Polarisation mathematische Beschreibung

• Zusammensetzung einer linear, zirkular bzw. elliptisch polarisierten Welle (schwarz) aus linear polarisierten Komponenten (rot und blau)
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Mathematisch werden die möglichen Polarisationen von Wellen der gleichen Wellenlänge und Frequenz als Elemente eines 2-dimensionalen Vektorraums aufgefasst. Was physikalisch eine Überlagerung von Zuständen ist, dem entspricht auf mathematischer Seite eine Linearkombination von Vektoren. Da beim Überlagern Amplitude ($A$) und Phase ($\omega t$) beachtet werden müssen, dienen als Skalarfaktoren komplexe Zahlen ($A{e}^{-i\omega t}$): Die Polarisationszustände des Lichts bilden daher einen Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen. Als Basis (mit der man jeden Vektor darstellen kann) werden einerseits gern die zwei (links- bzw. rechtsdrehenden) zirkular polarisierten Zustände verwendet, anderseits auch zwei beliebige linear polarisierte Zustände mit aufeinander senkrechten Schwingungsebenen. Jede Basis lässt sich durch die andere ausdrücken. So ist ein zirkular polarisierter Zustand eine Überlagerung von zwei synchronen linear polarisierten Zuständen mit zueinander senkrechter Schwingungsebene, aber auch ein linear polarisierter Zustand eine Überlagerung der zwei zirkular polarisierten. Die Lage der Schwingungsebene wird dabei durch die Phasendifferenz der zirkular polarisierten Zustände bestimmt. Werden Basiszustände mit unterschiedlicher Amplitude oder ein zirkular mit einem linear polarisierten Zustand überlagert, so erhält man elliptisch polarisiertes Licht.

Photonen sind Bosonen und können in den Basiszuständen des Spins in Flugrichtung die Spinkomponenten +1 oder −1 haben, was den beiden Möglichkeiten der zirkularen Polarisation entspricht (die Komponente Null kann nicht vorkommen, da sich das Photon mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, siehe Helizität). Die Spinachsen zeigen dabei je nach Helizität in Ausbreitungsrichtung oder dagegen. Lineare Polarisation entsteht durch lineare Überlagerung der beiden zirkular polarisierten Zustände mit gleicher Amplitude, die Photonen haben dann für den Erwartungswert des Drehimpulses den Wert Null.

Bei der Beschreibung von Überlagerungen von Wellen gleicher Frequenz ist stets das Amplitudenverhältnis und die Phasenlage anzugeben.

1. Wenn zwei zirkular polarisierte Wellen, eine rechts- und eine linksdrehend, überlagert werden, ergeben sich folgende Polarisationen:
   • Bei gleichen Intensitäten und variabler Phasendifferenz ist die resultierende Polarisation linear und die Richtung hängt von der Phasenlage der Basispolarisationen ab.
   • In jedem anderen Fall resultiert elliptische Polarisation.
2. Wenn zwei linear polarisierte Wellen, deren Polarisationsrichtungen senkrecht aufeinander stehen, überlagert werden, ergeben sich folgende Polarisationen:
   • Bei Phasendifferenz null oder einem Vielfachen von $\pi$ ist die resultierende Polarisation linear und die Richtung hängt vom Amplitudenverhältnis ab.
   • Bei einem Phasenunterschied von $\pi /2$ und gleichen Amplituden ist die resultierende Polarisation zirkular.
   • In jedem anderen Fall ist die resultierende Polarisation elliptisch.

Sind auch die absolute Intensität und der Polarisationsgrad von Interesse, so sind insgesamt vier Angaben notwendig, als vierdimensionaler reellwertiger Stokes-Vektor oder als zweidimensionaler komplexwertiger Jones-Vektor. Ist man nur an der Polarisation und nicht an der absoluten Intensität interessiert, wird oft die Poincaré-Kugel zur Darstellung der Polarisationszustände verwendet.

Quasimonochromatisches Licht kann alternativ auch durch die Kohärenzmatrix beschrieben werden. Die Beschreibung der Wirkung eines polarisationsverändernden optischen Elementes bei optisch aktiven Materialien erfolgt durch Multiplikation mit einer entsprechenden Müller-Matrix beziehungsweise einer Jones-Matrix.