Werk:Dedomena/V.

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Das Verhältnis einer Größe zu einem ihrer Teile ist gegeben, wenn ihr Verhältnis zum übrigen Teil angegeben ist.

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Wenn die Größe AB zu einem ihrer Teile AC in einem gegebenen Verhältnis steht, dann, sage ich, ist das Verhältnis gegeben, in dem sie zum übrigen Teil BC steht.

Denn zu einer gegebenen Größe DF ist, da das Verhältnis der Größen AC zu AB gegeben ist, das gleiche Verhältnis FD zu DE aufzufinden.

Ist FD gegeben, dann ist DE gegeben. Damit ist auch die übrige Größe EF gegeben [wie II.]. Ist DF gegeben, dann ist das Verhältnis DF zu FE [wie I.] gegeben. Wie sich DF zu DE verhält, so verhält sich AB zu AC.

Also verhält sich DF zu FE wie AB zu CB.

Deshalb ist das Verhältnis AB zu BC gegeben, denn es kann das ihm gleiche Verhältnis DF zu FE gefunden werden.

Anmerkung:
Ist AB = AC + CB, dann ist BC : AB = AB : AB – AC : AB.