Platonischer Körper (Eigenschaften)
Eine umfassende Darstellung der Eigenschaften der platonischen Körper enthält folgende Aufstellung:[1]
- Die Oberfläche setzt sich aus Flächen zusammen, sie sind Polyeder.
- Sie sind konvex: Es kommen keine einspringenden Ecken oder Kanten vor.
- Alle Kanten haben die gleiche Länge.
- Alle Flächen sind untereinander kongruent: Sie lassen sich durch Drehungen und Verschiebungen ineinander überführen.
- Alle Ecken haben gleiche Flächenwinkel und Kantenwinkel, alle Flächen sind gleichseitig und gleichwinklig.
- Alle Ecken haben denselben Abstand vom Körper-Mittelpunkt.
- Es existiert eine Umkugel, eine Kantenkugel und eine Inkugel.
Die Bedingung, dass an einer Körperecke nur gleiche Polygone zusammenstoßen, wird nur von fünf Formen von Ecken erfüllt. Der Beweis dafür findet sich schon bei Euklid.[2] Er beruht auf folgenden Überlegungen:
- Für eine beliebige Körperecke ist die Summe der Innenwinkel aller angrenzenden Flächen kleiner als 360°. Wäre sie genau 360°, würden die Flächen in einer Ebene liegen. Auch bei mehr als 360° wäre keine Ecke möglich.
- Andererseits müssen sich an jeder Körperecke mindestens drei Flächen treffen.
Sind bei einem Körper alle Seitenflächen regelmäßige Dreiecke (Innenwinkel 60°), so können an einer Körperecke drei, vier oder fünf gleichseitige Dreiecke (Winkelsumme 180°, 240°, 300°) zusammentreffen. Bei sechs gleichseitigen Dreiecken ist die Summe 360°, und sie füllen eine Ebene genau aus. Es gibt keinen Winkelrest, den man als Keil aus dieser Ebene ausschneiden und dann die Dreiecke eine Körperecke bilden lassen kann.
Sind die Seitenflächen Quadrate (Innenwinkel 90°), so können nur drei davon eine Ecke bilden (Winkelsumme 270°). Bei vier Quadraten ist die Summe 360°, und diese vier füllen auch eine Ebene genau aus.
Sind die Seitenflächen regelmäßige Fünfecke (Innenwinkel 108°), so können auch nur drei davon eine Ecke bilden (Winkelsumme 324°). Bei vier Fünfecken ist die Summe 432°, also größer als 360°, und sie lassen sich gar nicht auf einer Ebene unterbringen.
Die Summe der Innenwinkel von 6 gleichseitigen Dreiecken, 4 Quadraten, 4 regelmäßigen Fünfecken oder 3 regelmäßigen Sechsecken (oder allen regelmäßigen Flächen mit noch mehr Ecken) sind also bereits 360° oder größer.
Die 360°-Summe der Innenwinkel von sechs gleichseitigen Dreiecken, vier Quadraten und drei regelmäßigen Sechsecken bedeutet, dass eine reguläre Parkettierung der Ebene stattfindet (siehe auch Abschnitt Platonische Körper als reguläre Parkettierungen der Sphäre).
| Polygon | Innenwinkel | Polygone pro Ecke und Eck-Summenwinkel / Polyeder mit solchen Ecken | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6 | ≥ 7 | ||
| Gleichseitiges Dreieck | 60° | 180° / Tetraeder | 240° / Oktaeder | 300° / Ikosaeder | 360° | >360° |
| Quadrat | 90° | 270° / Hexaeder | 360° | >360° | >360° | >360° |
| Regelmäßiges Fünfeck | 108° | 324° / Dodekaeder | >360° | >360° | >360° | >360° |
| Regelmäßiges Sechseck | 120° | 360° | >360° | >360° | >360° | >360° |
| Sieben oder mehr Ecken | 128,57° oder größer | >360° | >360° | >360° | >360° | >360° |
Zu jedem konvexen Polyeder lässt sich ein Dualkörper konstruieren. Bei platonischen Körpern erhält man diesen, indem man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen miteinander verbindet. Duale Körper im engeren Sinne haben dieselbe Kantenkugel. Einander entsprechende Kanten der dualen Körper schneiden sich in einem rechten Winkel in dem Punkt, in dem sie die Kantenkugel berühren.
