreises entsteht, so wird es notwendig in allen zwischen Kreis und Dreieck liegenden Vielecken ebenso sein, wenn man der jeweiligen Prim den gleichen Bruchteil des zugehörigen Pfeils zufügt.

Nimm an: Im Dreieck erzeugen zwei Drittel des Pfeils, zur Prim addiert, die Prim des [isoperimetrischen] Kreises. Dann verhält es sich ebenso im Fünfeck, im Sechseck und in allen weiteren Vielecken. Wenn Du nämlich behauptest, in irgendeinem Vieleck sei diese Summe größer oder kleiner, so muß dies notwendig wegen der größeren Fläche [gegenüber dem Dreieck] der Fall sein. Wenn Du sagst, die Summe sei größer, so ist dies unmöglich; denn sie müßte kleiner sein als die Prim des Kreises, und weil diese gleich ist der Summe aus der Prim des Dreiecks und dem angegebenen Bruchteil des Pfeils, müßte die Summe also gleichzeitig größer und kleiner sein. Ebenso ist es, wenn Du sagst, der Fläche wegen sei die Summe kleiner; dann müßtest Du behaupten, sie sei gleichzeitig auch größer.Daraus ist auch das Folgende klar: Wenn sich zwei Vielecke so verhalten, daß der gleiche Bruchteil des jeweiligen Pfeils, zu seiner Prim addiert, das Gleiche ergibt, so muß dies notwendig in allen Vieleckeng gelten. Entweder liegen zwischen diesen beiden Vielecken weitere, wie z. B. zwischen dem Dreieck und Fünfeck das Quadrat liegt; dann muß es sich im Quadrat notwendig so verhalten wie im Dreieck und Fünfeck. Wenn Du nämlich behauptest, die [durch Addition] erzeugte Linie sei größer [als die entsprechende Summe im Dreieck], weil die Quadratfläche größer ist als die Dreieckfläche, so müßte sie auch kleiner sein [als die entsprechende Summe im Fünfeck], weil die Quadratfläche kleiner ist als die Fünfeckfläche. Ebenso ist es, wenn D u behauptest, die [durch Addition] entstehende Linie sei der Fläche wegen kleiner; sie ist nämlich gleichzeitig auch größer, und dies ist unmöglich. Der gleiche Schluß gilt auch, wenn Du sagst, die beiden Vielecke sollen unmittelbar aufeinander folgen, wie das Dreieck und das Quadrat, und wenn Du behauptest, im Fünfeck sei es nicht so. Wenn Du nun behauptest, die Summe [aus der Prim und dem angegebenen Bruchteil des Pfeils] sei im Fünfeck größer, weil das Fünfeck größer ist als das Dreieck, so läßt sich diese Behauptung nicht aufrechterhalten; denn schon das Quadrat ist größer als das Dreieck, ohne daß die [betreffende] Summe größer ist. Diese Summe wird im Fünfeck erst recht nicht größer sein, sondern eher kleiner. Ebensowenig gilt die Behauptung, daß die [betreffende] Summe im Fünfeck kleiner sei, wenn sie nicht schon im Quadrat kleiner ist. Es ergibt sich also offenbar ein Widerspruch, wenn in anderen Vielecken nicht das nämliche Ergebnis eintritt. Hierauf folgt: Wenn sich in zwei Vielecken durch Addition eines bestimmten Bruchteils des Pfeils [zur Prim] die gleiche Strecke ergibt, so ist diese der Halbmesser des isoperimetrischen Kreises. Da im isoperimetrischen Kreis Prim und Sekund eins sind, folgt: Wenn man den Primen der Vielecke irgendeinen bestimmten Bruchteil ihrer Pfeile hinzufügt, so ist die letzte, ob die Linien zunehmen, abnehmen oder festbleiben, immer die Prim des isoperimetrischen Kreises. Angenommen, man addiert zu den Primen ein Viertel des zugehörigen Pfeils, dann werden sie fortlaufend größer, und die letzte ist die größte und Prim des isoperimetrischen Kreises. Wenn man drei Viertel des zugehörigen Pfeils addiert, so werden sie fortlaufend kleiner, und die letzte ist die kleinste und Prim des [isoperimetrischen] Kreises. Wenn man einen derartigen Bruchteil addiert, daß sich in zwei Vielecken das Nämliche ergibt, dann ist es in allen so. Da also dann die letzte Summe ebenso groß ist wie die erste, ist eine jede Prim des Kreises. Daraus ist auch zu begreifen, daß die Kreisfläche jede Vieleckfläche übertrifft entsprechend der Strecke, die in jedem Vieleck das nämliche Verhältnis zum Pfeil hat. Und s o übertrifft auch jedes größere Vieleck alle kleineren entsprechend der Strecke, die in jedem Vieleck das nämliche Verhältnis zum Pfeil hat.

Abb. 29.

Dies läßt sich auch anders aufzeigen. Linie $ab$ sei Sekund im Dreieck und werde durch $c$ halbiert: errichte in $a,b,c$ die Lote gleich $bd$ und schließe die Figur durch die Linie $def$. Und weil $ac$ die Prim des Dreiecks ist, muß die Prim des isoperimetrischen Kreises größer als $fe$ sein; sie sei nun $fh$, und $eh$ betrage zwei Drittel von $ed$. Lege durch $h$ die Parallele $hi$ zu $bd$ und ziehe ebenso die Gerade $ch$. Es ist klar: Wenn $fh$ Prim des isoperimetrischen Kreises ist, dann müssen die Primen der zwischen Kreis und Dreieck liegenden Vielecke größer sein als $ac$ und kleiner als $fh$, und die Prim des größeren Vielecks kommt $fh$ näher. Es ist ebenfalls klar: $ai$ und $ih$ zusammen sind die um die Differenz von Sekund und Prim — das ist der Pfeil der Seite — vermehrte Prim des Dreiecks und zwei Drittel des Pfeils [dazu]. Ebenso lassen sich für die zwischen Kreis und Dreieck liegenden Vielecke zu $ai$ die Parallelen ziehen, die auf $ih$ und $af$ endigen; fügt man diesen Strecken die zugehörigen Reststrecken auf $ih$ hinzu, so sind sie gleich der Summe aus der Vieleck-Prim, dem Pfeil und zwei Dritteln des Pfeils, wie es vom Dreieck behauptet ist. Und es ist bekannt: j e kleiner das Vieleck ist, um so länger werden diese beiden Strecken zusammen sein, weil das kleinere Vieleck eine größere Seite hat und daher einen größeren Pfeil. S o werden diese beiden Linien im Dreieck am längsten sein, im isoperimetrischen Kreis am kürzesten; denn der Kreis hat keine Seite und folglich auch keinen Pfeil; beide Linien in den Vielecken sind eine im Kreis.

Ich behaupte also: Wenn man von $h$ aus in der Richtung gegen $i$ den Pfeil irgendeines mittleren Vielecks abträgt und vom Endpunkt des Pfeils aus die Parallele zu $ai$ zieht, dann teilt die Linie $ch$ diese Parallele in zwei Abschnitte. Der kleinere Abschnitt ist der Bruchteil des Pfeils, der größere die Prim des Vielecks. Angenommen, es sei $hk$ der Pfeil des Quadrats, und es werde aus $k$ die Parallele $kl$ zu $hi$ gezogen; wo $ch$ diese trifft, liege $m$. Ich behaupte, $km$ beträgt zwei Drittel von $hk$, was aus sich selbst bekannt ist; denn mk verhält sich zu $kh$ wie $ci$ zu $ih$. Und ich behaupte, $ml$ ist Prim im Quadrat. Wenn Du dies bestreitest und behauptest, die Quadratfläche sei größer oder kleiner, z. B . größer, dann muß die Prim größer sein als $lm$, und dann sind $lk$ und $kh$ zusammen kleiner als die Summe aus der Quadrat-Prim, dem zugehörigen Pfeil und zwei Dritteln dieses Pfeils, was einen Widerspruch enthält; denn wenn das Quadrat, wie Du sagst, größer sein soll, so müssen $lk$ und $kh$ zusammen die Summe aus der Quadrat-Prim, dem zugehörigen Pieil und zwei Dritteln dieses Pfeils übertreffen. Auf die gleiche Weise entsteht ein Widerspruch, wenn Du behauptest, das Quadrat sei kleiner; denn dann muß Im kleiner sein und $lk$ und $kh$ zusammen größer als die Summe aus der Quadrat-Prim, dem zugehörigen Pfeil und zwei Dritteln dieses Pfeils. Ebenso verhält es sich in allen anderen Vielecken. Deshalb gilt: Wenn die Prim des isoperimetrischen Kreises die Dreieck-Prim um irgendeinen Bruchteil des Pfeils im Dreieck übertrifft, so übertrifft sie die Prim irgendeines beliebigen zwischen Kreis und Dreieck gelegenen Vielecks um den nämlichen Bruchteil des zugehörigen Pfeils, und etwas anderes zu behaupten, würde einen Widerspruch bedeuten.

Satz 12

Der Überschuß der Kreisfläche über die Fläche des isoperimetrischen Dreiecks verhält sich zum Überschuß der Fläche eines zwischen Kreis und Dreieck liegenden Vielecks über die nämliche Dreieckfläche nie der Dreieckpfeil sich zur Differenz znischen dem Dreieckpfeil und dem Pjfeil des fraglichen Vielecks verhält.

Läßt man z. B. den Überschuß der Kreisfläche über die Dreieckfläche 7 entsprechen, so entspricht der Überschuß der Quadratfläche über die Dreieckfläche der Differenz zwischen Dreieckpfeil und Quadratpfeil. Angenommen, der Quadratpfeil sei 4, dann entspricht dem Überschuß der Quadratfläche über die Dreieckfläche 3 , und dies ist klar als Folge des Vorhergehenden.

Satz 13

Kennt man den Flächenüberschuß irgendeines beliebigen zwischen Kreis und Dreieck liegenden Vielecks über die Fläche des isoperimetrischen Dreiecks, so kennt man auch die Fläche des isoperimetrischen Kreises.

Das ist handgreiflich. Da das Verhältnis bekannt ist, kennt man aus einem bekannten Überschuß auch den anderen. Da man den Überschuß im Quadrat, im Fünfeck, Sechseck oder einem anderen beliebigen Vieleck ermitteln kann aus der Prim im Dreieck und in einem beliebigen zwischen Kreis und Dreieck liegenden Vieleck, kann man auch die Prim des isoperimetrischen Kreises finden.

Eine Kreislinie zu zeichnen, die einer gegebenen Strecke gleich ist.

Abb. 30.

