Was sind und was sollen die Zahlen?
Was sind und was sollen die Zahlen? ist ein Werk des Mathematikers Richard Dedekind, welches im Jahr 1888 erschien. Mathematikhistorisch und philosophisch ist dieses Werk von großem Interesse, da es zum ersten Mal eine genaue Definition der natürlichen Zahlen, noch vor der Veröffentlichung der Peano-Axiome, enthält und erste Ansätze für Ordinal- und Kardinalzahlen erkennbar sind.
„Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.“ schreibt Dedekind im Vorwort der Erstausgabe und demgemäß bemüht er sich im Rest seiner Schrift um ein logisches Fundament für die natürlichen Zahlen.
Dabei verfährt er mit folgender philosophischer Grundlage:
„Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen-Wissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen“
Im größten Teil des Werkes geht es um ein Teilgebiet der Mathematik, das wir heute Mengenlehre nennen. Da die Schrift vor der Grundlegung der modernen Mengenlehre entstanden ist, weicht Dedekinds Sprachgebrauch zum Teil erheblich von den uns heutzutage gewohnten Begriffen ab. Statt von Menge spricht er von System, abzählbare Unendlichkeit nennt er einfache Unendlichkeit, statt Mächtigkeit sagt er Grad etc. Im Folgenden werden die modernen Begriffe benutzt, damit diese Inhaltsangabe für den Leser leichter zu verstehen ist. Eine Ausgabe, welche die alten Begriffe ersetzt, findet man unter den Weblinks.
Nach den ersten Mengenbildungsgesetzen widmet sich Dedekind der Theorie der Mächtigkeit und der Funktion. In diesem Werk taucht die erste Definition einer unendlichen Menge auf, die zu seinen Ehren Dedekind-Unendlichkeitgenannt wird.
Die natürlichen Zahlen definiert er als wohlgeordnete, abzählbar unendliche Menge.[2] Welche wohlgeordnete, abzählbar unendliche Menge man nimmt, ist egal, da sie unter einem Ordnungsisomorphismus äquivalent sind. Dedekind selbst schreibt, man könne „von der besonderen Beschaffenheit der Elemente grundsätzlich [absehen], lediglich ihre Unterscheidbarkeit [festhalten] und nur die Beziehungen [auffassen].“[3] Daraus leitet er den Isomorphiesatz von Dedekind her.
Er beschreibt des Weiteren das Prinzip der vollständigen Induktion und definiert die grundlegenden Rechenoperationen auf den natürlichen Zahlen. Mit seiner Beschreibung nimmt er bereits das moderne Konzept der Ordinalzahlen vorweg.[4] Im letzten Teil des Werkes widmet er sich der Klassifikation von Mächtigkeiten und baut damit schon die Grundlage für die Kardinalzahlen auf.
Im Werk Stetigkeit und Irrationale Zahlen, welches man gewissermaßen als Fortsetzung betrachten kann, definiert Dedekind die reellen Zahlen und baut damit eine logische Grundlage für die Analysis auf.
- Ausgabe von Opera Platonis, welche die alten Begriffe durch neuen ersetzt hat.
- Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Stetigkeit und Irrationale Zahlen, Vieweg, Teubner, Wiesbaden, 1965.
- Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Nachdruck des Originals aus dem Jahre 1918. Vero Verlag 2019. ISBN 978-3-95610-173-1
- Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen?. Stetigkeit und Irrationale Zahlen, Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden, 1965, S. III.
- Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen?. Stetigkeit und Irrationale Zahlen, Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden, 1965, § 6
- Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen?. Stetigkeit und Irrationale Zahlen, Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden, 1965, S. 17.
- Er selbst nennt die natürlichen Zahlen synonym zu den Ordinalzahlen.
Von
Richard Dedekind,
Professor an der technischen Hochschule in Braunschweig.
Nach der vierten unveränderten Auflage, Braunschweig 1918.
Diese Transkription enthält den ursprünglichen Text in leicht modernisierter Schreibweise. Mit Ausnahme folgender Ersetzungen ist der Text unverändert:
Es wurde die Benennungen
System ersetzt durch Menge,
Ganzes ersetzt durch Obermenge,
Gemeinteil ersetzt durch Durchschnitt,
Gemeinheit ersetzt durch Schnittmenge,
ähnliche Abbildung durch bijektive Abbildung (eineindeutige, injektive und surjektive Funktion),
einfach unendlich durch abzählbar unendlich,
Grad eines Systems durch Mächtigkeit einer Menge.
