Steigungswinkel

Steigung-s-Winkel

▷ Aus der Steigung $m$ einer Geraden lässt sich mit Hilfe der Arcustangens-Funktion der zugehörige Steigungs- bzw. Neigungswinkel $\alpha$ der Geraden bezogen auf die positive Richtung der $x$-Achse berechnen:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens von einem der beiden spitzen Winkel gleich dem Quotienten der jeweiligen Gegen- und Ankathete. Somit ist die Steigung zugleich der Tangens des Steigungswinkels gegenüber der positiven Richtung der $x$-Achse:

$m=\tan (\alpha ).$

Dabei ist $\alpha$ ein orientierter Winkel, d. h. für negative Steigungen ist der Steigungswinkel negativ, während positiven Steigungen positive Steigungswinkel entsprechen. Bei der Angabe in Prozent ist zu beachten, dass Steigung und Steigungswinkel nicht proportional zueinander sind, es also auch nicht möglich ist, Steigungen und Steigungswinkel mit einem einfachen Dreisatz ineinander umzurechnen. So entspricht beispielsweise der Steigung 1 (= 100 %) ein Steigungswinkel von 45°, der Steigung 2 (= 200 %) dagegen nur noch ein Winkel von rund 63,4°, und nähert sich der Steigungswinkel dem Wert von 90°, so wächst die Steigung ins Unendliche.

Annähernde Proportionalität von Steigung und Steigungswinkel dagegen ist nur für kleine Steigungswinkel bis etwa 5° gegeben – so entspricht einer Steigung von ±0,01 bzw. ±1 % ein Steigungswinkel von annähernd ±0,57°, und umgekehrt ein Steigungswinkel von ±1° einer Steigung von annähernd ±0,0175 bzw. 1,75 %. Mathematisch lässt sich das dadurch erklären, dass die Ableitung des Tangens in 0 gerade gleich 1 ist, d. h. für Werte von $x$ in der Nähe von 0 gilt $\tan (x)\approx x$.

Für größere Steigungswinkel dagegen, oder wenn ihre Größe exakt bestimmt werden soll, benötigt man die Umkehrfunktion des Tangens, das heißt die Arcustangens-Funktion:

$\alpha =\arctan (m).$

So erhält man zum Beispiel für eine Steigung von $m=40\mathrm{\%}$ einen Steigungswinkel von

$\alpha =\arctan (\mathrm{0,4})\approx \mathrm{21,}{8}^{\circ }.$

Bei negativen Steigungen ist hier zu beachten, dass – aufgrund der Punktsymmetrie der Arcustangens-Funktion – die Steigungswinkel $\alpha$ negativ sind.