Platonischer Körper (Mathematische Eigenschaften)

Platonische Körper als reguläre Parkettierungen der Sphäre

Siehe auch: Platonische Parkettierungen

Projiziert man die Kanten eines platonischen Körpers aus dem Mittelpunkt auf eine Kugel mit demselben Mittelpunkt, z. B. auf die Umkugel, so erhält man eine Parkettierung der Kugeloberfläche durch zueinander kongruente regelmäßige sphärische Vielecke, wobei in jeder Ecke gleich viele Kanten unter gleichen Winkeln zusammentreffen. Diese Parkettierungen haben dieselben Symmetrien wie der Ausgangskörper. Insbesondere sind sie ebenfalls fahnentransitiv. Es sind die fünf regulären Parkettierungen der Sphäre, zwischen denen dieselben Dualitätsbeziehungen bestehen wie zwischen den Körpern. In anderem Zusammenhang spricht man auch von Landkarten und dualen Landkarten.

Jede reguläre Parkettierung kann durch ein Paar $\{p,q\}$, das sogenannte Schläfli-Symbol, beschrieben werden, wobei $p$ für die Anzahl der Kanten eines Feldes und $q$ für die Anzahl der in einer Ecke endenden Kanten steht. Die platonischen Körper sind die dualen Paare $\{4,3\}$ (Hexaeder) und $\{3,4\}$ (Oktaeder), $\{5,3\}$ (Dodekaeder) und $\{3,5\}$ (Ikosaeder) sowie das selbstduale $\{3,3\}$ (Tetraeder).

Geometrisch bedeutet das für die platonischen Körper, dass

• $p$ die Anzahl der Ecken der Seitenflächen ist. Die Seitenflächen des platonischen Körpers sind also regelmäßige $p$-Ecke.
• $q$ die Anzahl der Flächen/Kanten des platonischen Körpers sind, die an einer Ecke zusammentreffen.

Die Summe der Innenwinkel an einer Ecke des platonischen Körpers beträgt daher $q\cdot \frac{p-2}{p}\cdot 180^{\circ }$ (siehe Regelmäßiges Polygon - Winkel). Daraus ergibt sich die Ungleichung

$\begin{array}{cc}q\cdot \frac{p-2}{p}\cdot 180^{\circ }& <360^{\circ }\Rightarrow \\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}& >\frac{1}{2}(p,q\in \mathbb{N})\end{array}$

mit den oben genannten Lösungen. Diese Beziehung folgt auch aus dem eulerschen Polyedersatz, der die Anzahl $E$ der Ecken, $K$ der Kanten und $F$ der Flächen zueinander in Bezug stellt:

$E-K+F=2$,

wobei die Konstante 2 für die Sphäre charakteristisch ist.

In der euklidischen Geometrie gilt für unendlich große planare Graphen bei geeigneter, nämlich asymptotischer Interpretation der Gleichung

$E-K+F=0$

oder

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{2}(p,q\in \mathbb{N})$

mit den Lösungen

$\{4,4\}$ (selbstdual) sowie $\{3,6\}$ und dual dazu $\{6,3\}$, die für die drei platonischen Parkettierungen der Ebene (durch Quadrate, gleichseitige Dreiecke und regelmäßige Sechsecke) stehen, die Verallgemeinerungen der platonischen Körper darstellen.

Die Lösungen von

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}<\frac{1}{2}(p,q\in \mathbb{N})$

liefern die regulären Parkettierungen der hyperbolischen Geometrie.

Für die platonischen Körper gilt nicht nur $E-K+F=2$, sondern auch $q\cdot E=2\cdot K=p\cdot F$. Dieses ausschließlich ganzzahlige Gleichungssystem aus drei Gleichungen lässt sich auflösen und ergibt für die Anzahl $E$ der Ecken, $K$ der Kanten und $F$ der Flächen:

$E=\frac{4\cdot p}{4-(p-2)\cdot (q-2)}$

$K=\frac{2\cdot p\cdot q}{4-(p-2)\cdot (q-2)}$

$F=\frac{4\cdot q}{4-(p-2)\cdot (q-2)}$

Es lässt sich also für jeden platonischen Körper nur durch die Vorgabe von $p$ und $q$ (siehe oben) die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen berechnen, ohne die genauen geometrischen Eigenschaften zu kennen.