$ab$ sei eine Strecke; aus ihr werde nach dem Vorhergehenden ein Dreieck und ein Quadrat gezeichnet; $ef$ sei die Sekund im Dreieck und Seite im Quadrat $efgh$. Hälfte dieses durch die Linie $ik$, ziehe $ig$, suche den Punkt, in dem $ig$ und $fg$ um die Differenz von Sekund und Prim des Quadrats voneinander abstehen, und ziehe durch diesen Punkt die Parallele $ln$ zu $ef$; die obige Differenz sei $lm$. Trage auf $ni$ die Prim $no$ des Quadrates $ab$, ziehe aus $i$ durch $o$ eine Linie gegen $gh$ zu, und wo sie $gh$ trifft, lege den Punkt $p$. Aus dem Vorhergehenden ist klar: $hp$ ist der Halbmesser des Kreises, dessen Umfang gleich ist dem Umfang des Dreiecks, des Quadrats oder der Geraden $ab$, was verlangt war.

Eine Strecke zu zeichnen, die einer gegebenen Kreislinie gleich ist.

Wenn Du dies in Kürze leisten willst, so stelle einen Winkel her, durch den Du das Gesuchte auf folgende Weise finden kannst: Errichte zum Halbmesser $hp$ des vorigen Kreises im Kreismittelpunkt das Lot $ab$, vom Mittelpunkt $q$ dieses Lotes aus lege die Gerade $pq$, so hast Du den Winkel $hpg$. Bilde diesen in Erz oder Holz, und wenn Du nun eine Kreislinie in eine Gerade ausstrecken willst, so zeichne eine Linie von unbestimmter Länge, die mit dem Halbmesser im Mittelpunkt einen rechten Winkel bildet, [und] lege den Winkel auf den Schnittpunkt des Halbmessers mit dem Umfang, so daß die kleinere Seite auf den Halbmesser zu liegen kommt; dann schneidet die größere Seite des Winkels auf der Geraden von unbestimmter Länge eine Strecke ab, die gleich dem halben Kreisumfang ist.

Abb. 31.

Bin Quadrat zu finden, das einem gegebenen Kreis gleich ist .

Abb. 32.

Dies mußt Du so ins Werk setzen: Nach Euklid VI,9 kannst Du zwischen $hp$ und der Hälfte von $ab$ das geometrische Mittel finden, und dieses ist die Quadratseite. Die Hälfte $hp$ dieser Quadratseite trage auf der Geraden ab, die mit $hp$ im Zentrum einen rechten Winkel bildet. Zieht man nun $pr$, so hat man den Winkel $hpr$. Fertige diesen aus Erz oder Holz, dann kannst Du wie oben mit ihm alle Kreise schnell quadrieren.

Einen Kreis zu zeichnen, der einem gegebenen Quadrat gleich ist. Errichte über der Mitte der Quadratseite das Lot und lege auf dieses Lot den kürzeren Schenkel des soeben benutzten Winkels derart, daß der längere Schenkel durch den Endpunkt der Quadratseite geht; die Strecke vom Fußpunkt des Lotes bis zum Scheitel des Winkels ist der Halbmesser des Kreises, der dem Quadrat gleich ist. Dies ist alles klar, weil in allen Kreisen die Halbmesser zum Kreisumfang und den Quadratseiten ein festes Verhältnis haben.

Abb. 33.

Ohne diese beiden Winkel kannst Du die Aufgabe, „eine Gerade zu zeichnen, die einer gegebenen Kreislinie gleich ist", nach dem Vorhergehenden behandeln mittels des festen Verhältnisses zwischen dem Überschuß des Halbmessers im isoperimetrischen Kreis über den Inkreis-Halbmesser im Dreieck zu diesem. Angenommen, Du willst den Umfang $s$ eines gegebenen Kreises in eine Strecke überführen, dann nimm eine beliebige Strecke, z. B. $ab$, an. Nach dem Vorigen kannst Du einen Kreis finden vom Umfang $ab$, dessen Halbmesser $hp$ sei; dann errichte $hp$ als Lot auf einer anderen Geraden $tv$ und trage auf $hp$ den Inkreishalbmesser $hk$ des zum Kreis vom Umfang $ab$ isoperimetrischen Dreiecks ab und lege aus $t$ eine Gerade durch $k$. Dann schiebe den Halbmesser des gegebenen Kreises $s$ parallel zu $hp$ zwischen die $tv$ und die aus $t$ durch $p$ verlaufende Linie ein; es sei $xy$, und wo $xy$ von $tk$ geschnitten wird, liege $z$. Es ist klar; daß $yz$ der Inkreis-Halbmesser des zum Kreis $s$ isoperimetrischen Dreiecks ist. So findet man die gesuchte Strecke.

Nach dem, was ich vorher behandelt habe, kann man nun auch untersuchen, was in der Geometrie bis heute unbekanntwar, nämlich eine abschließende Lehre von Bogen und Sehne (de sinibus et chordis). Kein Mensch konnte je die Sehne eines Bogens von einem, zwei, vier Graden und so fort angeben; jetzt kann man sie finden. Es steht fest: Um den Halbmesser des isoperimetrischen Kreises zu erzeugen, fügt jedes regelmäßige Vieleck seiner Prim einen festen Bruchteil der Differenz zwischen seiner Sekund und Prim hinzu. Ferner: Der Überschuß, um den die Prim irgendeines beliebigen Vielecks die Dreieck-Prim übertrifft, und der Überschuß, um den die Dreieck-Sekund die Sekund des anderen Vielecks übertrifft, bewahren immer und in allen Vielecken das nämliche Verhältnis. Daraus erhellt die allgemeine Lehre (ars) von Bogen und Sehnen; ohne diese Lehre blieb die Geometrie bisher unvollständig. Wie man aber zur praktischen Ausführung in Näherungszahlen gelangen kann, das wirst Du im Folgenden finden. In ganzen Zahlen ist es unmöglich, weil $\sqrt{2}$ (medietas duplae = die geometrische Hälfte des Doppelten) sich in Zahlen nicht ausdrücken läßt; denn die Größe, die dieses Verhältnis hat, ist weder gerade noch ungerade.

Der Halbmesser des dem Dreieck umbeschriebenen Kreises sei also 14; dann ist der Halbmesser des zugehörigen einbeschriebenen Kreises 7, das Quadrat davon 49 und das Quadrat der halben Dreieckseite dreimal soviel, nämlich 147, das Quadrat des Umkreishalbmessers ist viermal soviel, nämlich 196. Die halbe Quadratseite ist nun die Wurzel aus neun Sechzehnteln des Quadrats über der halben Dreieckseite, d.h. $\sqrt{82\frac{11}{16}}$. Das ist auch der Inkreishalbmesser im Quadrat; der Umkreishalbmesser im Quadrat ist die Wurzel aus der doppelten Zahl, d.h. $\sqrt{165\frac{6}{16}}$. Zieht man nun $\sqrt{49}$ von $\sqrt{82\frac{11}{16}}$ ab, so bezeichnet diese Differenz den Überschuß des Inkreishalbmessers im Quadrat über den im Dreieck und beträgt etwas mehr als 2; zieht man $\sqrt{165\frac{6}{16}}$ von $\sqrt{196}$ ab, so beträgt diese Differenz etwas mehr als 1. Du hast damit die Differenzen zwischen den Primen einerseits und den Sekunden andrerseits, und aus dem Verhältnis dieser Differenzen läßt sich alles Weitere verfolgen. Wenn Du nämlich diese Differenzen vom Pfeil der Dreieckseite, d. h. von 7, abziehst, verbleibt der Pfeil des Quadrates; wenn Du nun 7 nach dem oben angegebenen Verhältnis der Differenzen teilst und den größeren Abschnitt dem Halbmesser des Dreieck-Inkreises zufügst, hast Du den Halbmesser des isoperimetrischen Kreises.

Auf diese Weise kannst Du auch aus dem Quadrat der Dreieckseite oder der Quadratseite das Quadrat irgendeiner beliebigen Vieleckseite angeben; daraus und aus dem Verhältnis der Differenzen kommt man zum Pfeil und zum Halbmesser des Inkreises, und so kennt man den Bogen der Sehne, und dies ist die letzte Vollendung der geometrischen Lehre, zu der die Alten, soviel ich gelesen habe, bisher nicht vorgedrungen sind. Jetzt ist auch die Lehre von den Geometrischen Verwandlungen vollendet, die ich früher kürzer, soweit sie die Quadratur des Kreises betrifft, jedoch hinreichend beschrieben habe.

Abb. 34.

Ferner kannst Du die Seite eines beliebigen Vielecks auf das geschwindeste in einen Bogen umwandeln vermittels des folgenden Zweiwinkelinstruments. Es sei z. B. $ab$ die Seite des Dreiecks, $cd$ sein Pfeil oder, was das Nämliche ist, die Differenz von Sekund und Prim; $ce$ sei der Überschuß des Halbmessers im isoperimetrischen Kreis über die Prim im Dreieck. Wenn man nun aus $a$ durch $e$ eine Gerade legt und ebenso aus $a$ durch $d$ eine andere, so entstehen bei $a$ zwei Winkel. Trage nun Winkel $bae$ und Winkel $bad$ auf einem metallenen Instrument an und wende dieses in allen Vielecken an wie soeben im Dreieck, nämlich so, daß die Seite $ab$ des Instruments auf der Vieleckseite liegt und die Seite $ad$ durch den Endpunkt des Pfeils geht; dann zeigt die Seite $ae$ das an, was der Prim des gegebenen Vielecks hinzugefügt werden muß, damit der Halbmesser des isoperimetrischen Kreises entsteht. Wenn man also nach diesem Verfahren den Bogen gezeichnet hat und aus dem Zentrum die Halbmesser (sectores) nach den Endpunkten der Bogensehne gezogen sind, so wird der Bogen, der zwischen diese Halbmesser fällt, der gegebenen Seite gleich sein. Die Richtigkeit dieser Konstruktion geht hervor aus der Gleichheit des Verhältnisses zwischen dem Abschnitt, den man der Vieleck-Prim hinzufügen muß, damit der Halbmesser des isoperimetrischen Kreises entsteht, und der ganzen Differenz zwischen Sekund und Prim – diese Differenz heißt Pfeil — in allen Vielecken.

Außerdem steht nach dem Vorigen fest: Wie jede ie jede Strecke Seite eines Dreiecks, eines Quadrats, eines Fünfecks und so weiter sein kann, so können ungezählte krumme Linien gefunden werden, die einer gegebenen Strecke gleich sind; deshalb lassen sich auch Winkel finden, die sich wie gegebene Strecken verhalten, d. h. wie Seite und Diagonale im Quadrat oder wie Halbmesser und Umfang im Kreis, und so in allen Fällen, und ferner Flächen, die sich wie gegebene Strecken verhalten. Daraus läßt sich das, was nicht nur in der Geometrie bisher verborgen blieb, sondern auch in der Musik und in den musikalischen Instrumenten unbekannt war, weiter verfolgen, so daß dem, der seinen Verstand anstrengen will, sich in aller Klarheit erschließt, was in der Geometrie überhaupt je wissensmöglich war, aber nicht wirklich gewußt wurde. Daher trägt diese Erfindung mit Recht den Namen Ergänzung (Complementum) und verdient es, allgemein bekannt zu werden durch Deine wunderbare Machtbefugnis, Heiliger Vater, die alle Rechtgläubigen in ehrfürchtigem Staunen bewundern, so daß sie Dich nach dem Bewunderungsausruf papae (παπαί) Papst (papa) nennen.