Es wurden die Zeichen
꒱ ersetzt durch ⊂(ist Teilmenge von)
𝔪 ersetzt durch ∪ (Vereinigung von Mengen),
𝐆 ersetzt durch ∩ (Durchschnitt von Mengen),
𝞿 ersetzt durch 𝞿-1 (Umkehrfunktion).
Typografische Änderungen:
im Original g e s p e r r t gesetzte Wörter werden fett wiedergegeben,
Verweise auf die nummerierten Absätze und Sätze wurden in Klammern gesetzt.
Die Fußnoten wurden nummeriert.
Die Rechtschreibung einzelner Wörter wurde den neueren Regeln angepasst.
Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden. So einleuchtend diese Forderung erscheint, so ist sie doch, wie ich glaube, selbst bei der Begründung der einfachsten Wissenschaft, nämlich desjenigen Teiles der Logik, welcher die Lehre von den Zahlen behandelt, auch nach den neuesten Darstellungen[1] noch keineswegs als erfüllt anzusehen. Indem ich die Arithmetik (Algebra, Analysis) nur einen Teil der Logik nenne, spreche ich schon aus, daß ich den Zahlbegriff für gänzlich unabhängig von den Vorstellungen oder Anschauungen des Raumes und der Zeit, daß ich ihn vielmehr für einen unmittelbaren Ausfluß der reinen Denkgesetze halte. Meine Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellte Frage lautet: die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen-Wissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen[2]. Verfolgt man genau, was wir bei dem Zählen der Menge oder Anzahl von Dingen tun, so wird man auf die Betrachtung der Fähigkeit des Geistes geführt, Dinge auf Dinge zu beziehen, einem Dinge ein Ding entsprechen zu lassen, oder ein Ding durch ein Ding abzubilden, ohne welche Fähigkeit überhaupt kein Denken möglich ist. Auf dieser einzigen, auch sonst ganz unentbehrlichen Grundlage muß nach meiner Ansicht, wie ich auch schon bei einer Ankündigung der vorliegenden Schrift ausgesprochen habe[3], die gesamte Wissenschaft der Zahlen errichtet werden. Die Absicht einer solchen Darstellung habe ich schon vor der Herausgabe meiner Schrift über die Stetigkeit gefaßt, aber est nach Erscheinen derselben, und mit vielen Unterbrechungen, die durch gesteigerte Amtsgeschäfte und andere notwendige Arbeiten veranlaßt wurden, habe ich in den Jahren 1872 bis 1878 auf wenigen Blättern einen ersten Entwurf aufgeschrieben, welchen dann mehrere Mathematiker eingesehen und teilweise mit mir besprochen haben. Er trägt denselben Titel und enthält, wenn auch nicht das beste geordnet, doch alle wesentlichen Grundgedanken meiner vorliegenden Schrift, die nur deren sorgfältige Ausführung gibt; als solche Hauptpunkte erwähne ich hier die scharfe Unterscheidung des Endlichen vom Unendlichen (64), den Begriff der Anzahl von Dingen (161), den Nachweis, daß die unter dem Namen der vollständigen Induktion (oder des Schlusses von n auf n +1) bekannte Beweisart wirklich beweiskräftig (59, 60, 80), und daß auch die Definition durch Induktion (oder Rekursion) bestimmt und widerspruchsfrei ist (126).