Übersicht

Allgemeine Betrachtungen der platonischen Körper	Allgemeiner Fall	Tetraeder	Hexaeder	Oktaeder	Dodekaeder	Ikosaeder
Schläfli-Symbol	$\{p,q\}$	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Anzahl der Ecken	$E=\frac{4\cdot p}{4-(p-2)\cdot (q-2)}$	4	8	6	20	12
Anzahl der Kanten	$K=\frac{2\cdot p\cdot q}{4-(p-2)\cdot (q-2)}$	6	12	12	30	30
Anzahl der Flächen	$F=\frac{4\cdot q}{4-(p-2)\cdot (q-2)}$	4	6	8	12	20
Innenwinkel der Seitenflächen	$\alpha =\frac{p-2}{p}\cdot 180^{\circ }$	60°	90°	60°	108°	60°
Summe der Innenwinkel	$q\cdot \frac{p-2}{p}\cdot 180^{\circ }$	180°	270°	240°	324°	300°
Winkeldefekt (360° − Summe der Innenwinkel)	$(2-q\cdot \frac{p-2}{p})\cdot 180^{\circ }$	180°	90°	120°	36°	60°

Oberflächeninhalt

Für den Flächeninhalt der Oberfläche des platonischen Körpers gilt mit der Seitenlänge $a$ und dem Schläfli-Symbol $\{p,q\}$

$A_O=\frac{p\cdot q\cdot a^2}{4-(p-2)\cdot (q-2)}\cdot \cot \left(\frac{\pi }{p}\right)$

denn die Oberfläche besteht aus $F=\frac{4\cdot q}{4-(p-2)\cdot (q-2)}$ kongruenten regelmäßigen $p$-Ecken (siehe Regelmäßiges Polygon - Umfang und Flächeninhalt)

Winkel zwischen benachbarten Flächen

Für den Winkel $\beta$ zwischen benachbarten Flächen (Diederwinkel) gilt

$\beta =2\cdot \arcsin \left(\frac{\cos \left(\frac{\pi }{q}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{p}\right)}\right)\iff \sin \left(\frac{\beta }{2}\right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{q}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{p}\right)}$

wegen $0<\beta <\pi$, denn die platonischen Körper sind konvex.

Dafür reicht es, eine Diagonale $d_2$ (siehe Regelmäßiges Polygon – Diagonalen) des regelmäßigen $q$-Ecks zu betrachten, das von den Ecken der Kanten, die an einer bestimmten Ecke zusammentreffen, wie ein Regenschirm aufgespannt wird, und die beiden gleich langen Höhen der Endpunkte (Ecken) dieser Diagonalen auf die Kante, die die betrachtete Ecke mit der von der Diagonalen $d_2$ übersprungenen Ecke verbindet. Auf dieses gleichschenklige Dreieck kann der Sinus angewendet werden.

Die Seiten dieses regelmäßigen $q$-Ecks („Regenschirm“) sind die Diagonalen $d_2$ der Seitenflächen des platonischen Körpers, also der regelmäßigen $p$-Ecke der Seitenlänge $a$, die an der betrachteten Ecke zusammentreffen. Sie haben die Länge

$\frac{a\cdot \sin \left(\frac{2\cdot \pi }{q}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{q}\right)}=2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{\pi }{q}\right)$

Umkugelradius, Kantenkugelradius, Inkugelradius

Aus diesem Winkel $\beta$ zwischen benachbarten Flächen lassen sich der Umkugelradius $r_u$, Kantenkugelradius $r_k$ und der Inkugelradius $r_i$ des platonischen Körpers bestimmen, indem zusätzlich der Umkreisradius und der Inkreisradius der betroffenen Seitenfläche, einem regelmäßigen $p$-Eck, betrachtet wird (siehe Regelmäßiges Polygon - Kreis als Grenzform):

$r_u=\frac{a}{2}\cdot \tan \left(\frac{\pi }{q}\right)\cdot \tan \left(\frac{\beta }{2}\right)$

$r_k=\frac{a}{2}\cdot \frac{\cos \left(\frac{\pi }{p}\right)}{\cos \left(\frac{\pi }{q}\right)}\cdot \tan \left(\frac{\beta }{2}\right)$

$r_i=\frac{a}{2}\cdot \cot \left(\frac{\pi }{p}\right)\cdot \tan \left(\frac{\beta }{2}\right)$

Kantenlänge

Skizze zu den Kantenlängen der platonischen Körper, umschrieben von einer gegebenen Kugel

Die Kantenlänge $a$ erhält man u. a. aus der allgemeinen Formel für den Umkreisradius $r_u$. Darin ist $q$ die Anzahl der Flächen/Kanten des platonischen Körpers, die an einer Ecke zusammentreffen bzw. $\beta$ der Winkel zwischen benachbarten Flächen (siehe Formeln).

