Werk:Dedomena/XV.
Wird von jeder von zwei Größen, die in einem angegebenen Verhältnis stehen, eine angegebene Größe weggenommen, dann stehen die restlichen Größen entweder im gegebenen Verhältnis oder in einem Verhältnis, zu dem die Größe, um die die eine restliche Größe größer ist als die, die im angegebenen Verhältnis steht, gegeben ist.
Wenn die Größen AB, CD in einem gegebenen Verhältnis stehen, und von AB die gegebene Größe AE und von CD die gegebene Größe CF weggenommen werden, dann, sage ich, stehen die restlichen Größen EB, FD entweder im gegebenen Verhältnis oder in einem Verhältnis, zu dem die Größe, um die EB größer ist als die, die im gegebenen Verhältnis zu FD steht, gegeben ist.Denn da die Größen AE, CF gegeben sind, ist das Verhältnis AE zu CF gegeben. Da das Verhältnis AB zu CD gegeben ist, ist somit das Verhältnis der restlichen Größe EB zur restlichen Größe FD gegeben. Ist nun ein Verhältnis AG zu CF nicht gleich dem Verhältnis AB zu CD, dann kann es gefunden werden und somit gegeben.
Da die Größe FC gegeben ist, ist damit auch die Größe GA gegeben. Da die Größe EA gegeben ist, ist auch die Größe EG gegeben. Das Verhältnis AB zu CD ist gleich dem Verhältnis AG zu CF, womit auch die restliche GB zur restlichen FD in einem, dem gegebenen Verhältnis gleichen, Verhältnis stehen.
Ist die Größe EG gegeben, ist deshalb das Verhältnis EG zu FD gegeben, wobei die Größe EB um die Größe EG größer ist als die Größe GB, die zu FD im gegebenen Verhältnis steht.
Anmerkung:
AB : CD = (AB – AE) : (CD – CF) = EB : FD,
wenn es eine rationale Zahl r ≥ 1 gibt, so dass AB ∙ r = EB und CD ∙ r = FD.