Somit hat das duale Polyeder genauso viele Ecken, wie das Ausgangspolyeder Flächen hat. Der Dualkörper hat zudem genauso viele Flächen, wie der Ausgangskörper Ecken hat. Letzteres kann man sich räumlich so vorstellen, dass jede vergrößerte Fläche des Dualkörpers eine Ecke des Ausgangskörpers abschneidet. Drittens gilt, dass das Dualpolyeder und sein Ausgangspolyeder die gleiche Anzahl an Kanten haben. Dies lässt sich ebenfalls aus obiger Konstruktion ablesen: Zwei benachbarte Seitenflächen bilden gemeinsam eine Kante des Ausgangspolyeders, und die „Verbindung der zwei Mittelpunkte“ dieser benachbarten Seitenflächen stellt eine Kante des Dualkörpers dar. Man spricht deshalb auch von dimensionsumkehrender Dualität. Und die Inversion des Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polyeder.
Bei den platonischen Körpern, als Untergruppe der konvexen Polyeder, gibt es bezüglich deren Dualkörper noch folgende Besonderheiten: Erstens haben hier Ausgangs- und Dualkörper denselben geometrischen Schwerpunkt. Zweitens ist der Dualkörper eines platonischen Körpers auch selbst ein platonischer Körper. Dabei bilden Hexaeder (Würfel) und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder jeweils ein duales Paar. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, wobei sich jedoch das duale Tetraeder in verkleinerter zentralsymmetrischer Lage befindet, d. h., es „steht auf dem Kopf“. Drittens: Wiederholt man obige Konstruktion und konstruiert den dualen Körper zum Dualkörper, so erhält man einen verkleinerten Ausgangskörper – also einen platonischen Körper, der durch Zentrische Streckung in den Ausgangskörper überführt werden kann. Beide haben somit denselben Schwerpunkt.
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Zwei ineinander gesteckte zueinander duale Tetraeder, die ein Sterntetraeder bilden -
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Die platonischen Körper zeigen größtmögliche Symmetrie:
- Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig, d. h., jede Ecke (Kante, Fläche) kann durch eine Kongruenzabbildung des Körpers auf jede andere Ecke (Kante, Fläche) abgebildet werden.
Man sagt dazu:
- Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Ecken (wie auch auf den Kanten und Flächen).
Es gilt sogar:
- Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Fahnen. (Eine Fahne ist eine Ecke auf einer Kante auf einer Fläche.)
Die fünf platonischen Körper sind daher reguläre Polyeder. Die bei ihnen auftretenden Symmetriegruppen und ihre Untergruppen gehören zu den diskreten Punktgruppen. Duale platonische Körper haben dieselbe Symmetriegruppe. Das ist die Basis für die Konstruktion zahlreicher anderer Körper, z. B. der archimedischen Körper. Es gibt also nicht fünf, sondern nur drei dieser Gruppen: die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe. Sie spielen in unterschiedlichen Zusammenhängen in der Mathematik eine Rolle.
Aufgrund ihrer Symmetrie haben homogen gefertigte Modelle platonischer Körper die Eigenschaft, dass sie bei einem Wurf mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen können. Die meisten Spielwürfel sind übrigens aufgrund der Vertiefungen für die Augenzahlen nicht absolut perfekt symmetrisch.
Da Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder auch zu den konvexen Deltaedern gehören, gehört aus jeder Symmetriegruppe ein Körper zu den Deltaedern.
Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat
- eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt, und
- eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen, sowie
- eine Kantenkugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen.
Der gemeinsame Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt des platonischen Körpers.