Simplexe Zahlentheorie & Kreiszahl Pi

[] SIMPLEXE, ZAHLENTHEORIE & KREISZAHL PI Letzte Änderung dieses Themas: 07.06.2014 DIE KREISZAHL PI, DARGESTELLT ALS PI-FACHE QUADRATFLÄCHE IM N-ECK – EIN BEITRAG VON ANDREAS WEISS Seit der Onlinestellung dieser Internetseite tetraktys.de im Dezember 2010 entstanden einige sehr fruchtbare Kontakte zu querdenkenden Menschen, welche die hier gesetzten Impulse aufnahmen und weiter entwickelten. Einer dieser kreativen Denker ist Andreas Weis, der mich am 22.12.2013 auf einen interessanten Zusammenhang zwischen der Kreiszahl Pi und n-Ecken bzw. Simplexen aufmerksam machte. Man stelle sich zuerst folgenden simplen Sachverhalt vor: An den vier Seitenflächen eines Quadrates befindet sich jeweils ein weiteres Quadrat mit genau der gleichen Seitenlänge. Klappt man nun diese insgesamt vier Quadrate nach innen, überdecken sie sich restlos.   Es entstehen also vier komplette Überlappungen, die auf die rechten Winkel zurückzuführen sind. Als nächstes fügen wir diesem Quadrat eine Ecke hinzu, ein Fünfeck entsteht. Danach verfahren wir in genau der selben Weise wie beim Viereck. Zu beachten ist, dass die Kantenlänge stets Länge Eins bleibt, weshalb sich mit zunehmender Eckenanzahl der Kreis auch vergrößert. An jeder Seite des Fünfecks befindet sich wieder ein Quadrat entsprechender Kantenlänge, also 1 Quadrat mehr = 5 Quadrate. Nun klappen wir diese Quadrate wieder nach innen. Da die Winkel sich ändern, ändern sich nun auch die Schnittflächen. Dabei konzentrieren wir uns nicht auf die Flächendeckung des 5-Ecks, sondern schauen auf die Schnittfläche zweier geklappter Quadrate. Multiplizieren wir eine Schnittfläche mit der Anzahl aller Schnittflächen (je Ecke) erhält man bereits den Wert 3,63. Man kann also errechnen, dass die Gesamtflächendeckung, bzw. Gesamtschnittfläche der sich überlappenden Quadrate innerhalb eines dieser Quadrate im 5-Eck 3,63 Quadrate beträgt. Führt man nun diese Geometrieübung mit höheren n-Ecken weiter, so kommt man auf folgende Werte: 4-Eck Gesamtschnittfläche =4 5-Eck Gesamtschnittfläche =3,63 14-Eck Gesamtschnittfläche =3,1954... 36-Eck Gesamtschnittfläche =3,1495... 160-Eck Gesamtschnittfläche =3,14196... 1187-Eck Gesamtschnittfläche =3,141599... 5467 Eck Gesamtschnittfläche =3,1415929... Wie man unschwer erkennen kann: Je mehr Ecken das n-Eck aufweist, um so mehr nährt sich die Gesamtschnittfläche dieses Einheits-Quadrats dem Wert Pi. Mit jeder neuen Ecke kommt auch ein Quadrat hinzu. Da auch das n-Eck, bzw. der Kreis größer wird und damit auch die Gesamtschnittfläche der Quadrate kleiner, verändert sich der Wert der Gesamtschnittfläche nur unwesentlich. Diese Schnittmenge Pi (Fläche), die erst in der Unendlichkeit stabil wird, entspricht genau den Ursprungs-Flächeninhalt eines Kreises, nämlich bei Radius = 1 ist der Flächeninhalt = Pi. Weiterführend kann man nun die Aussage machen, dass zur Berechnung des Flächen- inhaltes eines Kreises A=Pi x r hoch 2 unser Pi nicht mehr zwingend nur ein Faktor als Vervielfacher sein muss, 'sondern Pi auch als Fläche dargestellt werden kann, die mit dem Radius zum Quadrat vervielfacht wird. 'Stellt man Pi als Fläche dar, kann r nun als Vervielfacher wirken und stellt in dieser Betrachtungsweise selbst nur ein Vielfaches des Einheitskreises (Basis) dar. Ist also z.B.  r gleich 5, bedeutet dies nur, dass der Ursprung r=1 verfünfacht wird. Dies wäre auch logischer, da das Flächenmaß nicht erst entsteht durch Multiplikation, Meter mal Meter, sondern die Fläche bereits besteht in Quadratmeter, in Form von Pi und nur vervielfacht wird. Andreas Weiss Wer diesen Sachverhalt vertiefen möchte, der nehme bitte mit uns Kontakt auf unter: info@tetraktys punkt de (Das Wort "punkt" bitte mit . ersetzen.) 