Werk:Dedomena/XLV.
Die Konfiguration eines Dreiecks, von dem ein Winkel und das Verhältnis der beiden ihn einschließenden Seiten zusammen zur übrigen Seite angegeben ist, ist gegeben.
Wenn vom Dreieck ABC der Winkel BAC und das Verhältnis der beiden ihn einschließenden Seiten BA und AC zusammen zur Seite CB gegeben ist, dann, sage ich, ist die Konfiguration des Dreiecks ABC gegeben.
Denn wenn der Winkel BAC durch die Strecke AD in zwei gleiche Teile geteilt wird, dann ist der Winkel BAD gegeben.
Da das Verhältnis BA zu AC gleich dem Verhältnis BD zu DC ist [wie Stoicheia VI.3.], verhält sich nach Umordnung AB zu BD wie AC zu CD. Damit verhält sich BA zusammen mit AC zu BC wie AB zu BD. Da das Verhältnis von BA zusammen mit AC zu BC gegeben ist, ist das Verhältnis BA zu BD gegeben.
Ist der Winkel BAD gegeben, ist damit die Konfiguration des Dreiecks ABD gegeben.
Also ist der Winkel ABD gegeben und, da der Winkel BAC gegeben ist, ist somit der übrige Winkel ABC im Dreieck ABC gegeben, dessen Konfiguration deshalb gegeben ist.