Werk:Dedomena/LXVIII.
Ist von zwei gleichwinkligen Parallelogrammen, deren Verhältnis angegeben ist, das Verhältnis einer Seite des einen zu einer Seite des anderen Parallelogramms angegeben, dann sind die Verhältnisse der einen übrigen Seiten zu den anderen übrigen Seiten gegeben.
Wenn von den beiden gleichwinkligen Parallelogrammen AB, CD, deren Verhältnis gegeben ist, eine Seite des einen zu einer Seite des anderen Parallelogramms in einem gegebenen Verhältnis steht, also das Verhältnis der Seiten BE zu FD gegeben ist, dann, sage ich, ist das Verhältnis AE zu FC gegeben.
Denn wenn über der Seite EB das dem Parallelogramm CD gleiche Parallelogramm EG so errichtet wird, dass AE, EH auf einer Geraden liegen, dann liegen auch KB, BG auf einer Geraden.
Das Verhältnis AB zu CD ist gegeben und CD ist gleich EG, also ist das Verhältnis AB zu EG gegeben. Damit ist das Verhältnis AE zu EH gegeben.
Da die Parallelogramme EG, CD gleich und gleichwinklig sind, stehen die Seiten des einen zu den Seiten des anderen Parallelogramms am gleichen Winkel in umgekehrten Verhältnissen [wie Stoicheia VI.14.]. Somit verhält sich EB zu FD wie CF zu EH.
Das Verhältnis EB zu FD ist gegeben und da das Verhältnis EH zu AE gegeben ist, ist damit auch das Verhältnis AE zu CF gegeben.