'Winkelsummen voller Kreise und Darstellung als Sternpolygone in der Divisionstabelle ' Alle aus den Überschneidungen der Quadrate entstehenden Sternfiguren, so wie oberhalb dargestellt, haben zwangsläufig die'Innenwinkelsumme eines vollen Kreises. 'Die entsprechenden Sternpolygone mit den absolut deckungsgleichen Winkeln kann es also nur in den geradzahligen Simplexen bei folgenden Positionen innerhalb der Divsionstabelle geben: '4/1 – Polygon 6/2 – Polygon mehrfach 8/3 – Sternpolygon 10/4 – Sternpolygon mehrfach ! '12/5 – Sternpolygon 14/6 – Sternpolygon mehrfach 16/7 – Sternpolygon 18/8 – Sternpolygon mehrfach 20/9 – Sternpolygon 22/10 – Sternpolygon mehrfach 24/11 – Sternpolygon 26/12 – Sternpolygon mehrfach...usw. bis unendlich.... Was hier wieder auffällt, ist die Tatsache, dass eben nur bis zu 10/4 alle vier Prinzipien der Tetraktys enthalten sind! Näheres unter: DER SCHLÜSSEL ZUR TETRAKTYS Alle nachfolgenden Positionen wiederholen sich bis unendlich in 4-er Intervallen. Weitere Auffälligkeiten in den oben gezeigten Sternfiguren: Bedingt durch die Tatsache, dass Mehrfach- überlappungen der Quadrate mit zunehmender Eckenzahl abnehmen müssem, ergibt sich: 5-Eck = 4-Fachüberlappungen. 6-Eck = 3-Fachüberlappungen. 7-Eck = 2-Fachüberlappungen. Ab dem '7-Eck' bricht außerdem im Zentrum des Kreises ein "Loch" auf. Diese freie Fläche wächst selbstverständlich proportional zur Eckenanzahl und nähert sich bis unendlich der Pheripherie des Kreises. Ab dem '12-Eck' gibt es keine Mehrfach- überlappungen mehr. Dieser Zustand einfacher Überlappungen gilt ebenfalls bis unendlich. Man könnte nun schauen, ob die Zahlen 7 und 12 etwas gemeinsam haben, nun: 7 ist die Summe von 3 und 4 12 ist das Produkt von 3 und 4. 3- und 4-Eck sind jene zwei Möglichkeiten die sich zwingend ergeben müssen, wenn man die Mittelpunkte gleich großer Kreise verbindet, welche so anordnet sind, dass sie einander regelmäßig berühren. Eine dritte Möglichkeit, das 6-Eck, entspricht dem selben Packungsschema wie den 3-Ecken. siehe: KREIS, DREIECK & QUADRAT Das gleiche gilt für Parkettierungen im Raum: DIE GEOMETRIE DER LÜCKENLOSEN RAUMFÜLLUNG Ganz sicher nicht unwichtig. Wo nun die konkreten Schnittstellen sind und was daraus herleitbar ist, müsste genauer untersucht werden. Achtung: Die nun folgenden Zusammenhänge sind nur eine Wiederholung aus dem Einführungstext! PYTHAGOREISCHE TETRAKTYS, PRIMZAHLEN UND DIE KREISZAHL PI Das Thema "Primzahlen" und "Sieb des Erathostenes" ist in der Divisionstabelle relativ einfach darstellbar. Genau genommen ist die Divisionstabelle geradezu prädestiniert, um die Primzahlverteilung visuell anschaulich zu machen – 'mit Hilfe von Punktemustern, ganz im Sinne der Pythagoräer, 'hier zu sehen:' DAS SIEB DES ERATOSTHENES & DIE TETRAKTYS Etwas schwieriger zu zeigen ist das System hinter der unregelmäßigen Primzahlverteilung, aber es ist möglich! Mit Hilfe von 10-Punktedreiecken, was demnänchst unter diesem Link versucht wird. Kommen wir nun zu noch anspruchsvolleren Sachverhalten, die auch Hauptgegenstand meiner Forschung sind, und deren Komplexität nicht nur schwer erfassbar, sondern leider auch schwer beschreibbar und darstellbar ist: Es geht um die bis hier her bereits erläuterte Pythagoreische Tetraktys und deren Zusammenhang zwischen dem Primzahlproblem und der Kreiszahl Pi. Dazu erachte ich es für sinnvoll, einige Fakten kurz zu benennen, um die Dringlichkeit dieses Zusammenhangs vor Augen zu führen: Simplex