Werk:Dedomena/VI.
Die Verhältnisse, in denen eine angegebene Größe zu ihren Teilen steht, sind gegeben, wenn das Verhältnis der Teile zueinander angegeben ist.
Wenn die beiden Größen AC, CB in einem gegebenen Verhältnis stehen, dann, sage ich, sind die Verhältnisse gegeben, in denen AB zu AC, CB steht.
Denn zu einer gegebenen Größe DE ist, wenn das Verhältnis der Größen AC zu CB gegeben ist, das gleiche Verhältnis DE zu EF aufzufinden.
Damit ist das Verhältnis DE zu EF [wie I.] und ist jede der Größen DE, EF [wie II.] und die zusammengesetzte Größe DF [wie III.] gegeben.
Es sind damit auch die beiden Verhältnisse von DF zu jeder der DE, EF [wie V.] gegeben. Es verhält sich AC zu CB wie DF zu FE und verhält sich, in den größeren Verhältnissen, AB zu BC wie DF zu EF und, in den Verhältnissen zu den übrigen Teilen, AB zu AC wie DF zu DE.
Da zu jedem der Verhältnisse AB zu AC, CB ein gleiches Verhältnis DF zu DE, EF aufzufinden ist, sind deshalb die Verhältnisse AB zu AC, CB gegeben.
Anmerkung:
Ist AB = AC + CB und AC : CB gegeben, dann ist AB : AB = AC : AB + BC : AB.