Werk:Dedomena/XI.
Ist eine Größe um eine angegebene Größe, die zu einer anderen in einem angegebenen Verhältnis steht, größer als diese und ist ihr Verhältnis zu der Größe angegeben, um die sie größer ist, dann ist das Verhältnis der Größe, um die sie größer ist, zu den beiden anderen Größen zusammen gegeben
und
ist eine von zwei Größen um eine angegebene Größe größer als die andere, deren Verhältnis zu den beiden Größen zusammen angegeben ist, dann ist ihr Verhältnis zu den beiden Größen gegeben.
Wenn die Größe AB um eine gegebene Größe größer ist als BC, die zu ihr in einem gegebenen Verhältnis steht, dann, sage ich, ist das Verhältnis gegeben, in dem die Größe, um die AB größer ist, zu AC steht.
Denn ist AB größer als die Größe, die zu BC in einem gegebenen Verhältnis steht, dann sei sie um AD größer.
Damit ist das Verhältnis DB zu BC gegeben und es ist mit dem umgekehrten Verhältnis BC zu DB auch das Verhältnis CD zu DB gegeben.
Ist das Verhältnis DC zu DB gleich dem Verhältnis AD zu DE, ist damit das Verhältnis AD zu DE gegeben. Da AD gegeben ist und das Verhältnis AD zu DE gegeben ist, ist DE und ist das restliche AE gegeben.
Da sich AD zu DE verhält wie DC zu DB, verhält sich AC zu EB wie DC zu DB.
Damit ist das Verhältnis AC zu EB und das umgekehrte Verhältnis EB zu AC gegeben.
Da AE gegeben ist, ist deshalb das Verhältnis, in dem EB, die Größe um die AB größer ist als AE, zu AC steht, gegeben.
Ist aber AB um eine gegebene Größe größer als die, zu der die Summe aus AB und BC in einem gegebenen Verhältnis steht, dann, sage ich, ist die Größe gegeben, um die AB größer ist als die Größe, die zu BC im gegebenen Verhältnis steht und ihr Verhältnis zu AC ist damit gegeben.
Denn ist AB größer als die Größe, zu der AC in einem gegebenen Verhältnis steht, dann sei sie um AE größer. Somit ist das Verhältnis AE zu AC gegeben und es ist damit das Verhältnis AC zu EB gegeben.
Es ist damit das Verhältnis AD zu DE und das Verhältnis DA zu AE und das umgekehrte Verhältnis AE zu AD gegeben. AE ist gegeben, also ist AD gegeben.
Es ist, da das Verhältnis AC zu EB gegeben ist, das Verhältnis DC zu DB und das Verhältnis DB zu BC gegeben.
Da AD gegeben ist, ist somit DB, die Größe um die AB größer ist als AD, und ihr Verhältnis zu BC gegeben.
Anmerkung:
Ist AC = AB + BC und AC > BC, dann ist AB = AE + EB.
Ist AB = AE + EB und AB > BC, dann ist AB = AC + CB.