$a=\frac{2\cdot r_u}{\tan \left(\frac{\pi }{q}\right)\cdot \tan \left(\frac{\beta }{2}\right)}$

Euklid erklärt und beweist die Kantenlängen der fünf platonischen Körper, indem er sie mittels einer Kugel mit gegebenem Durchmesser umschreibt. Die nebenstehende Konstruktionskizze zeigt die so ermittelten Kantenlängen. Werden die Werte der Kantenlängen $a$ nach obiger Formel ermittelt, können sie jeweils in einen arithmetischer Ausdruck umgeformt werden. Der Faktor $r_u$ steht dabei für den Umkugelradius $r_u$.

• Tetraeder: $a=|\overline{AF}|=\sqrt{\frac{8}{3}}\cdot r_u\approx \mathrm{1,633}\cdot r_u$
• Hexaeder(Würfel): $a=|\overline{BF}|=\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot r_u\approx \mathrm{1,155}\cdot r_u$
• Oktaeder: $a=|\overline{AE}|=\sqrt{2}\cdot r_u\approx \mathrm{1,414}\cdot r_u$
• Dodekaeder: $a=|\overline{BN}|=\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{3}}\cdot r_u\approx \mathrm{0,714}\cdot r_u$
• Ikosaeder: $a=|\overline{AH}|=\sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{5}}\cdot r_u\approx \mathrm{1,051}\cdot r_u$

Die hierzu erforderlichen Konstruktionsschritte, sind in den Artikeln der platonischen Körper erläutert.

Raumwinkel in den Ecken

Im Jahre 2015 veröffentlichte H. C. Rajpoot eine einfache Formel für den Ecken-Raumwinkel

$\mathrm{\Omega }=2\cdot \pi -2\cdot q\cdot \arcsin (\cos \left(\frac{\pi }{q}\right)\cdot \sqrt{{\tan }^2\left(\frac{\pi }{q}\right)-{\tan }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)})$

die in allen fünf platonischen Körpern Anwendung findet. Dabei bedeuten die zwei Variablen

• $q$ die Anzahl der Kanten/Flächen die sich an einer Ecke des platonischen Körpers treffen
• $\alpha =(1-\frac{2}{p})\cdot \pi$ den Innenwinkel der Seitenflächen des platonischen Körpers

Volumen

Aus der Oberfläche und dem Inkugelradius ergibt sich schließlich das Volumen, denn jeder platonische Körper lässt sich in $F=\frac{4\cdot q}{4-(p-2)\cdot (q-2)}$ regelmäßige Pyramiden zerlegen, die eine Seitenfläche, also regelmäßiges $p$-Eck, als Grundfläche und den Inkugelradius als Höhe haben:

$\begin{array}{cc}V& =\frac{1}{3}\cdot A\cdot r_i=\frac{1}{3}\cdot \frac{p\cdot q\cdot a^2}{4-(p-2)\cdot (q-2)}\cdot \cot \left(\frac{\pi }{p}\right)\cdot \frac{a}{2}\cdot \cot \left(\frac{\pi }{p}\right)\cdot \tan \left(\frac{\beta }{2}\right)\\ & =\frac{p\cdot q\cdot a^3}{24-6\cdot (p-2)\cdot (q-2)}\cdot {\cot }^2\left(\frac{\pi }{p}\right)\cdot \tan \left(\frac{\beta }{2}\right)\end{array}$

