Werk:Dedomena/XIV.
Wird zu jeder von zwei Größen, die in einem angegebenen Verhältnis stehen, eine gegebene Größe hinzugefügt, dann stehen sie mit diesen zusammen entweder im gegebenen Verhältnis oder in einem Verhältnis, zu dem die Größe, um die die andere zusammengesetzte Größe größer ist als die, die im gegebenen Verhältnis steht, gegeben ist.
Wenn die Größen AB, CD in einem gegebenen Verhältnis stehen und zu jeder eine der gegebenen Größen AE, CF hinzugefügt wird, dann, sage ich, stehen die Größen EB, FD entweder im gegebenen Verhältnis oder in einem Verhältnis, zu dem die Größe, um die EB größer ist als die, die im gegebenen Verhältnis zur FD steht, gegeben ist.
Denn da die Größen EA, FC gegeben sind, ist das Verhältnis EA zu FC gegeben.
Da das Verhältnis AB zu CD gegeben ist, ist somit das Verhältnis der zusammengesetzten Größe EB zur Größe FD gegeben.
Ist nun ein Verhältnis GA zu FC nicht gleich dem Verhältnis AB zu CD, dann kann es gefunden werden und ist somit gegeben.
Da die Größe FC gegeben ist, ist damit auch die Größe GA gegeben. Da die Größe EA gegeben ist, ist auch die Größe EG gegeben. Da das Verhältnis AB zu CD gleich dem Verhältnis GA zu FC ist, ist das Verhältnis GB zu FD das gegebene Verhältnis. Dazu ist die Größe EG gegeben.
Deshalb ist zum Verhältnis, in dem die Größe EB zur Größe FD steht, die Größe EG gegeben, um die die zusammengesetzte Größe EB größer ist als die Größe GB, die zu FD im gegebenen Verhältnis steht.
Anmerkung:
AB : CD = (AB + AE) : (CD + CF) = EB : FD,
wenn es eine rationale Zahl r ≤ 1 gibt, so dass AB ∙ r = EB und CD ∙ r = FD.