Zweites Buch

° Ich füge nunmehr von meinen Kunstgriffen hinsichtlich der Verwandlung von Flächen ineinander noch einige andere hinzu, die ich ebenso wie die früheren Deiner Heiligkeit widme. Du hast ja auf allen Gebieten den ersten Rang inne und Du allein verdienst es, daß sich Dir alles offenbare.

Abb. 35.

Abb. 36.

Die Linie fasse ich als das Bild der Bewegung eines Punktes auf. Handelt es sich um eine gerade Linie, die unter Festhalten des einen Endpunktes bewegt wird, so läßt sich diese Bewegung zutreffend durch ein rechtwinkliges Dreieck darstellen. Zum Beispiel werde die Strecke $ab$ so bewegt, daß $a$ festbleibt; dann läßt sich diese Bewegung durch das Dreieck $abc$ darstellen. Wenn nämlich die Bewegung von $b$ der Seite $bc$ entspricht, dann gilt dies entsprechend für alle angebbaren Punkte der Linie $ab$. Angenommen, $d$ sei der Mittelpunkt, dann entspricht $de$ der Bewegung des Punktes $d$, und die Seite $de$ ist die Hälfte von $bc$. Wenn aber die Strecke $ab$ in $a$ ebenso bewegt wird wie in $b$, so läßt sich diese Bewegung darstellen durch das doppelte rechtwinklige Dreieck, d. h. durch das Rechteck $abcd$; es werden nämlich alle angebbaren Punkte der Linie $ab$ gleichartig (aequaliter) bewegt. Wenn aber $a$ und $b$ bewegt werden, jedoch ungleichartig (inaequaliter), so kann dies auf unbegrenzt viele Weisen geschehen, und diese Art von Bewegung läßt sich nicht in einem einzigen Bild darstellen.

Abb. 37.

Abb. 38.

Aus der ersten Abbildung der Bewegung einer Strecke, deren einer Endpunkt festbleibt, folgt: 1. Die Fläche — das Maß für die Bewegung einer Linie —, die aus der Bewegung der Linie entsteht, hat eine gekrümmte, beim Punkte $b$ ihren Anfang nehmende Umfangslinie und ist eine Kreisfläche, die aus der Strecke $ab$ hervorgeht. 2 . Bezeichnet man auf $ab$ irgendeinen Punkt, zum Beispiel den Mittelpunkt $d$, so verhält sich der Umfang aus $d$ zum Umfang aus $b$ wie sich in der Abbildung [35] Seite $de$ zur Seite $be$ verhält. Die Umfänge sind nämlich das Maß für die Bewegung der Punkte. Daher muß notwendig jeder ' Halbmesser z u seinem Umfang das nämliche Verhältnis festhalten. Ferner, weil die Kreisfläche aus der Bewegung des Halbmessers über den Umfang hin erzeugt wird und alle Halbmesser zu ihren bezüglichen Umfängen das nämliche Verhältnis haben, verhalten sich die Flächen wie die Quadrate der Halbmesser. Deshalb verhält sich die Fläche eines Kreises vom Halbmesser vier zur Fläche eines Kreises vom Halbmesser zwei wie vier zu eins. Daraus ergibt sich das Verhältnis der Kegelmäntel unter sich und zu ihren Grundkreisen. Da nämlich der Halbmesser des Grundkreises und die Hypotenuse des den Kegel beschreibenden Dreiecks unter Festhalten eines ihrer Endpunkte über den nämlichen Basis-Umfang hin bewegt werden, verhalten sich die entstehenden Flächen [Basis und Kegelmantel) wie die Linien, aus deren Bewegung sie erzeugt werden. Z. B. ist der Halbmesser des Grundkreises und jene Dreieckseite, die den Kegelmantel beschreibt, $ab$ und $bc$.

Abb. 39.

Aus der zweiten Abbildung [36] — nämlich der einer in allen ihren Punkten gleichartig bewegten Linie — folgt, daß die aus einer solchen Bewegung entstehende Fläche doppelt so groß ist wie die aus der ersten Bewegung erzeugte. Wenn man also einen Halbmesser auf die zweite Art über den nämlichen Umfang hin bewegt, über den er schon auf die erste Art bewegt wurde, dann ist die so entstehende Fläche doppelt so groß wie die erste. Daher muß, vorausgesetzt, daß beide Endpunkte gleichartig bewegt werden, das Rechteck aus dem Halbmesser und dem halben Umfang gleich der Kreisfläche sein. Wenn sich nämlich der eine Endpunkt über die konkave Seite eines Bogens und der andere über die konvexe Seite des nämlichen Bogens bewegen würde, so wäre die entstehende Fläche nicht das Doppelte von jener, die dadurch hervorgeht, daß der eine Endpunkt der nämlichen Strecke festbleibt, während sich der andere über die konkave Seite des Bogens hin bewegt: die Bögen sollen gleich sein. Angenommen, Bogen $bd$ sei gleich Bogen $ce$; wenn sich nun die $bc$ so bewegt, daß sie die zwischen den Geraden $bc$ und $de$ und den Kurven $bd$ und $ce$ eingeschlossene Fläche beschreibt — sie bewege sich über gleichen Bögen — dann beschreibt sie trotzdem nicht die doppelte Fläche wie $ab$, das ist gleich $bc$, wenn $\alpha$ festbleibt und 6 sich auf dem gleichen Bogen nach $d$ bewegt. Der Punkt $b$ bewegt sich nämlich auf der konkaven Seite des Bogens $bd$, der Punkt $c$ der Strecke $bc$ aber auf der konvexen: die Konvexität mindert um die Abschnitte $fgch$ und $fiek$.

Abb. 40.

Hieraus erhellt die Lehre vom Verhältnis zwischen dem Mantel und der Grundfläche von Zylindern oder Rundsäulen und zwischen Zylindern, Kegeln und Kreisflächen. Es steht nämlich fest: wenn die Zylinderhöhe gleich dem Halbmesser des Grundkreises ist, dann ist der Mantel doppelt so groß wie die Grundfläche; denn eben die Linie, welche in einem ihrer Endpunkte feststehend mit dem andern den Umfang des Grundkreises beschreibt, erzeugt durch eine gleichartige Bewegung beider Endpunkte über den nämlichen Umfang auch den Zylindermantel. Wenn z.B. der rechte Winkel $abc$ um $a$ gedreht wird, dann beschreibt $ab$ die Basis und $bc$ den Zylindermantel von doppelter Fläche, weil $bc$ gleich $ab$ ist und in den Endpunkten $b$ und $c$ bleichartig bewegt wird.

Abb. 41.

Ebenso verhält es sich bei den Kegeln. Wenn Dreieck $abc$ mit dem rechten Winkel $bac$ um a$ac$ gedreht wird und wenn die Seite $bc$ doppelt so groß ist wie $ab$, dann wird der entstehende Kegelmantel gleich dem vorigen Zylindermantel. Und enn man einen Kreis mit verdoppeltem $ab$ als Halbmesser beschreibt, so ist seine Fläche gleich der Summe aus Zylinder- und Kegelmantel.

Aus diesen Überlegungen wird klar: Wenn die Umfangslinie des Kreises in eine Gerade ausgestreckt und über diese der Halbmesser hingeführt würde, so wäre die entstehende Rechteckfläche doppelt so groß wie die Kreisfläche, deren Umfang gegeben war; denn dieses Hinführen (ductio) wäre die Bewegung, bei der beide Endpunkte gleichartig bewegt würden, während der Kreis aus der Bewegung der nämlichen Strecke entsteht, wobei ein Punkt festbleibt. Es ist also richtig, was von vielen behauptet worden ist, daß die ductio oder Multiplikation des Halbmessers in den halben Umfang eine Fläche ergibt, die der Kreisfläche gleich ist.

Abb. 42.

Eine weitere Art der Bewegung ist die zusammengesetzte, d. h. die des gleichzeitigen Fortschreitens und Absteigens wie in der Abbildung. Wie Du bemerken kannst, bewegt sich $ab$ in doppelter Bewegung, indem es nämlich über ac hin gleichförmig fortschreitet und zugleich gleichförmig absteigt. Das Maß für das Fortschreiten ist $ac$, für das Absteigen $ab$ und für das Fortschreiten und Absteigen zusammen $bc$. In der Zeit namlich, in der $a$ nach $c$ fortschreitet, steigt $b$ um $bc$ bis $c$ ab: so entsteht die Figur $abcd$. $bc$ umfaßt die doppelte Bewegung des Absteigens $ab$ und des Fortschreitens $ac$ zusammen. Deshalb entspricht das Quadrat von $bc$ dem von $ab$ und $ac$ zusammen. Man bemerke hieraus, wie aus der Bewegung einer Linie gleichzeitig zwei Dreiecke und ein Viereck entstehen.

Abb. 43.

Wenn sich die Strecke $ab$ in der Weise bewegt, daß sie auf $ac$ fortschreitet und zugleich ungleichartig absteigt, und zwar derart, daß dieser ungleichartige Abstieg auf dem Bogen $bc$ erfolgt, so entsteht Figur $abcd$. Und da Bogen $bc$ gleichzeitig eine fortschreitende und ungleichartig absteigende Bewegung umfaßt, ist Bogen $cb$ größer als die gerade Strecke $cb$. Ich behaupte, die absteigende Bewegung ist ungleichartig aus folgendem Grund: Wenn der Punkt $b$ zur Bogenmitte gekommen ist, dann ist der Punkt $a$ noch nicht um die Hälfte der Strecke $b$ unter die Horizontale $ca$ herabgestiegen, wie es der Fall ist, wenn $b$ die Hälfte der geraden Strecke $bc$ zurückgelegt hat. Man beachte auch, wie $a$ den Bogen $ab$ beschreibt. $a$ bewegt sich auf der konvexen Seite, $b$ auf der konkaven. Was die Konkavität oberhalb $cb$ hinzufügt, das nimmt die Konvexität [oberhalb $ad$] weg. Deshalb ist die krummlinig begrenzte Fläche zwischen dem konkaven Bogen $bc$ und dem gleich großen konvexen Bogen $ad$ gleich dem geradlinig begrenzten Viereck $abcd$. Hier hat man einen Fall, wo zwischen größeren krummlinigen Begrenzungslinien die nämliche Fläche liegt wie zwischen kleineren geraden. Aus diesen Überlegungen lassen sich verschiedene andere Arten einer zusammengesetzten Bewegung begreifen, die ich jetzt übergehen will, da sie jedermann selbständig erfassen kann

Abb. 44.

