Platonische Körper (Verallgemeinerung)

Verallgemeinerung

3D-Projektion des 24-Zells

Schlegeldiagramm des 24-Zells

Der Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli bestimmte 1852 die $n$-dimensionalen Verwandten der platonischen Körper – allerdings blieb sein Werk lange unbeachtet. Es stellte sich heraus, dass es im 4-dimensionalen Raum zu jedem der fünf regulären 3-dimensionalen Körper (3-Polytope) eine 4-dimensionale Entsprechung, ein reguläres 4-Polytop, gibt, dessen „Oberfläche“ (3-dimensionaler Rand) aus einer Anzahl von „Zellen“ zusammengesetzt ist (jede Zelle ein reguläres 3-Polytop): das 5-Zell (Pentachoron) aus 5 Tetraedern, das 8-Zell (Tesserakt) aus 8 Würfeln, das 16-Zell (Hexadekachor) aus 16 Tetraedern, das 120-Zell (Hekatonikosachor) aus 120 Dodekaedern und das 600-Zell (Hexakosichor) aus 600 Tetraedern. Dann gibt es noch ein sechstes reguläres 4-Polytop: das 24-Zell (Ikositetrachor), das aus 24 Oktaedern zusammengesetzt ist.

Im 5-dimensionalen Raum – und auch in allen Räumen höherer Dimension – gibt es statt fünf oder sechs nur noch drei reguläre Polytope: als Simplex das Hypertetraeder, als Maßpolytop den Hyperkubus und als Kreuzpolytop dessen Dual, das Hyperoktaeder.