Werk:Dedomena/XCIII.
Wird der Winkel eines Kreisabschnitts eines Kreises, dessen Größe angegeben ist, über seiner angegebenen Grundseite in zwei gleiche Teile geteilt, dann ist das Verhältnis der Abschnitte auf den Geraden, die den Winkel einschließen, zusammen zur Winkelhalbierenden und ist das Rechteck aus diesen Abschnitten zusammen mit dem Abschnitt auf der Winkelhalbierenden, der dem Winkel gegenüber liegt, gegeben.
Wenn vom Kreis ABC, dessen Größe gegeben ist, ein Kreisabschnitt mit der gegebenen Grundseite BC und dem Winkel BAC geschnitten und dieser Winkel durch die Gerade AD in zwei gleiche Teile geteilt wird, wobei AD die Grundseite BC in E und die Kreislinie in D schneidet, dann, sage ich, ist das Verhältnis von BA, AC zusammen zu AD und ist das Rechteck von BA, AC zusammen mit ED gegeben. Denn da vom Kreis ABC, dessen Größe gegeben ist, der Kreisabschnitt BAC mit der Grundseite BC und dem Winkel BAC geschnitten ist, ist die Länge von BC gegeben [wie LXXXVII.]. Es ist BD zu ziehen, womit aus den gleichen Gründen die Länge von BD gegeben ist. Damit ist das Verhältnis BC zu BD gegeben.
Der Winkel BAC wird durch AD in zwei gleiche Teile geteilt, also verhält sich BA zu AC wie BE zu EC und, nach Umordnung [wie Stoicheia V.16.], verhält sich AB zu BE wie AC zu CE. Damit verhält sich BA, AC zusammen zu BC wie AC zu CE.
Der Winkel BAE ist gleich dem Winkel EAC und der Winkel ACE ist gleich dem Winkel BDE [wie Stoicheia III.21.], somit ist der ergänzende Winkel AEC gleich dem ergänzenden Winkel ABD. Deshalb ist das Dreieck AEC dem Dreieck ABD gleichwinklig und es verhält sich AC zu CE wie AD zu BD.
Da sich AC zu CE verhält wie BA, AC zusammen zu BC, verhält sich BA, AC zusammen zu BC wie AD zu DB und, nach Umordnung, verhält sich BA, AC zusammen zu AD wie BC zu BD. Das Verhältnis BC zu BD ist gegeben, also ist das Verhältnis von BA, AC zusammen zu AD gegeben.
Zu dem, sage ich, ist das Rechteck aus BA, AC zusammen mit ED gegeben.
Denn da das Dreieck AEC dem Dreieck DEB gleichwinklig ist, verhält sich BD zu DE wie AC zu CE. Es verhält sich AC zu CE wie BA, AC zusammen zu BC, also verhält sich BA, AC zusammen zu CB wie BD zu DE. Das Rechteck aus BA, AC zusammen mit ED ist damit gleich dem Rechteck CB mit BD [wie Stoicheia VI.16.].
Da das Rechteck aus CB mit BD gegeben ist, ist deshalb das Rechteck aus BA, AC zusammen mit ED gegeben.