Wenden wir uns nun der dritten Bewegungsart zu: Beide Endpunkte der Strecke sollen ungleichartig bewegt werden. Man ersieht klar, daß sich die entstehenden Oberflächen entsprechend dem Verhältnis der Bewegungen ergeben. Zur leichteren Einsicht stelle man sich $ab$ als doppelschichtige und bis zum Endpunkt $b$ spaltbare Linie (linea duplex et divisibilis usque $adb$ punctum) vor. Der Punkt $b$ soll als unteilbarer Endpunkt beider Schichten fest bleiben. Während $b$ feststeht, soll sich $a$ bewegen. Wenn man nun eine Schicht von $a$ erhebt, so daß um $b$ ein Winkel entsteht, dann kann man aus dem Verhältnis des von dem beweglichen $a$ beschriebenen Umfangs zu dem Umfang, den $b$ beschreibt, das Verhältnis der Oberflächen errechnen. Angenommen, das bewegliche $a$ werde bis zu dem Winkel erhoben, daß $ad$ — die Strecke, die zwischen dem beweglichen $a$ liegt, und jenem Punkt, der vom Horizont mit dem festen $a$ gleichen Abstand hat — gleich dem halben $ab$ ist, dann beschreibt das bewegliche $ba$ den Mantel eines Kegelstumpfes, der um die Hälfte größer ist als die von $ab$ beschriebene ebene Kreisiläche. Entsprechend ist das Verhältnis in allen Zwischenlagen. Deshalb ist klar: Wenn das bewegliche $a$ soweit erhoben wird, daß es bei der Umdrehung den doppelten Weg zurücklegt wie das feste $ab$, d. h. wenn das bewegliche $a$ mit dem festen $ab$ in eine Gerade fallt, dann beschreibt das bewegliche $ba$ eine ebene Fläche, die dreimal so groß ist wie die Fläche, die das feste $ab$ beschreibt. Dies ist die letzte und größte Fläche; die dazwischenliegenden gewinnt man in entsprechender Weise. Damit hat man ein Verfahren, Abschnitte von Kegelmänteln herzustellen, die zu ihrer Grundfläche ein beliebiges vorgegebenes Verhältnis haben, und in ähnlicher Weise rhombische Oberflächen, d. h. solche, die aus zwei Kegeln mit einer Grundfläche bestehen, in andere überzuführen. Alles, was man sonst noch hierüber wissen will, kann man aus dem Gesagten leicht ableiten.

Abb. 45.

Aus dem Vorhergehenden ist z u bemerken, wie man bei Kegelmänteln vorgehen muß. Es sei z. B. $abc$ ein Dreieck; die Seite $ab$ beschreibe einen Kegelmantel und $cb$ sei der Halbmesser des Grund-kreises. Man verlängere $ac$ und ziehe von $b$ aus eine Gerade, so daß ein gleich großes Dreieck entsteht, und dies sei $bdc$. Es ist klar: wenn um das fest bleibende $ad$ das Dreieck $abd$ gedreht wird, so entsteht ein aus zwei gleichen Kegeln bestehender Doppelkegel (rhombus). Nun verlängere man $ab$, so daß $be=ab$. Es ist klar: wenn man die Umdrehung wie früher [um $ad$] macht, so erzeugt $be$ die dreifache Fläche wie $ab$ und $ae$ die vierfache Kegelfläche wie $ab$. Wenn man daher $bd$ bis zur Mitte zwischen $bd$ und $be$ erhebt, so erzeugt es die doppelte Fläche wie $bd$ und $be$ die dreifache; zur Mitte aber kommt man, wenn $bd$ mit dem Halbmesser des Grundkreises einen rechten Winkel bildet. Erhebt man $bd$ um weniger oder mehr, so wird bei der Umdrehung eine kleinere oder größere Oberfläche erzeugt, wie das schon aus dem Vorhergehenden bekannt ist. Man findet also: wenn Kegel und Zylinder die nämliche Grundfläche haben und die Mantellinie des Kegels gleich der Zylinderhöhe ist, dann ist die Mantelfläche des Zylinders das Doppelte der Mantelfläche des Kegels, und wenn es mehr ist, mehr, wenn es weniger ist, weniger im Verhältnis

Abb. 46.

Wenn man die Mantellinie des Kegels zur Sehne eines Bogens macht, indem man über ihr einen Bogen beschreibt, z. B . über der Seite $ab$ den Bogen $afb$ und über $be$ den nämlichen Bogen, dann ist die aus der Kurve $afb$ entstehende Oberfläche der dritte Teil der Oberfläche, die von der Kurve $be$ erzeugt wird. Auf die gleiche Weise erzeuge man nach Belieben auch die doppelte Oberfläche, wie es bei den Kegeln behandelt worden ist. Wenn also $afb$ ein Viertelkreis ist, dann ist klar, daß durch eine Umdrehung eine Halbkugelfläche entsteht und aus der Kurve $bg$ das Doppelte, d. h. eine gekrümmte Oberfläche, welche gleich der Oberfläche einer Kugel ist mit $cb$ als Halbmesser eines Größtkreises, und aus der Kurve $be$ die dreifache Fläche. Daraus läßt sich ableiten, wie man bei solchen gekrümmten Oberflächen jede beliebige Multiplikation ausführen kann.

Wenn man als Bogen eine krumme Linie nimmt von der Krümmung irgendeines Parabelschnittes oder schiefen Zylinderschnittes —diese Schnitte sind keine Kreisschnitte, sondern in einer anderen Krümmung gekrümmt —, so ist bei gleichem Verfahren das Verhältnis der Oberflächen das gleiche.

Abb. 47.

Bei feststehendem $a$ führe man $ab$ einmal herum und beschreibe so eine ebene Kreisfläche. Den einen Endpunkt $b$ in einem Quadranten des so beschriebenen Kreises verbinde man mit dem anderen Endpunkt $c$, halte die Punkte a und $c$ fest und drehe den Quadranten um $ac$. Die von dem Quadranten erzeugte Fläche ist doppelt so groß wie die von der Geraden $ab$ erzeugte. Das ist klar: denn aus bc entsteht die Obertläche einer Halbkugel, aus ab ein Größtkreis, der, wie Archimedes gezeigt hat, viermal genommen die Kugeloberfläche ergibt.

Abb. 48.

Wenn Du zylindrische, sphärische und Kegelflächen und unbeschränkt viele Kegelstücke von der nämlichen Oberfläche beschreiben willst, dann mußt Du es so machen: $ab$ sei der Halbmesser eines beliebigen Kreises; lege im rechten Winkel dazu $bc=ab$ und ziehe durch $a$ die Parallele von unbestimmter Länge zu $bc$; sie sei $ad$. Aus dem Punkt $b$ lege $bd$, die doppelte Länge von $ab$, nach $ad$ hin. Dann verbinde $d$ mit $c$. Ich behaupte: Alle Geraden, die sich aus $b$ zur Geraden $cd$ ziehen lassen, beschreiben bei der Umdrehung Kegelstücke, die mantelgleich sind entweder dem Zylinder $bc$ oder dem Kegel $bd$, weil die aus b$bc$ und aus $bd$ entstehenden Flächen gleich sind, nämlich doppelt so groß wie die Fläche des Kreises vom Halbmesser $ab$. Weiter oben ist dargelegt worden, daß es sich mit den dazwischen liegenden ebenso verhält, z. B. mit $bi$ und $bg$ und allen derartigen. Das ist klar; denn die erzeugten Flächen können nicht größer sein als die Fläche, die aus $bc$ entsteht, und nicht kleiner als die Fläche, die aus $bd$ entsteht. Da aber diese beiden gleich sind, sind entsprechend alle dazwischenliegenden gleich. Beschreibe also einen Viertelkreis be$be$ vom Halbmesser $ab$. Aus dem Vorangehenden ist klar, daß die aus der Kurve $be$ entstehende Fläche jenen gleich ist.

Abb. 49.

Gekrümmte Linien, jedoch nicht Kreislinien, mußt Du auffassen als aus einer in ihren beiden Endpunkten ungleichartig bewegten Linie erzeugt, wie wenn z. B. die Gerade $ab$ bewegt wird und $b$ stärker als $a$. Angenommen, $a$ bewege sich auf der Geraden $ac$, $b$ auf der Kurve $bd$. Und wenn sich $b$ regelmäßig bewegt, dann gelangt $b$ zum Mittelpunkt von $bd$, wenn $a$ zum Mittelpunkt von $ac$ gekommen ist. Es kann aber auch sein, daß sich ein Punkt in regelmäßiger, fortlaufend gleichartiger Bewegung befindet, der andere dagegen i n ungleichartiger — daß er sich z. B. am Anfang schneller bewegt, dann beständig langsamer und fortlaufend regelmäßig in einer gleichartigen Unregelmäßigkeit. Es ergibt sich, daß aus diesen Verschiedenheiten verschiedene Krümmungen entstehen. Etliche werden sein wie Kegelschnitte, andere wie transversale Zylinderschnitte oder oblique sphärische Schnitte.

Daraus ergibt sich, daß die krummlinig begrenzten Flächen der als Parabeln bezeichneten Schnitte und der Zylinder-Querschnitte nicht direkt aus der Bewegung einer Linie erzeugt werden. Wenn Du das Verhältnis ihrer Abschnitte untersuchen willst, mußt Du so vorgehen: Betrachte den Überschuß der Halbsehne über den Pfeil; dieser Überschuß steht für die Bewegung des einen Endpunktes der Linie, die gleich dem Pfeil ist; die Bewegung des anderen Endpunktes verzeichnet die Kurve. Daher wird die Fläche gleich der Hälfte dessen, was aus dem ductus des Pfeils in die Kurve entsteht, wenn die Linie in einem Endpunkt nicht bewegt würde, und die Fläche wird größer sein als diese Hälfte im Verhältnis zwischen dem Quadrat des Überschusses der Halbsehne über den Pfeil und dem Quadrat des Bogens.

Abb. 50.

Angenommen, es sei ein [halber] Kreisabschnitt gegeben, eingeschlossen zwischen der Halbsehne und dem Pfeil und dem Sechstelkreis und mit $abc$ bezeichnet. $ab$ sei die Halbsehne des doppelten Bogens, $ac$ der Pfeil und d der Kreismittelpunkt; ziehe $db$, $dc$ und $bc$. Offenbar ist $ac$ gleich $ad$ und Dreieck $dba$ gleich Dreieck $bac$. Das Flächenstück also oberhalb der Linie $bc$, um das der [halbe] Kreisabschnitt [$abc$] das Dreieck übertrifft, rührt von der Bewegung des Pfeils a$ac$ in beiden Endpunkten her, und wenn beide Endpunkte gleichartig bewegt wären, dann wäre das Flächenstück oberhalb der Linie $bc$ gleich dem ganzen Dreieck $bac$; aber weil sie ungleichartig bewegt worden sind, ist es kleiner. Damit Du siehst, inwiefern die beiden Endpunkte ungleichartig bewegt worden sind, trage von b$b$ aus gegen $a$ hin $be$ gleich $ac$ ab. Der Punkt $b$ bewege sich also über den Bogen $bc$ hin, und während sich $b$ über den Bogen $bc$ hin bewegt, muß sich notwendig $e$ gegen $a$ bewegen. In der nämlichen Zeit, in der sich also $b$ über den Bogen bewegt, bewegt sich $e$ über die Gerade ea. Im Verhältnis des Quadrats der Strecke $ea$ zum Quadrat der Strecke, die gleich dem Bogen $bc$ ist, übertrifft die Fläche des [halben] Abschnittes [$abc$] die Hälfte des Kreissektors $dbc$. Es müßte nämlich das Produkt aus $ac$ und dem Bogen $bc$ die Hälfte des Produkts aus $db$ und dem nämlichen Bogen sein, da a$ac$ die Hälfte von $db$ ist. Weil aber der Endpunkt, der in $db$ fest bleibt, in $ac$ bewegt wird, entsteht mehr als die Hälfte. Angenommen, die Kurve bo$bc$ sei dreimal so groß wie $ea$, dann übertrifft der Abschnitt die halbe Sektorfläche um $\frac{1}{9}$ dieser Hälfte, und der Teil oberhalb von $bc$ wird $\frac{2}{9}$ der halben Sektorfläche ausmachen. So muß man bei krummlinig begrenzten Schnitten vorgehen,

Ich will nun eine Methode darlegen, wie sich eine Kurve in eine Gerade ausstrecken läßt, nicht wie im ersten Buch mit Hilfe der Verwandlung einer Geraden in eine Kurve, sondern unmittelbar durch eine ausgeklügelte Koinzidenz von folgender Voraussetzung:

Abb. 51.

