Werk:Dedomena/IX.
Die Verhältnisse, in denen zwei oder mehr Größen zueinander stehen, sind gegeben, wenn die Verhältnisse angegeben sind, in denen die Größen zu gleich vielen anderen und in denen diese zueinander stehen.
Wenn zwei oder mehr Größen, A, B, C, in gegebenen Verhältnissen stehen und sie zu ebenso vielen anderen Größen, D, E, F, in gegebenen, wenn auch nicht gleichen, Verhältnissen stehen, dann, sage ich, sind die Verhältnisse gegeben, in denen D, E, F stehen.
Denn wenn das Verhältnis A zu B und das Verhältnis A zu D gegeben ist, dann ist das Verhältnis D zu B gegeben [wie VIII.].
Ist das Verhältnis B zu E gegeben, ist somit das Verhältnis D zu E gegeben.
Ist das Verhältnis B zu C gegeben und ist das Verhältnis B zu E gegeben, dann ist das Verhältnis E zu C gegeben. Ist auch das Verhältnis C zu F gegeben, dann ist das Verhältnis E zu F gegeben.
Deshalb sind die Verhältnisse gegeben, in denen die Größen D, E, F stehen.
Anmerkung:
Sind A : B, D : A und E : B gegeben, dann,
da D = A · (D : A) und E = B · ( E : B), ist D : E = (A · D · B) : (A · E · B).