Werk:Dedomena/LXVII.
In einem gegebenen Dreieck ist das Quadrat über den beiden Seiten zusammen, die einen angegebenen Winkel einschließen, größer als das Quadrat über der übrigen Seite und der Unterschied steht zum Dreieck in einem Verhältnis, das gegeben ist.
Denn wenn AB um AD, das der Seite AC gleich ist, verlängert wird, DC gezogen und bis E verlängert wird und durch B die zu AC parallele BE gelegt wird, dann ist, da AD gleich AC ist, die Strecke DB gleich BE [wie Stoicheia VI.4.].
Wird DE im Punkt F in zwei gleiche Teile geteilt, dann ist das Rechteck aus DC mit CE zusammen mit dem Quadrat über CF gleich dem Quadrat über FD [wie Stoicheia II.5.].
Beidem das Quadrat über BF hinzugefügt, ist das Rechteck aus DC mit CE zusammen mit den Quadraten über CF, BF gleich den Quadraten über FD, BF zusammen.
Da die Quadrate über CF, BF zusammen gleich dem Quadrat über BC und da die Quadrate über FD, BF zusammen gleich dem Quadrat über BD sind, ist somit das Rechteck aus DC mit CE zusammen mit dem Quadrat über BC gleich dem Quadrat über BD.
Da DA gleich AC ist, ist somit das Quadrat über BA und AC zusammen gleich dem Rechteck aus DC mit CE zusammen mit dem Quadrat über BC. Also ist das Quadrat über BA und AC zusammen um das Rechteck aus DC mit CE größer als das Quadrat über BC.
Das Verhältnis des Rechtecks aus DC mit CE zum Dreieck ABC, sage ich, ist gegeben.
Denn da der Winkel BAC gegeben ist, ist der Ergänzungswinkel DAC gegeben.
Es sind auch die Winkel ADC, DCA gegeben, denn sie sind halb so groß wie der Winkel BAC [wie Stoicheia I.32.]. Also ist die Konfiguration des Dreiecks DAC und ist damit das Verhältnis DA zu DC gegeben. Aus diesem ist das Verhältnis des Quadrats über DA zum Quadrat über DC gegeben.
Das Verhältnis BA zu AD ist gleich dem Verhältnis EC zu CD.
Das Verhältnis BA zu AD ist auch gleich dem Verhältnis des Rechtecks aus BA mit AD zum Quadrat über AD und das Verhältnis EC zu CD ist gleich dem Verhältnis des Rechtecks aus EC mit CD zum Quadrat über CD.
Also verhält sich das Rechteck aus BA mit AD zum Quadrat über DA wie das Rechteck aus EC mit CD zum Quadrat über CD. Nach Umordnung [wie Stoicheia V.16.] verhält sich das Rechteck aus BA mit AD zum Rechteck aus EC mit CD wie das Quadrat über AD zum Quadrat über DC.
Ist das Verhältnis des Quadrats über AD zum Quadrat DC gegeben, dann ist somit das Verhältnis des Rechtecks aus BA mit AD zum Rechteck aus EC mit CD gegeben.
Da DA gleich AC ist, ist deshalb das Verhältnis des Rechtecks aus BA mit AC zum Rechteck aus EC mit CD gegeben.
Damit ist das Verhältnis des Rechtecks aus BA mit AC zum Dreieck ABC gegeben. Da der Winkel BAC gegeben ist, ist daraus auch das Verhältnis des Rechtecks aus DC mit CE zum Dreieck ABC gegeben.
Das Rechteck aus DC mit CE ist die Fläche um die das Quadrat über BA und AC zusammen größer ist als das Quadrat über BC.
Deshalb ist das Verhältnis der Fläche, um die das Quadrat über BA und AC zusammen größer ist als das Quadrat über BC, zum Dreieck ABC gegeben.