Formeln

Größen eines platonischen Körpers mit p Ecken/Kanten pro Fläche, q Flächen/Kanten in einer Ecke und Kantenlänge a
	Allgemeiner Fall	Beispiel Dodekaeder
Schläfli-Symbol	$\{p,q\}$	$\{5,3\}$
Volumen	$V=\frac{p\cdot q\cdot a^3}{24-6\cdot (p-2)\cdot (q-2)}\cdot {\cot }^2\left(\frac{\pi }{p}\right)\cdot \tan \left(\frac{\beta }{2}\right)$	$V\approx \mathrm{7,663}\cdot a^3$
Oberflächeninhalt	$A_O=\frac{p\cdot q\cdot a^2}{4-(p-2)\cdot (q-2)}\cdot \cot \left(\frac{\pi }{p}\right)$	$A_O\approx \mathrm{20,646}\cdot a^2$
Umkugelradius	$r_u=\frac{a}{2}\cdot \tan \left(\frac{\pi }{q}\right)\cdot \tan \left(\frac{\beta }{2}\right)$	$r_u\approx \mathrm{1,401}\cdot a$
Kantenkugelradius	$r_k=\frac{a}{2}\cdot \frac{\cos \left(\frac{\pi }{p}\right)}{\cos \left(\frac{\pi }{q}\right)}\cdot \tan \left(\frac{\beta }{2}\right)$	$r_k\approx \mathrm{1,309}\cdot a$
Inkugelradius	$r_i=\frac{a}{2}\cdot \cot \left(\frac{\pi }{p}\right)\cdot \tan \left(\frac{\beta }{2}\right)$	$r_i\approx \mathrm{1,114}\cdot a$
Verhältnis von Inkugelradius zu Umkugelradius	$\frac{r_i}{r_u}=\cot \left(\frac{\pi }{p}\right)\cdot \cot \left(\frac{\pi }{q}\right)$	$\frac{r_i}{r_u}\approx \mathrm{0,795}$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	$\frac{V}{V_{UK}}=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{p\cdot q}{4-(p-2)\cdot (q-2)}\cdot {\cot }^2\left(\frac{\pi }{p}\right)\cdot {\cot }^3\left(\frac{\pi }{q}\right)\cdot {\cot }^2\left(\frac{\beta }{2}\right)$	$\frac{V}{V_{UK}}\approx \mathrm{0,665}$
Verhältnis von Inkugelvolumen zu Volumen	$\frac{V_{IK}}{V}=\pi \cdot \frac{4-(p-2)\cdot (q-2)}{p\cdot q}\cdot \cot \left(\frac{\pi }{p}\right)\cdot {\tan }^2\left(\frac{\beta }{2}\right)$	$\frac{V_{IK}}{V}\approx \mathrm{0,755}$
Innenwinkel der Seitenfläche (regelmäßiges $p$-Eck)	$(1-\frac{2}{p})\cdot 180^{\circ }$	$\alpha =108^{\circ }\approx \mathrm{1,885}$
Winkel zwischen benachbarten Flächen (Diederwinkel)	$\beta =2\cdot \arcsin \left(\frac{\cos \left(\frac{\pi }{q}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{p}\right)}\right)$	$\beta \approx \mathrm{116,56}{5}^{\circ }\approx \mathrm{2,034}$
Raumwinkel in den Ecken	$\mathrm{\Omega }=2\cdot \pi -2\cdot q\cdot \arcsin (\cos \left(\frac{\pi }{q}\right)\cdot \sqrt{{\tan }^2\left(\frac{\pi }{q}\right)-{\tan }^2((\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\cdot \pi )})$	$\mathrm{\Omega }\approx \mathrm{2,962}\mathrm{s}\mathrm{r}$
Sphärizität	$\mathrm{\Psi }=\frac{{\pi }^{\frac{1}{3}}\cdot (6\cdot V{)}^{\frac{2}{3}}}{A_O}$	$\mathrm{\Psi }=\frac{\sqrt[3]{180\cdot \pi \cdot (47+21\cdot \sqrt{5})}}{6\cdot \sqrt{25+10\cdot \sqrt{5}}}\approx \mathrm{0,910}$

Bemerkung: Für den Winkel $\beta$ zwischen benachbarten Seitenflächen (Diederwinkel) gilt (siehe Trigonometrische Funktion - Beziehungen zwischen den Funktionen und Arkusfunktion - Beziehungen zwischen den Funktionen):

$\tan \left(\frac{\beta }{2}\right)=\tan (\arcsin \left(\frac{\cos \left(\frac{\pi }{q}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{p}\right)}\right))={(\frac{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{p}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{q}\right)}-1)}^{-\frac{1}{2}}$ wegen $\tan (\arcsin (x))=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ und

$\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)=\cot (\arcsin \left(\frac{\cos \left(\frac{\pi }{q}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{p}\right)}\right))={(\frac{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{p}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{q}\right)}-1)}^{\frac{1}{2}}$ wegen $\cot (\arcsin (x))=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.