Es soll ein Viertelkreis beschrieben und eine erste Strecke vom Zentrum zum Anfangspunkt des Bogens gezogen , werden; eine zweite gleich lang zur ersten und senkrecht zu ihr sei im Schnittpunkt der ersten mit dem Bogen errichtet, eine dritte gleich der Seite des einbeschriebenen Dreiecks sei vom Zentrum durch den Endpunkt des Bogens gelegt, eine vierte verbinde die Endpunkte der zweiten und dritten Strecke. Wenn Du nun vom Anfangspunkt des Quadranten eine fünfte Strecke derart legst, daß die Sehne zwischen dem Schnittpunkt dieser Fünften mit dem Viertelkreis und dem Endpunkt des Quadranten — diese Sehne sei als Sechste bezeichnet — gleich der Fünften wird, dann ist die fünfte Strecke um die Hälfte ihres Abschnitts zischen dem Kreisbogen und der Vierten kleiner als der Quadrant. Um Zentrum $a$ sei der Viertelkreis $be$ beschrieben, $ab$ sei die erste Strecke, $bc$ als zweite bilde mit $ab$ einen rechten Winkel und sei gleich $ab$; die dritte Strecke ae$aed$ sei gleich der Seite des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks, $cd$ sei die Vierte; ziehe nun von $b$ aus $bg$ gegen $cd$ hin, und wo es den Quadranten $be$ trifft, liege $f$; dies sei die fünfte Strecke. Aus $f$ ziehe nun die Sehne $fe$ als die sechste Strecke. Ich behaupte: Wenn $fe$ gleich $bg$, dann ist $bg$ um die Hälfte von $fg$ kleiner als der Viertelkreis $be$. Füge also die Hälfte von $fg$, das ist $gh$, an $bg$ an. Ich behaupte nun, $bh$ sei gleich der Kurve $be$.

Beweis: Als Erstes setze ich voraus: Die Differenz zwischen der Fünften und der, um den zwischen der Kurve und der Vierten liegenden Abschnitt — dieses Stück nenne ich immer den Abschnitt — vermehrten Sechsten ist ebensogroß wie die Differenz zwischen dem Teil der Fünften, der die Sehne ausmacht, und der Sechsten, das ist die Sehne des Restbogens. Jene Differenz, um die sich die Fünfte — diese ist kleiner als der Quadrant — und die um den Abschnitt vermehrte Sechste — diese ist größer als der Quadrant — unterscheiden, ist doppelt so groß wie der Unterschied, um den die Fünfte kleiner ist als die Kurve, d. h. hier als der Viertelkreis, und die um den Abschnitt vermehrte Sechste größer als die Kurve. J e größer dieser Unterschied ist, um so größer ist die Strecke, die in der Mitte zwischen der Fünften und der um den Abschnitt vermehrten Sechsten liegt — diese Strecke nenne ich immer das Medium — und je kleiner der Sehnenunterschied ist, um s o kleiner ist das Medium. Als Zweites setze ich voraus, daß die um den Abschnitt vermehrte Sechste den Quadranten um die Hälfte des Abschnitts übertreffen kann; denn sie kann ihn um einen kleineren und um einen größeren Teil übertreffen, also auch weder u m einen kleineren noch um einen größeren, sondern um die Hälfte.

Daraus folgere ich: Die Sechste, vermehrt um den Abschnitt, übertrifft den Quadranten ebenso wie der Quadrant die Fünfte, und der Abschnitt ist die Differenz der Sehnen, und die Sechste ist gleich der Fünften. Das ist notwendig so: Wenn Du dies bestreitest und behauptest, die Differenz der Sehnen sei kleiner als der Abschnitt, dann ist auch das Medium kleiner, und weil von der um den Abschnitt vermehrten Sechsten eine kleinere Größe abgezogen wird als früher, da der ganze Abschnitt größer ist als ein Teil und die Hälfte des ganzen Abschnitts größer ist als die Hälfte der Sehnendifferenz, ist es also unmöglich, daß die Strecke kleiner wird, wenn von ihr weniger abgezogen würde. Ebenso verhält es sich, wenn Du behauptest, die Differenz der Sehnen sei größer als der Abschnitt; dann wird das Medium größer, und es wird mehr abgezogen als früher, wo die Hälfte des Abschnitts abgezogen wurde, den Du als kleiner bezeichnet hattest, was wiederum unmöglich ist. Deshalb ist klar: Wenn die Sechste, vermehrt um den Abschnitt, den Quadranten um die Hälfte des Abschnitts übertrifft, muß notwendig der Abschnitt gleich der Differenz der Sehnen sein und die Sechste gleich der Fünften, was angestrebt war.

Abb. 52.

Daraus folgt eine leichte Quadratur des Kreises. Denn das geometrische Mittel zwischen $bh$ und dem Kreisdurchmesser ist die Seite des zum Kreis flächengleichen Quadrates. Es folgt auch dies: Wenn $bx$ gleich $bh$ ist, so beschreibt es bei einer Umdrehung einen Kegelabschnitt, dessen Mantel gleich der halben Kugelober-flache wird, und die Länge des Viertelumfangs des Größtkreises dieser Kugel war vor allem gesucht.

Abb. 53.

Die zum Bogen eines Viertelkreises gleiche Strecke läßt sich auch folgendermaßen auf andere Weise finden: Wenn die Sechste, vermehrt um den Abschnitt der Fünften, gleich dem Bogen des Quadranten wird, müssen sie untereinander gleich sein. Es sei unter Beibehaltung der obigen Figur $bpq$ die Fünfte, $ep$ die Sechste. Ich behaupte: Wenn $ep$ und $pq$ gleich dem Quadranten $be$ werden, dann ist $ep$ gleich $pq$. Zum Beweis setze ich als Erstes voraus: Wenn man von b$b$ aus die Fünfte bis zum Mittelpunkt der Vierten $cd$, d.h. nach $v$, legt, dann ist der Abschnitt tu unter allen Abschnitten der kürzeste und nimmt nach oben und unten stetig zu. Als Zweites setze ich voraus: Die Sechste zusammen mit dem kleinsten Abschnitt ist größer als der Viertelkreis, und ebenso muß die Sechste und der Abschnitt zusammen — diese Summe soll dem Quadranten gleich sein — kleiner sein. Zum Dritten setze ich voraus: Es läßt sich eine Sechste angeben, die zusammen mit dem Abschnitt gleich dem Quadranten ist. Viertens setze ich voraus: Die Sechsten von $e$ gegen $b$ hin zusammen mit den Abschnitten wachsen ständig, auch wenn die Abschnitte abnehmen. Diese Voraussetzungen leuchten einem jeden ohne Schwierigkeit ein; aus ihnen wird der Satz bewiesen.

Wenn Du nämlich behauptest, die Sechste $ep$ sei größer als der Abschnitt $pg$, so ist sie auch größer als der halbe Viertelkreis. Es sei also die Sechste er gleich dem halben Viertelkreis; der Abschnitt sei $rs$, der nach der ersten Voraussetzung größer ist als $pq$. Es werden also $er$ und $rs$ zusammen größer als der Viertelkreis, und trotzdem sind sie nach der vierten Voraussetzung zusammen kleiner als $ep$ und $pq$, die gleich dem Viertelkreis sein sollen. Und so wird das Kleinere größer als das Größere, was unmöglich ist. Wenn Du behauptest, $ep$ sei kleiner als $pq$, so folgt daraus das Nämliche; denn dann wird sie kleiner als die Hälfte des Viertelkreises. Es sei also $et$ gleich dem halben Viertelkreis, dessen Abschnitt $tv$ kleiner ist als der Abschnitt p$pq$, weshalb auch $et$ und $tv$ zusanımen kleiner sind als $ep$ und $pq$ zusammen. So wird das Größere kleiner als das Kleinere, was ebenso unmöglich ist. Es ist also handgreiflich, daß die Sechste zusammen mit dem Abschnitt gleich dem Viertelkreis werden kann. Es ist klar, daß dies der Fall ist, wenn die Sechste gleich dem Abschnitt der Fünften ist, was angestrebt wird.

Abb. 54.

Aus dieser bisherigen Erfindung kannst Du, wenn Du willst, ableiten, wie Du jeden Teil einer Kugeloberfläche in die Oberfläche eines Kegels oder Zylinders überführen kannst, auch wenn Dir das Verhältnis der Teiloberfläche zur ganzen Oberfläche der Kugel unbekannt wäre, und zwar auf folgende Weise: Es sei z. B. wie früher $abc$ der Viertelkreis; einen bekannten Bruchteil dieses Bogens bezeichne mit $hc$, und zwar sei $hc$ gleich zwei Dritteln des Quadranten. Lege aus $h$ die Gerade $ho$ senkrecht zu ac; $ho$ ist also die Halbsehne des doppelten Bogens. Nimm eine Gerade $tv$ an, diegleich der Kurve $hc$ sei: die Hälfte davon sei die Sehne c$ck$; lege von $h$ aus durch $k$ die Gerade $hkr$ gleich to; laß nun aus irgendeinem Punkte $s$ auf $hp$ eine Linie s$sq$ durch $r$ nach a$aq$ gehen, so daß die Strecke zwischen $h$ und dem Schnittpunkt $q$ mit $aq$ doppelt so groß ist wie $hs$. Die Zylinderoberfläche aus $hs$ wird gleich der Kugeloberfläche aus dem Bogen $hc$, ebenso die Kegeloberfläche aus $hq$ und den mittleren Linien, die von $h$ aus nach $sq$ gezogen werden, wie im Vorhergehenden. Und das ist alles klar aus dem bereits Behandelten. So hast Du also eine Lehre, vermittels deren Du aus einer bekannten, der Kugeloberfläche gleichen Zylinderoberfläche eine gleich große Kegeloberfläche finden kannst, wenn die Seitenlinie gleich der Bogenlänge des Größtkreises ist.