Aufbau und Bedeutung: 'Simplexe entsprechen in Wesen und Aussage der Kreiszahl Pi. So entspricht auch der Kreisumfang im Verhältnis zu seinem Durchmesser dem Verhältnis der natürlichen Zahl zu seinen möglichen Teilern! Natürliche Zahl = n-Eck Teiler = Tangenten durch den Kreis (n-Eck). Weiter unten wird das deutlicher. Über die Hintergründe des offensichtlichen Zusammenhangs zwischen Zahlentheorie und der Kreiszahl Pi herrscht immer noch weitestgehend Unkenntnis! Kreiszahl Pi und Riemannsche Vermutung: Die Bedeutung von Pi in der Formel von Leonard Euler ist bisher nicht bekannt: Simplex und Pascalsches Dreieck: Weiter oben wurde beschrieben, wie sich die Weiterführung der Dimensionssprünge von Punkt, Linie, Fläche und Körper als geometrische Figuren an Stelle der Teilerpositionen in die Divisionstabelle integrieren lassen. Folgender Link macht das nachvollziehbar: SIMPLEX – DER FESTE AGGREGATZUSTAND DER ZAHL Es gibt aber noch eine andere direkte Verbindung zur Zahlentheorie – das Pascalsche Dreieck! Einzelheiten unter: SIMPLEX – MULTIDIMENSIONALE TETRAEDER, 4.DIMENSION Also auch mit diesem Sachverhalt ist eine Brücke geschlagen zwischen der Zahlentheorie und den Simplexen = Kreisgeomerie = Kreiszahl Pi. Aber der wichtigste Lösungsansatz ist meiner Meinung nach in der Tatsache zu finden, dass es starke Korrelationen zwischen den Innenwinkelsummen der Simplexe und den entsprechenden Teilerpositionen innerhalb der Divisionstabelle gibt. Dazu folgendes: Ein interessanter Hinweis aus Wikipedia: Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die unterhalb einer Schranke M liegen, teilerfremd sind, strebt mit: Dies entspricht dem Verhältnis zwischen der Menge der rot markierten Felder zu den restlichen Feldern in der Divisionstabelle. Ein Zusammenhang zwischen der Ziffer 25 und der Kreiszahl Pi: Weiter oben wurde im Zusammenhang mit der arithmetischen Entsprechung des Pentagramms (2,5) auf die erste Pseudoprimzahl, nämlich die 25 hingewiesen. Das Verhältnis Kreisfläche zu Quadrat entspricht 78,5%. Pi x 25 = Kreisfläche zu Quadratfläche, also: Pi x 25 = 78,53981633... Zu Quadrat- und Kreisfläche siehe darunter. Wo steckt in der Tetraktys = Vierheit der Kreis? Eine erste Antwort dazu ist so simpel, dass sie es scheinbar nicht wert ist, von der Menschheit beachtet zu werden: Das Viereck ist das einzige Polygon, dessen Innenwinkelsumme genau einen Vollreis ergibt! Es wird immer betont, dass das Dreieck eine Winkelsumme von 180 Grad hat ( 3 x 60 Grad ).  Aber kaum jemand misst der Tatsache eine Bedeutung bei, dass das Viereck (Quadrat) eine Winkelsumme von 360 Grad aufweist, ( 4 x 90 Grad ), denn dies entspricht bekanntlich einem vollen Kreis. Das Fünfeck hat eine Winkelsumme von 540 Grad, dies entspricht 1,5 Vollkreisen. Die Primzahl 5 durchbricht also eine bestehende in sich abgeschlossene Ordnung! Siehe Animation: Die von Menschen erdachte Grad-Einteilung ist allerdings in diesem Fall völlig unwichtig. Hier geht es um die Vielfachen eines vollen Kreises! Zur Animation rechts : Die Peripherie des Kreises bilden die natürlichen Zahlen, dargestellt als eingezeichnete Polygone, also n-Ecke! ( n = natürliche Zahl ) Die Ziffer 1 stellt den Mittelpunkt des Kreises dar. Der Durchmesser des Kreises stellt die Ziffer 2 dar. Das Dreieck ist das erste "echte" Polygon, welches sich in einem Kreis einzeichnen lässt. Das Viereck nun ist das erste Polygon, in dem sich Tangenten einzeichnen lassen, die direkt durch den Mittelpunkt laufen. Mit dem Fünfeck können wir zum ersten Mal ein Sternpolygon einzeichnen. Dabei bilden die Tangenten Überschneidungen. Das Ergebnis ist ein Pentagramm. Führt man dieses System weiter, so entstehen um so mehr Überschneidungen der Tangenten, je größer die entsprechende Zahl ist. Es entstehen Simplexe. 