Werk:Dedomena/LXX.
Das Verhältnis zweier Parallelogramme, von denen die Verhältnisse der Seiten angegeben sind, die gleiche oder ungleiche gegebene Winkel einschließen, ist gegeben.
Wenn von den beiden Parallelogrammen AB, EG die Verhältnisse der Seiten gegeben sind, die gleiche oder ungleiche gegebenen Winkel bei C, F einschließen, wenn also das Verhältnis der Seiten AC zu EF und das Verhältnis der Seiten BC zu FG gegeben ist, dann, sage ich, ist das Verhältnis der Parallelogramme CD zu FH gegeben.
Denn wenn das Parallelogramm CD dem Parallelogramm FH gleichwinklig ist und über CB das dem Parallelogramm FH gleiche
Parallelogramm CM so errichtet wird, dass AC, CN auf einer Geraden liegen, dann liegen auch DB, BM auf einer Geraden.
Da die Parallelogramme BN, FH gleich und gleichwinklig sind und die Seiten an gleichen Winkeln solcher Parallelogramme in umgekehrten Verhältnissen stehen, verhält sich CB zu FG wie FE zu CN [wie Stoicheia VI.14.].
Das Verhältnis CB zu FG ist gegeben, also ist das Verhältnis EF zu CN gegeben.
Das Verhältnis EF zu AC und damit das Verhältnis AC zu CN ist gegeben, somit ist auch das Verhältnis CD zu CM gegeben. Da das Parallelogramm CM gleich FH ist, ist deshalb das Verhältnis CD zu EG gegeben.
Wenn nun das Parallelogramm AB dem Parallelogramm FH nicht gleichwinklig ist, dann ist über der Seite BC am Punkt C der dem Winkel EFG gleiche Winkel BCK anzulegen und das Parallelogramm CL zu vervollständigen.
Da die Winkel ACB, KCB gegeben sind, ist der Winkel ACK gegeben.
Da auch der Winkel CAK gegeben ist, ist der ergänzende Winkel AKC und damit die Konfiguration des Dreiecks AKC gegeben.
Da somit das Verhältnis AC zu CK gegeben ist und da das Verhältnis AC zu EF gegeben ist, ist das Verhältnis CK zu EF gegeben.
Das Verhältnis CB zu FG ist gegeben und der Winkel KCB gleich dem Winkel EFG, also ist das Verhältnis der Parallelogramme CL zu FH gegeben.
Da CL gleich CD ist, ist deshalb das Verhältnis CD zu FH gegeben.