Weil Du aber aus Archimedes eine Methode hast, jeden Teil einer Kugeloberfläche in eine ebene Kreisfläche zu überführen, und aus dem Vorhergehenden erhellt, wie sich jene in eine Zylinderfläche und folglich in eine Kegelfläche überführen läßt, so ist daraus und aus dem eben Behandelten folgendes klar: Auch wenn man das Verhältnis des Bogens zum ganzen Größtkreis nicht kennt, kann man jede Kurve in eine Strecke überführen. Und diese feine Kunst geht über die Quadratur des Kreises hinaus. Und umgekehrt, wenn Du eine Gerade hast, die gleich einer Kurve ist, so kannst Du eine Zylinderfläche und andere Kegelflächen entsprechend auffinden, die jener Kugelfläche gleich sind.

Daraus hat schon Archimedes in seiner Quadratura parabolae eine Methode eröffnet, mittels deren sich jene Fläche in ein Quadrat überführen läßt, indem er aufzeigte, daß jene Fläche zwischen einer Geraden und dem Schnitt eines rechtwinkligen Kegels das $1\frac{1}{3}$fache beträgt des Dreiecks, das mit der Parabel gleiche Höhe und eben diese Gerade zur Grundlinie hat. Und jetzt steht fest, wie man eine quadratische Fläche in eine Kreisfläche verwandeln kann, und daß man z u einer Kreisfläche einen gleich großen Zylinder- und Kegelmantel finden kann. Aus dem Vorhergehenden hast Du also eine Methode, den Bogen eines solchen Parabelschnittes in eine Gerade zu verwandeln, und wenn Du dabei Geist aufwendest, kannst Du jede regelmäßige Krümmung, auch die eines schiefen Zylinderschnittes, auf diese Weise geradestrecken.

Abb. 55.

Ich will nun untersuchen, wie man vermittels Möndchen der Kreisquadratur näherkommt — ein Weg, auf dem sich die Alten ohne Erfolg versucht haben. E s besteht die Absicht, zwischen einer dem Kreis umbeschriebenen und einer einbeschriebenen Vieleckseite eine Linie zu finden, die das Möndchen s o schneidet, daß das geradlinige Dreieck gleich dem zugehörigen Kreissektor wird. Angenommen, $a$ sei der Mittelpunkt eines Kreises, $bc$ der dritte Teil des Kreisumfangs, $ef$ werde als Dreieckseite dem Kreisbogen umbeschrieben, $af$ und $ae$ seien gezogen und $cb$ sei die Sehne oder die Seite des einbeschriebenen Dreiecks. Ich will zwischen $ef$ und $bc$ eine Linie $ik$ einzeichnen, die das Möndchen $lmn$ so abschneidet, daß es gleich ist den beiden Abschnitten $bil$ und $ckn$, so daß das Dreieck $aik$ gleich ist dem Kreissektor $abmc$.

Für diese Untersuchung setze ich voraus: Erstens: Die Seite des einbeschriebenen Vielecks ist kleiner als der Bogen, und die Seite des umbeschriebenen Vielecks ist größer als der Bogen, und zwar ist die Differenz zwischen der umbeschriebenen Vieleckseite und dem Bogen größer als die Differenz zwischen dem Bogen und der einbeschriebenen Vieleckseite. Zweitens setze ich voraus: Es können zwei Strecken zwischen der einbeschriebenen und umbeschriebenen Vieleckseite liegen, von denen die eine gleich dem Bogen ist und die andere das rechtwinklige Dreieck dem Kreissektor gleich macht. Die einbeschriebene Seite werde als Erste bezeichnet, die dem Bogen gleiche als Zweite, die Dritte mache das rechtwinklige Dreieck gleich dem Kreissektor, die Vierte sei die Seite des umbeschriebenen Vielecks. Drittens setze ich voraus: Diese vier Linien sollen sich so verhalten, daß alle zunehmen, wenn eine zunimmt, und alle abnehmen, wenn eine abnimmt; denn aus dem Wachstum der einen folgt auch das Wachstum der anderen. Viertens setze ich voraus: Je mehr sie wachsen, um so größer wird die Differenz, und je mehr sie abnehmen, um so kleiner wird die Differenz. Fünftens setze ich voraus: Je größer die Differenz der Linien ist, um so größer ist die Differenz ihrer Quadrate.

Daraus schließe ich so: Je größer die Vierte ist,um so größer ist die Dritte und die Differenz der Strecken und ihrer Quadrate. Ebenso: J e größer die Zweite, um so größer die Erste und die Differenz der Strecken und ihrer Quadrate. Je größer die Differenz der Quadrate der Vierten und Dritten, um so größer die Differenz der Quadrate der Zweiten und Ersten und die Differenz ihrer Differenzen. Je größer also die Vierte, um so größer ist die Erste und um so größer sind die Differenzen ihrer Quadrate und die Differenz der Quadratdifferenzen zwischen der Vierten und Dritten einerseits und der Zweiten und Ersten andrerseits; entsprechend also dem Verhältnis zwischen den Quadraten der Vierten und Ersten verhalten sich die Quadratdifferenzen zwischen der Vierten und Dritten einerseits und der Zweiten und Ersten andrerseits, und zwar so: Wenn das Quadrat der Zweiten um irgendeinen Betrag größer ist als das Quadrat der Ersten, und das Quadrat der Vierten doppelt so groß ist wie das Quadrat der Ersten, so wird das Quadrat der Vierten größer als das Quadrat der Dritten um das Doppelte [des nämlichen Betrages], und wenn das Verhältnis zwischen den Quadraten der Vierten und Ersten ein anderes ist, so ist das Verhältnis zwischen den Größen dieser Differenzen auch ein anderes. Wenn Du dies bestreitest und behauptest, das Verhältnis des Quadrats der Vierten zum Quadrat der Ersten sei 2 zu 1, aber nicht [verhalte sich ebenso] der Überschuß des Quadrats der Vierten über das der Dritten zum Überschuß des Quadrats der Zweiten über das der Ersten, vielmehr sei der Überschuß des Quadrats der Vierten über das der Dritten 3 und der Überschuß des Quadrats der Zweiten über das der Ersten 1; dann behaupte ich, dies enthalte einen Widerspruch. Denn es folgt, daß in diesem letzteren Falle die Erste und Zweite kleiner und ähnlicher sind als die Erste und Zweite vorher, wo sich ihre Quadrate um die halbe [Quadratdifferenz der Vierten und Dritten] unterschieden; je kleiner nämlich die Differenz der Überschüsse ist, um so ähnlicher und kleiner sind die Strecken. Gleichzeitig folgt, daß die Erste und Zweite im zweiten Fall größer sind als die Erste und Zweite, deren Quadrate sich um die Hälfte der Quadratdifferenz zwischen der Vierten und Dritten unterscheiden. Je mehr nämlich die Quadratdifferenz zwischen der Vierten und Dritten die Quadratdifferenz zwischen der Zweiten und Ersten übertrifft, um so größer und unähnlicher sind die Zweite und Erste; sie werden also größer sein als die Zweite und Erste, bei denen die Quadratdifferenz die Hälfte ist, wenn man die Quadratdifferenz als ein Drittel der Quadratdifferenz zwischen der Vierten und Dritten ansetzt. So werden sie größer und kleiner, ähnlicher und unähnlicher, was nicht z u vereinbaren ist. Ein ähnlicher Widerspruch ergibt sich, wenn man setzen würde, daß die Quadratdifferenz zwischen der Zweiten und Ersten größer sein soll als die halbe Quadratdifferenz zwischen der Vierten und Dritten, und dieser Widerspruch ergibt sich in allen Fällen, wenn behauptet wird, das Verhältnis der Überschüsse zwischen dem Quadrat der Vierten über das der Dritten und zwischen dem Quadrat der Zweiten über das der Ersten sei ein anderes als das Verhältnis des Quadrats der Vierten zum Quadrat der Ersten.

Abb. 56.

Abb. 57.

Wenn Du mit diesem Hilfsmittel ein Möndchen abschneiden oder einen Kreis quadrieren willst, mußt Du folgendermaßen vorgehen, z. B. am Quadrat: Um $a$ als Mittelpunkt sei der Viertelkreis $bc$ beschrieben; von $a$ aus lege man durch $b$ und $c$ die Strahlen von unbestimmter Länge und ziehe die Sehne $bc$ und die umbeschriebene Seite $eof$, die den Bogen in o$o$ berühren soll; man ziehe den Halbmesser $ao$ und zeichne dann als zweite Linie $gh$, die gleich dem Bogen sein soll; sie schneide $ao$ in $i$. Dann werde als Dritte $kl$ gezogen, die $ao$ in $m$ schneidet. Wenn also die Dritte, nämlich $kl$, so beschaffen ist, daß ihr Quadrat vom Quadrat über $ef$ um das Doppelte der Quadratdifferenz zwischen $gh$ und $bc$ übertroffen wird, und wenn gleichzeitig das Produkt aus $ao$ und $ih$ gleich ist dem Produkt aus $am$ und $ml$, dann ist erreicht, was Du erstrebt hast; wenn nicht, dann verändere so lange, bis dies eintritt. Ein Zahlenbeispiel: Der Halbmesser $ao$ sei 7, sein Quadrat 49; dann ist $bc=\sqrt{98}$, $ef=\sqrt{196}$. $gh$ werde gleich 11 gesetzt; das Quadrat ist 121. Ziehe davon 98 ab, dann verbleiben 23. Nimm das Doppelte hiervon, nämlich 46, von 196 weg, dann bleiben 150. Wenn das Produkt aus 7 und 5½ gleich wäre dem Produkt aus der Hälfte von $\sqrt{150}$ mit sich selbst oder, was das nämliche ist (da $am=ml$), $am\times ml$, dann hättest Du das Gesuchte, und ml wäre die Seite des dem Kreis flächengleichen Quadrats, und der Viertelumfang wäre 11. Aber wenn Du genau rechnest, so findest Du, daß 11 etwas zu groß ist.

In der Durchführung ist es ein wenig schwierig, die mittleren Linien, nämlich die Zweite und die Dritte, zu finden. Wenn Du Dir daher die Mühe erleichtern willst, mußt Du es so machen: Lege die Strecke $ac$ gleich 7 Halbmesser, ihr Mittelpunkt sei $b$; lege in $b$ und $c$ die Lote, und zwar $cd=ac$ und $eb=ab$, lege die Linie $aed$, trage auf $cd$ einen Halbmesser $cf$ ab, und die Halbsehne $bg$ des Viertelkreises, d. h. die Hälfte von $bc$ in der vorangehenden Figur, trage auf $be$ ab. Ziehe die Linie $fg$, und weil $cd$ das Quadrat der Wurzel $cf$ ist und $bg$ die Wurzel von $be$, deshalb suche zwischen $be$ und $cd$ die Quadrate derHälften der mittleren Linien, d. h. der Zweiten und der Dritten. Angenommen, das Quadrat der halben Zweiten sei $ik$, und in ihrem Schnittpunkt mit $fg$ liege $l$. Sieh zu, um wieviel $be$ von $ik$ übertroffen wird, und laß $cd$ die Dritte mn um das Doppelte übertreffen, so daß $mn$ von $be$ um doppelt soviel übertroffen wird wie $be$ von $ik$. Den Schnittpunkt der Linien $mn$ und $fg$ bezeichne mit $o$. Wenn das Produkt von $mo$ mit sich selbst gleich wird dem Produkt aus dem Halbmesser und $li$, dann hast Du Dein Ziel erreicht, und $mo$ verdoppelt ergibt die Seite des quadrierten Kreises. Wenn dies nicht der Fall ist, dann verändere so lange, bis es zutrifft. Und wie Du beim Viertelkreis vorgegangen bist, entsprechend kannst Du es bei anderen vorher behandelten Bögen machen, Möndchen abschneiden und den Kreis ausstrecken.

