Werk:Dedomena/LXXX.
Ist von einem Dreieck ein Winkel und das Verhältnis des Rechtecks aus den ihn einschließenden Seiten zum Quadrat über der übrigen Seite angegeben, ist die Konfiguration des Dreiecks gegeben.
Wenn vom Dreieck ABC der Winkel an A und das Verhältnis des Rechtecks aus BA mit AC zum Quadrat über BC gegeben ist, dann, sage ich, ist die Konfiguration des Dreiecks ABC gegeben.
Denn wenn auf BC, CA die Senkrechten BD, AE durch A, B errichtet werden, ist, da die Winkel BAD, ADB gegeben sind, die Konfiguration des Dreiecks ADB gegeben.
Damit ist das Verhältnis AB zu BD und somit das Verhältnis des Rechtecks aus BA mit AC zum Rechteck aus AC mit BD gegeben.
Da das Rechteck aus AC mit BD gleich dem Rechteck aus BC mit AE ist, denn jedes ist gleich dem Doppelten des Dreiecks ABC, ist somit das Verhältnis des Rechtecks aus BA mit AC zum Rechteck aus BC mit AE gegeben.
Das Verhältnis des Rechtecks aus BA mit AC zum Quadrat über BC ist gegeben, womit das Verhältnis des Rechtecks aus BC mit AE zum Quadrat über BC und somit das Verhältnis BC zu AE gegeben ist.
Wird über einer Strecke FG, deren Lage und Länge gegeben ist, der Kreisabschnitt FHG so errichtet, dass sein Winkel FHG gleich dem Winkel BAC ist, dann ist, da der Winkel BAC gegeben ist, die Lage des Kreisabschnitts FHG gegeben.
Ist GK die Senkrechte auf FG durch G, dann verhält sich, da die Lage von GK gegeben ist, BC zu AE wie FG zu GK.
Ist das Verhältnis von BC zu AE gegeben, ist somit das Verhältnis FG zu GK gegeben. FG ist gegeben, somit ist die Strecke GK mit ihrer Lage gegeben.
Der Punkt G ist gegeben, also ist der Punkt K gegeben.
Wird durch K die zu FG parallele KH gelegt, ist die Lage von KH gegeben.
Da die Lage des Kreisabschnitts FHG zu geben ist, ist damit der Punkt H gegeben.
Werden FH, HG und die Senkrechte HL gezogen, dann ist HL gegeben.
Da der Punkt H zu geben ist und die Punkte F, G gegeben sind, sind die Lagen und Größen von HF, HG gegeben.
Die Strecke FG ist gegeben, also ist die Konfiguration des Dreiecks FHG gegeben.
Es verhält sich BC zu AE wie FG zu GK und, da GK gleich HL ist, verhält sich BC zu AE wie FG zu HL. Der Winkel BAC ist gleich dem Winkel FHG und somit ist das Dreieck ABC dem Dreieck HFG gleichwinklig. Da die Konfiguration des Dreiecks HFG gegeben ist, ist deshalb auch die Konfiguration des Dreiecks ABC gegeben,