Werk:Dedomena/VIII.

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Das Verhältnis von Größen ist gegeben, wenn die Verhältnisse angegeben sind, in denen die Größen zur gleichen Größe stehen.

Wenn die Größen A, C zur Größe B in gegebenen Verhältnissen stehen, dann, sage ich, ist das Verhältnis A zu C gegeben.

Denn ist das Verhältnis von A zu B gegeben, dann ist zu einer gegebenen Größe D das gleiche Verhältnis aufzufinden, in dem die beiden Größen D, E stehen. Ist D gegeben, dann ist E gegeben.

Ist das Verhältnis B zu C gegeben, dann ist zur Größe E das gleiche Verhältnis E zu F aufzufinden. Damit ist die Größe F gegeben.

Ist D gegeben, dann ist das Verhältnis D zu F gegeben. Wie sich A zu B verhält, so verhält sich D zu E. Wie sich B zu C verhält, so verhält sich E zu F. Aufgrund Gleichheit verhält sich somit A zu C wie D zu F.

Ist das Verhältnis D zu F gegeben, dann ist deshalb das Verhältnis A zu C gegeben.

Anmerkung:
Ist A : B = D : E und C : B = F : E, dann ist A : C = D : F.