Ich will aber weiterhin noch einige andere mögliche Methoden berühren, nämlich, wie sich jeder Kreis unmittelbar in ein beliebiges Vieleck überführen läßt, ohne daß es nötig ist den krummlinigen Kreisumfang vorher in eine Gerade zu verwandeln. Die Ausführung dieser Methoden überlasse ich zur Übung Leuten mit mehr Muße als ich sie habe.

Wenn Du einem Viertelkreis eine Quadratseite ein- und umbeschreibst und aus dem Mittelpunkt eine Gerade zum Berührpunkt der umbeschriebenen Quadratseite mit dem Kreis ziehst und eine andere zum Endpunkt der Seite, indem Du auf diese Weise das Dreieck schließest; wenn Du ferner aus dem Mittelpunkt durch irgendeinen Punkt des Bogens nach der umbeschriebenen Quadratseite hin eine Gerade so zeichnest, daß eine zu den beiden Vieleckseiten parallele Linie, die durch diesen Punkt hindurch von einer Dreieckseite zur anderen verläuft, gleich ist den beiden Abschnitten, welche die vorige vom Zentrum durch eben diesen Punkt gezogene Linie von den Seiten der besagten Vielecke abgeschnitten hat, zwischen eben dieser Linie und der anderen, die als Seite des Dreiecks zum Berührpunkt gezogen ist, dann wird diese Parallele die Hälfte der dem Bogen entsprechenden Vieleckseite sein, wobei das Vieleck gleich dem Kreis ist.

Abb. 58.

Es sei um den Mittelpunkt $a$ ein Kreis beschrieben, von dem ich einen beliebigen Bogen herausgreife. Angenommen, ich will ein Quadrat finden, das dem Kreis gleich ist. Den Viertelkreis bezeichne ich mit $bc$ und ziehe die Seite $de$ des umbeschriebenen Quadrats, sie berühre den Kreis in $f$. Ich ziehe $af$ und $ad$ und die Seite $bc$ des einbeschriebenen Quadrats. Den Schnittpunkt der Linien $bc$ und $af$ bezeichne ich mit $k$, dann ziehe ich von $a$ aus durch einen beliebigen Punkt des Bogens $bf$ eine Linie gegen d$df$ zu. Der Punkt auf dem Bogen sei $g$ und der Schnittpunkt mit $bk$ sei $l$, der Schnittpunkt mit d$df$ sei $m$. Durch $g$ lege ich die Parallele $hgi$ zu $df$, die von $af$ nach $ad$ verläuft. Ich behaupte: Wenn $hi=lk+mf$, dann ist $hi$ die halbe Seite des dem Kreis gleichen Quadrats.

Abb. 59.

Um dies einzusehen, muß man zuerst folgendes betrachten: Wenn man um den Mittelpunkt $a$ einen Kreis beschreibt und an ihn im Punkte $f$ eine Tangente unbestimmter Länge legt, $af$ zieht und von $a$ aus gegen die Tangente hin die Linie $ac$ legt, die den Kreis in $g$ schneiden soll, und wenn man ferner zur Tangente aus einem Punkt o$o$ der Linie $af$ durch $g$ die Parallele von unbestimmter Länge legt,dann wird auf ihr durch eine weitere Linie — von $a$ aus gegen die Tangente zu — eine Äquatrix abgeschnitten, und diese Gerade $hrd$ liege so, daß $or$ die Äquatrix sei. Diese benenne ich so, weil sie zum Möndchen $ogf$, das sie von der Kreisfläche abschneidet, ein gleichgroßes Flächenstück $hrg$ erzeugt, indem sie das rechtwinklige Dreieck $aro$ schließt, das dadurch dem Kreissektor $ahf$ gleich wird.

Abb. 60.

Zweitens muß man folgendes betrachten: Die Figur mit der Tangente und einer Linie, von der die Äquatrix abgeschnitten wird, sei wie vorher. Aus einem beliebigen Kreispunkt läßt sich eine Sehne so ziehen, daß ihr Abschnitt zwischen $af$ und a$ac$, vermehrt um $cf$, gleich wird der besagten Åquatrix. Der Kreispunkt sei $h$, der Abschnitt zwischen $ac$ und $af$ sei $ik$.

Abb. 61.

Drittens muß man folgendes betrachten: Die Figur von vorher mit der Tangente und einer Linie, von der die Äquatrix abgeschnitten wird, soll erhalten bleiben. Wenn eine weitere bewegliche Linie $al$ über $ac$ liegt und bei fest bleibendem $a$ nach links hin gedreht wird, dann wird sie zu einem Kreispunkt kommen derart: wenn man durch ihn eine Parallele zur Tangente legt bis zum Schnitt mit der Geraden $af$, wird der Abschnitt auf ihr zwischen $ac$ und $af$, vermehrt um $cf$, gleich der Aquatrix, die durch $al$ abgeschnitten wird. Jener Kreispunkt sei $h$, die Halbsehne $hk$, der Abschnitt $ik$ und der Abschnitt der Äquatrix $or$. Es kann keinen anderen Kreispunkt geben als diesen einen $h$, für den sich die Sache so verhält. Denn voyr ihm sind die Abschnitte größer als die Äquatrix, und nach ihm ist die Äquatrix größer als die Abschnitte. Dies stimmt, wenn $hf$ ein halber Viertelkreis ist. Wenn es nicht stimmt, so verändere $g$, bis es stimmt.

Ich behaupte also, in diesem Fall der Gleichheit sind die Abschnitte gleich der wahren Äquatrix, und diese ist $or$. Wenn Du dies bestreitest und behauptest, die Abschnitte seien kleiner als die wahre Äquatrix und ebenso $or$, dann müßte, wenn die Abschnitte gleich sein sollten, die Linie aus $a$, die jene Abschnitte erzeugen sollte, zwischen $c$ und $d$ fallen, und so wäre der Bogen $gf$ kleiner als er sein sollte und das Möndchen $gof$ kleiner als $hrg$. Aber weil Du sagst, $or$ sei kleiner als die Äquatrix, fällt die Äquatrix über $or$ hinaus gegen die Tangente zu und or unterhalb derselben gegen $hk$ hin. Deshalb schneidet or einen größeren Bogen ab als die Äquatrix. Und Möndchen $gof$ wird größer als $hrg$. Also ist der Bogen gleichzeitig kleiner und größer. Wenn Du behauptest, die Abschnitte seien größer und $or$ sei größer als die Äquatrix, folgt der gleiche Widerspruch. E s gilt also die Behauptung.

Zuletzt will ich nun erörtern, wie zu gleicher Zeit die Seiten irgendwelcher beliebiger Vielecke, die gleich dem Kreis sein sollen, gefunden werden. Dieses ist der Satz:

Der Kreishalbmesser, die Halbseiten der umbeschriebenen Vielecke und die einbeschriebenen Linien des Komplements seien gezeichnet. Dann schneidet eine Linie, die vom Mittelpunkt nach der Halbseite des umbeschriebenen Vielecks gezogen ist, einen kleineren Abschnitt ab von der Linie des Komplements des einen einbeschriebenen und einen größeren von der Halbseite des nämlichen umbeschriebenen Vielecks; beide Abschnitte zusammen sind gleich der Halbseite des dem Kreis gleichen Vielecks. Wenn dann andere Linien so durch die Abschnitte derartiger Linien gezogen werden, daß diese Abschnitte sich zu den früheren Abschnitten der Halbseite verhalten wie die Halbseiten des einen Vielecks zusammen zu den Halbseiten des anderen, dann schneiden sie in ähnlicher Weise solche Abschnitte ab; den kleineren von der einbeschriebenen Komplementstrecke und den größeren von der Halbseite des umbeschriebenen; diese sind gleich der Halbseite eines solchen dem Kreis gleichen Vielecks.

Abb. 62.

Um $a$ als Mittelpunkt sei ein Kreis beschrieben vom Halbmesser $ab$; es werde die halbe Seite $bc$ des umbeschriebenen Dreiecks gezogen und $de$, die Komplementstrecke; außerdem werde die Halbseite $bf$ des umbeschriebenen Quadrats gezeichnet und die zugehörige Komplementstrecke $gh$; und wenn Du willst, kannst Du in ähnlicher Weise die halben Seiten von mehreren Vielecken ziehen. Ziehe dann von $a$ aus nach $bc$ hin eine Gerade, und wo sie $de$ schneidet, liege $i$; wo sie $bc$ schneidet, liege $k$. Dann ziehe eine weitere Gerade aus $a$ nach $bc$ hin, und wo sie $gh$ schneidet, liege $l$, wo sie $bc$ schneidet, liege $m$. Ich behaupte: Wenn $gl$, der kleinere Abschnitt auf $gh$, zusammen mit $fm$, dem größeren Abschnitt von $bf$, gleich wird der Halbseite des dem Kreis gleichen Quadrats; wenn sich ferner $di$, der kleinere Abschnitt auf $de$, zu $gl$ verhält wie sich $bc+de$ zu $bf+gh$ verhält — und wenn sich ebenso $ck$ zu $fm$ verhält, dann wird $di+ck$ die Halbseite des dem Kreis gleichen Dreiecks. Und sie wird sich zur Halbseite des Quadrats verhalten, wie sich die besagten Abschnitte zueinander verhalten, und wie Du bei diesen Vielecken vorgehst, so kannst Du es bei allen machen.

Dieser Satz geht aus dem Folgenden hervor. Denn aus der Verschiedenheit der Seiten in den einzelnen Vielecken, die dem nämlichen Kreis gleich sind, folgt die Verschiedenheit der Seiten in den umbeschriebenen Vielecken und der Komplementstrekken in den einbeschriebenen; wie sich also jene verhalten, so verhalten sich diese zusammengenommen. Dabei müssen die Abschnitte, die auf den Seiten durch Linien aus dem Zentrum entstehen, wenn man die Halbseite des zum Kreis gleichen Vielecks konstruiert, gegenseitig das nämliche Verhältnis haben, damit sie Seiten vom nämlichen Verhältnis erzeugen können.

