Werk:Dedomena/LXXIX.
Zwei Dreiecke mit einem gleichen Winkel, bei deren einen die Senkrechte von diesem Winkel zur gegenüberliegenden Grundseite im gleichen Verhältnis zur Grundseite steht wie die entsprechende Senkrechte zur Grundseite im anderen Dreieck, sind einander gleichwinklig.
Wenn in den beiden Dreiecken ABC, HFG mit gleichem Winkel an F, B die Senkrechten BD, FK durch F, B errichtet sind und sich AC zu BD verhält wie HG zu KF, dann, sage ich, ist das Dreieck ABC dem Dreieck HFG gleichwinklig.
Es ist um das Dreieck HFG ein Kreis [wie Stoicheia IV.5.] mit dem Kreisabschnitt HFG zu beschreiben, an die Seite HG an H der dem Winkel BAC gleiche Winkel GHL anzulegen, es ist FL, LG zu ziehen und die Senkrechte LM zu errichten.
Da der Winkel BAD gleich dem Winkel LHG ist, ist der Winkel HLG gleich dem Winkel ABC, womit der ergänzende Winkel BCA gleich dem ergänzenden Winkel HGL ist.
Damit sind die Dreiecke BAC, HGL ähnliche Dreiecke, in denen die Senkrechten BD, LM errichtet sind, weshalb sich AC zu BD verhält wie HG zu LM.
Da sich AC zu BD auch verhält wie HG zu FK, verhält sich HG zu LM wie HG zu FK.
Damit ist FK gleich LM und da sie parallel sind, ist FL der HG parallel. Es ist deshalb der Winkel FLH gleich dem Winkel LHG.
Der Winkel LHG ist gleich dem Winkel BAC und der Winkel FLH ist gleich dem Winkel FGH. Also ist der Winkel BAC gleich dem Winkel FGH. Da der Winkel ABC gleich dem Winkel HFG ist, ist der ergänzende Winkel BCA gleich dem ergänzenden Winkel FHG.
Deshalb ist das Dreieck ABC dem Dreieck FHG gleichwinklig.