Werk:Dedomena/LVI.
Ist das Verhältnis zweier gleichwinkliger Parallelogramme angegeben, dann steht eine Seite des einen zu einer Seite des anderen Parallelogramms in dem Verhältnis der anderen Seite des andern Parallelogramms zu einer Strecke, zu der die andere Seite des einen Parallelogramms im gegebenen Verhältnis der Parallelogramme steht.
Wenn das Verhältnis der beiden gleichwinkligen Parallelogramme A, B gegeben ist, dann, sage ich, verhält sich die Seite CD zur Seite EF wie die Seite EG zu einer Strecke, zu der die Seite CH im gegebenen Verhältnis des Parallelogramms A zum Parallelogramm B steht.
Denn wenn die Seite CH um CK verlängert, so dass sich CD zu EF verhält wie EG zu CK, und das Parallelogramm CL vervollständigt wird, dann verhält sich, da KL gleich CD ist, die Seite KL zur Seite EF wie die Seite EG zur Seite CK.
Die Seiten, die an den Winkeln CKL, GEF liegen, stehen in umgekehrten Verhältnissen, also ist KD gleich GF [wie Stoicheia VI.14.]. Da das Verhältnis A zu B gegeben und B dem CL gleich ist, ist das Verhältnis HD zu CL gegeben. Es verhält sich HD zu CL wie HC zu CK, womit das Verhältnis HC zu CK gegeben ist.
Damit verhält sich CD zu EF wie EG zu CK, wobei CH zu CK im gegebenen Verhältnis steht wie die Fläche A zu B. Deshalb verhält sich CD zu EF wie EG zu einer Strecke, zu der HC im gleichen gegebenen Verhältnis steht wie die Fläche A zur Fläche B.