Es besteht aber kein Zweifel, daß die vom Zentrum ausgehende Linie auf den Halbseiten Abschnitte erzeugen, kann, die zusammen der gesuchten gleich sind; doch könnte die Schwierigkeit entstehen, wie man die Linien des Komplements finden kann, die, zu den Halbseiten der umbeschriebenen Vielecke hinzugefügt, Vielecke von der nämlichen Fläche erzeugen. Angenommen, $de$ werde zu $bc$ hinzugefügt und das Ganze als Dreieckseite genommen; $gh$ zu $bf$ hinzugefügt, erzeugt die Seite des gleich großen Quadrats. Aber das Verhältnis der Seiten ergibt sich leicht aus dem Obigen. Es wird jedoch die Linie des Komplements im Dreieck als Halbseite des einbeschriebenen Vielecks genommen, wie z. B. $de$, und andere Komplemente werden dementsprechend angenommen. Diese Strecken heißen Komplemente, weil sie, zu den Halbseiten der umbeschriebenen Vielecke hinzugefügt, die Halbseiten der flächengleichen Vielecke ergeben.

Es könnte auch ein Zweifel bestehen, ob die Abschnitte das Verhältnis erhalten, das sie erhalten sollen. Daher kannst Du es so machen: Ziehe $ab$ von unbestimmter Länge und ebenso aus $a$ durch $f$ eine Linie unbestimmter Länge und zeichne eine Linie $no=bc+de$; teile sie in zwei Abschnitte, die sich verhalten wie $gh$ zu $bf$; die Abschnitte $op$ und $pn$ schiebe parallel zu $b$ zwischen die besagten von $a$ aus durch $b$ und durch $f$ gehenden Linien ein, und die Linie, die von $a$ aus durch $gh$ gezogen wird, schneidet von $op$ einen Abschnitt ab, der zu dem von $gh$ abgeschnittenen Abschnitt im gleichen Verhältnis steht wie die Seite. Es sei $oq$ der Abschnitt auf der Linie $op$, der sich zu $\mathrm{g}\mathrm{l}$ verhält, wie es sein soll. Wenn also $di=oq$ ist, dann hast Du jenen Abschnitt. Mache es ebenso mit dem anderen Abschnitt $no$; dieser sei $rs$ und gleich $pn$. Schiebe ihn zwischen die Linien ein, die aus $a$ durch $b$ und $f$ gehen, wie Du es früher mit dem anderen Abschnitt gemacht hast, und wenn der Abschnitt s$st$, der von $aq$ auf $rs$ abgeschnitten wird, gleich $ck$ ist, hast Du das Gesuchte. Wenn nicht, so verändere, bis Du es hast. Dies ist der allgemeine Weg bei allen Vielecken.

Daraus kannst Du ersehen, daß Du eine Lehre hast, jeden Kreisteil, der sich durch Radien aus dem Mittelpunkt abschneiden läßt, auch wenn er zum ganzen Kreis kein ganzzahliges Verhältnis hat, in eine geradlinig begrenzte Fläche zu überführen, und daß jeder Teil des Umfangs, auch wenn er zum ganzen kein ganzzahliges Verhältnis hat, mit Hilfe der Äquatrix nach dem Vorhergehenden in eine Gerade ausgestreckt werden kann.

Eine außerordentlich leichte Ausstreckung des Kreises

Abb. 63.

Um das Zentrum $a$ sei ein Kreis beschrieben, der Durchmesser $bac$ sei gezogen und die größte Sehne $dae$, die $bac$ senkreschneiden möge, sei unbegrenzt verlängert. Wenn man dann um einen Punkt $f$ auf $ac$, der von $b$ um die zum Drittelkreis gehörige Sehne entfernt ist, einen Kreis vom Halbmesser $fb$ zeichnet, so schneidet dieser Kreis auf der größten Sehne die Strecke $gh$ ab, die gleich oder nahezu gleich ist dem halben Kreisumfang. Wenn man aus $b$ und $c$ nach $g$ und $h$ Gerade legt, dann ist die Fläche $bgch$ gleich oder nahezu gleich der Kreisfläche $bcde$.

Abb. 64.

Um dies einzusehen, beschreibe um a den Kreis $bode$ wie vorher. Ziehe die zum Sechstel-Kreisumfang gehörige Sehne $lm$, die zum Viertel-Kreisumfang gehörige Sehne $ik$ und die zum Drittel-Kreisumfang gehörige Sehne $no$. Bemerke: Da jede Sehne kleiner ist als der zugehörige Bogen, und da beim größeren Bogen der Unterschied im Verhältnis größer ist, wird der Kreis, der durch $b$ hindurchgehen, sein Zentrum auf dem Halbmesser $bc$ haben und von der verlängerten Sehne eine Strecke gleich dem Bogen abschneiden soll, sein Zentrum notwendig gegen $c$ zu haben müssen, wie $a$, und zwar in um so größerem Abstand [von $b$), je größer der Bogen ist, dem die Sehne unterspannt ist. Und der kleinste Halbmesser von allen, z u dem man keinen kleineren angeben kann, wird sein Zentrum in $a$ haben und den Halbmesser $ab$. Der größte Kreis wird sein Zentrum von $a$ entfernt gegen $c$ zu haben in der größten Entfernung von $a$, und den größten Halbmesser. Dieser größte Kreis muß von der größten Sehne eine Strecke abschneiden, die gleich dem Halbkreis ist, und dieser größte Halbmesser ist gesucht.

Zweitens ist zu bemerken: Es läßt sich irgendeine Sehne angeben als Mittelsehne (media) zwischen paarigen Sehnen. Paarig (compares) nenne ich Sehnen, deren eine kleiner ist als die bezeichnete Mittelsehne, während die andere größer ist, und zwar so, daß sie um den gleichen Bogen von der bezeichneten Mittelsehne abstehen, wie z. B. $ik$ von $mi$ und $no$. Denn da Bogen $il$ gleich dem Bogen $in$ ist, heißen $lm$ und $no$ paarig zu $ik$. Ich behaupte: Es läßt sich eine Sehne angeben, wo die Quadrate von immer je zwei zugehörigen paarigen Sehnen zusammen größer sind als das doppelte Quadrat der Mittelsehne. Zieht man z. B. zur Sehne $lm$ als Mittelsehne irgendwelche paarige, so werden die Quadrate derselben zusammen immer größer sein als das doppelte Quadrat von $lm$. Es läßt sich auch eine Mittelsehne angeben, wo die Quadrate von immer j e zwei paarigen zusammen kleiner sind als das doppelte Quadrat der Mittelsehne, wie es z. B. bei den $no$ zugehörigen paarigen Sehnen der Fall ist. Ebenso läßt sich eine Sehne angeben, wo die Summe von immer je zwei paarigen zugehörigen Sehnen dem doppelten Quadrat der Mittelsehne gleich sein wird; denn um den Betrag, um den das Quadrat der kleineren kleiner ist als das Quadrat der Mittelsehne, um diesen Betrag ist das Quadrat der größeren größer; und weil die Quadrate von immer je zwei paarigen zusammen gleich dem doppelten Quadrat der Mittelsehne sein werden, ist klar, daß dies die Sehne $ik$ ist. Denn die Summe aus dem Quadrat von $lm$ und dem Quadrat von $no$ ist gleich dem doppelten Quadrat von $ik$. Ebenso ist auch das Quadrat der größten Sehne, d. h . der Sehne $de$, zusammen mit ihrer zugehörigen paarigen Sehne, d. h . mit dem Quadrat der kleinsten, gleich dem doppelten Quadrat von $ik$. Und weil das Quadrat der kleinsten Sehne keinen Betrag haben kann, ist klar, daß das Quadrat des Durchmessers gleich ist dem doppelten Quadrat von $ik$ oder der Seite des einbeschriebenen Quadrats. Das gleiche gilt für alle zu $ik$ [als Mittelsehne gehörigen] paarigen Sehnen. Das ist richtig.

Drittens setze ich voraus: $ik$ doppelt genommen ist größer als zwei Halbmesser, nämlich des gesuchten größten Kreises und des kleinsten vom Halbmesser $ab$. Das übergehe ich als bekannt. Daraus leite ich ab, daß sich zu $ik$ zwei paarige Sehnen angeben lassen, die zusammen diesen beiden Halbmessern gleich sein werden. Es lassen sich nämlich größere paarige Sehnen angeben, d. h. nahe bei $ik$, und kleinere, die von $ik$ am weitesten entfernt sind; also auch gleiche.

Viertens ermittle ich daraus, daß $no$ gleich oder nahezu gleich dem Halbmesser des gesuchten Kreises ist. Denn da die Quadrate der paarigen 1 Sehnen, die gleich den zwei Halbmessern sind, gleich dem doppelten Quadrat von $ik$ sind, und da $lm$ gleich dem Halbmesser des kleinsten Kreises ist, bleibt, wenn man dieses Quadrat vom doppelten Quadrat von $ik$ abzieht, das Quadrat von $no$; $no$ ist also der Halbmesser des gesuchten größten Kreises.

Fünftens schließe ich: Wenn $no$ der Halbmesser ist, dann findet sich auf $af$ ein Punkt $p$ von der Art, daß sich $ap$ zu $af$ verhält wie der Pfeil des Bogens $ibk$ zun Pfeil des Halbkreises $dbe$: $p$ wird Zentrum, $pb$ Halbmesser des Kreises sein, der aus der verlängerten Sehne $ik$ die Strecke $qr$ ausschneidet, die verdoppelt $gh$ ergibt. Und wenn Du es bei allen paarigen Sehnen so machst, indem D u aus dem Verhältnis der Pfeile das Zentrum findest, dann werden die Abschnitte, die auf den Verlängerungen der paarigen Sehnen entstehen, zusammen immer gleich $gh$ sein; allerdings ist nicht jeder Abschnitt auf einer der paarigen Sehnen gleich ihrem Bogen. Und so verhält es sich mit unendlich vielen paarigen Sehnen. Nach der nämlichen Regel kannst Du Strecken abschneiden, die gleich dem Halbkreis sind. Wenn $no$ der Halbmesser des Kreises ist, werden diese Abschnitte nicht übereinstimmen; und so muß man den Halbmesser verändern, bis die Abschnitte übereinstimmen. Daß aber die Fläche $bgch$ gleich der Kreisfläche ist, wird aus dem Vorhergehenden hinreichend klar.

Sechstens kannst Du Dir ableiten, daß die zwischen paarigen Sehnen liegenden Kreisstücke sich zum Kreis verhalten, wie sich das Bogenstück zwischen den paarigen Sehnen zum Kreisumfang verhält. Angenommen, das Kreisstück zwischen $lm$ und $no$ betrage ein Sechstel der Kreisfläche, also sind die Bogenstücke $ln$ und $mo$ je ein Sechstel des Kreisumfangs. Um den Betrag, um den das Stück zwischen $ik$ und $lm$ kleiner ist als ein Zwölftel, um den nämlichen Betrag ist das Stück zwischen ik und $no$ größer als ein Zwölftel des Kreises. Und durch diese Betrachtung kannst Du verschiedene Abschnitte der Kreisstücke herstellen und verschiedenen Dreiecken gleich machen. Und dies möge genügen.

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