'Simplexe sind zweidimensionale Projektionen multidimensionaler Tetraeder, (Tetra(!)eder. 'Diese Zusammenhänge gehen noch viel weiter und gipfeln tatsächlich wieder in diesen 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ! Zu diesem Tatbestand hier eine detailierte Zeichung: tetraktys 1.pdf oder etwas ausführlicher: SIMPLEX – DREIECKSZAHLEN & DEZIMALCODIERUNG Die Peripherie des Kreises bilden die natürlichen Zahlen, dargestellt als eingezeichnete Polygone, also n-Ecke ( n = natürliche Zahl ). Die eben beschriebenen Überschneidungen innerhalb des Kreises von der Peripherie bis zum Mittelpunkt ergeben die Reihe natürlicher Zahlen, mit denen die Zahlen der Peripherie geteilt werden. Die dadurch entstehenden vielfachen Überschneidungen bilden ein Gitternetz aus kleinen Vierecken. Diese Vierecke stellen ein Koordinatensystem innerhalb der Geometrie des Kreises dar. Sehen Sie dazu die Animation rechts: Die geometrische Veranschaulichung der Teilbarkeit natürlicher Zahlen am Beispiel vom Simplex des 30-Eck. Somit ergibt sich das kartesische  Koordinatensystem im Kreis, das mit dem Lambdoma gleichgesetzt werden kann, welches in der Musiktheorie bzw. der Harmonik bekannt ist. Umgekehrt kann man aber auch die einzelnen Sternpolygone der Simplexe in das Lambdoma auffächern. 'Zusammenfassung: Der Kreis beschreibt zwei Zahlengeraden: die erste Zahlenreihe bildet den Kreisumfang selbst, die zweite Zahlenreihe, als Teiler der ersten Zahlengerade, bildet den Radius, bzw. den Durchmesser des Kreises. ' Durch die Doppelung gerader und ungerader Zahlen innerhalb dieses kartesischen Koordinatensystems in der Geometrie des Kreises manifestiert sich die Pythagoreische Tetraktys! Die Geometrie der Simplexe (eigentlich multidimensional!) ist nur >eine< wenn auch eine allumfassende Möglichkeit, um die Pythagoreische Tetraktys zu veranschaulichen. Denn auch in unserem 3-dimensional, erfahrbaren Raum lässt sich die Pythagoreische Tetraktys erkennen. Was immer man sich genau darunter vorstellen muss, dass soll nun hier auf dieser Internetseite im einzelnen erörtert werden. Es steht ohnehin außer Frage: Die Geometrie des Kreises ist mit der Teilbarkeit natürlicher Zahlen verknüpft. Neue Erkenntnisse bei der Forschung zur Riemanschen Vermutung bestätigen die Schlüsselrolle der Kreiszahl Pi für das Verständniss in tiefere Zusammenhänge der Primzahlverteilung. Man ist sich heute auch darüber einig, dass tiefere Erkenntnisse zur Problematik der Riemanschen Zetafunktion zu neuen bahnbrechenden Erkenntnissen in der Physik führen werden. Bei weiteren Betrachtungen werden wir sehen, dass hinter diesem harmlos daherkommenden: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 sehr viel mehr steckt, als etwas Esoterik, vage Vermutungen oder antike Philosophie. Denn das, was sich hinter dem abstrakten Begriff "Tetraktys" verbirgt, beantwortet eines der größten ungelösten Probleme der Zahlentheorie: die (Un)-Ordnung in der Primzahlverteilung. Und ganz wichtig: Das alles > ohne < Dezimalsystem. Denn dieses darf kein Aufhänger für die Ziffer Zehn der Pythagoreischen Tetraktys sein. Mit diesem kurzen Überblick soll erst mal nur ein erster Eindruck entstehen, wie diese spezielle Geometrie und die Zahlentheorie miteinander in Beziehung stehen. Das wirklich Wertvolle an dieser Geometrie aber ist die Tatsache, dass wir mit ihr in der Lage sind, uns von den Denkbarrieren des Dezimalsystems frei zu machen.