Diese Schrift kann jeder verstehen, welcher das besitzt, was man den gesunden Menschenverstand nennt; philosophische oder mathematische Schulkenntnisse sind dazu nicht im geringsten erforderlich. Aber ich weiß sehr wohl, daß gar mancher in den schattenhaften Gestalten, die ich ihm vorführe, seine Zahlen, die ihn als treue und vertraute Freunde durch das ganze Leben begleitet haben, kaum wiedererkennen mag; er wird durch die lange, der Beschaffenheit unseres Treppen-Verstandes entsprechende Reihe von einfachen Schlüssen, durch die nüchterne Zergliederung der Gedankenreihen, auf denen die Gesetze der Zahlen beruhen, abgeschreckt und ungeduldig darüber werden, Beweise für Wahrheiten verfolgen zu sollen, die ihm nach seiner vermeintlichen inneren Anschauung von vornherein einleuchtend und gewiß erscheinen. Ich erblicke dagegen gerade in der Möglichkeit, solche Wahrheiten auf andere, einfachere zurückzuführen, mag die Reihe der Schlüsse noch so lang und scheinbar künstlich sein, einen überzeugenden Beweis dafür, daß ihr Besitz oder der Glaube an sie niemals unmittelbar durch innere Anschauung gegeben, sondern immer nur durch eine mehr oder weniger vollständige Wiederholung der einzelnen Schlüsse erworben ist. Ich möchte diese, der Schnelligkeit ihrer Ausführung wegen schwer zu verfolgende Denktätigkeit mit derjenigen vergleichen, welche ein vollkommen geübter Leser beim Lesen verrichtet; auch dieses Lesen bleibt immer eine mehr oder weniger vollständige Wiederholung der einzelnen Schritte, welche der Anfänger bei dem mühseligen Buchstabieren auszuführen hat; ein sehr kleiner Teil derselben, und deshalb eine sehr kleine Arbeit oder Anstrengung des Geistes reicht aber für den geübten Leser schon aus, um das richtige, wahre Wort zu erkennen, freilich nur mit sehr großer Wahrscheinlichkeit; denn bekanntlich begegnet es auch dem geübtesten Korrektor von Zeit zu Zeit, einen Druckfehler stehenzulassen, d. h. falsch zu lesen, was unmöglich wäre, wenn die zum Buchstabieren gehörige Gedankenkette vollständig wiederholt würde. So sind wir auch schon von unserer Geburt an beständig und in immer steigendem Maße veranlaßt, Dinge auf Dinge zu beziehen und damit diejenige Fähigkeit des Geistes zu üben, auf welcher auch die Schöpfung der Zahlen beruht; durch diese schon in unsere ersten Lebensjahre fallende unablässige, wenn auch absichtslose Übung und die damit verbundene Bildung von Urteilen und Schlußreihen erwerben wir uns auch einen Schatz von eigentlich arithmetischen Wahrheiten, auf welche später unsere ersten Lehrer sich wie etwas Einfaches, Selbstverständliches, in der inneren Anschauung Gegebenes berufen, und so kommt es, daß manche, eigentlich sehr zusammengesetzte Begriffe (wie z. B. der der Anzahl von Dingen) fälschlich für einfach gelten. In diesem Sinne, den ich durch die, einem bekannten Spruche nachgebildeten Worte ἀεὶ ὁ ἄνθρωποσ ὰριθμητίζει[4], mögen die folgenden Blätter als ein Versuch, die Wissenschaft der Zahlen auf einheitlicher Grundlage zu errichten, wohlwollende Aufnahme finden, und mögen sie andere Mathematiker dazu anregen, die langen Reihen von Schlüssen auf ein bescheideneres, angenehmeres Maß zurückzuführen.
- ↑ 1 Von den mir bekannt gewordenen Schriften erwähne ich das verdienstvolle Lehrbuch der Arithmetik und Algebra von E. Schröder (Leipzig 1873), in welchem man auch ein Literaturverzeichnis findet, und außerdem die Abhandlungen von Kronecker und von Helmholtz über den Zahlbegriff und über Zählen und Messen (in der Sammlung der an E. Zeller gerichteten philosophischen Aufsätze, Leipzig 1887). Das Erscheinen dieser Abhandlungen ist die Veranlassung, welche mich bewogen hat, nun auch mit meiner, in mancher Beziehung ähnlichen, aber durch ihre Begründung doch wesentlich verschiedenen Auffassung hervorzutreten, die ich mir seit vielen Jahren und ohne jede Beeinflussung von irgendwelcher Seite gebildet habe .
- ↑ 2 Vergl. § 3 meiner Schrift: „Stetigkeit und irrationale Zahlen" (Braunschweig 1872).
- ↑ 3 Dirichlet's Vorlesungen über Zahlentheorie, dritte Auflage, 1879, § 163, Anmerkung auf S. 470.
- ↑ [aei o anthropos arithmetizei – „Der Mensch zählt immer“. Plutarch (Convivialium disputationum, liber 8,2) berichtet: „Platon sagte, Gott geometrisiert ständig.“ Auf Keplers Wiederholung der Aussage in seinem Mysterium Cosmographicum (entweder beschwichtigend oder ironisch, angesichts der entschieden nichtplatonischen Natur seiner vorgeschlagenen Coelestis machina) folgte Gauß‘ Modifikation: o theos arithmetizei, Gott arithmetisiert, zählt oder berechnet. Dedekinds „kopernikanische Revolution“ bestand darin, dies noch einmal umzuwandeln in: aei o anthropos arithmetizei – der Mensch zählt immer; Vollendung der Umwandlung in eine weltliche Formel, die die beeindruckende Kraft der Arithmetik hervorhebt. - trans.]