Werk:Zur Geschichte der griechischen Mathematik/Die Arithmetik der Pythagoreer II.

Mathematische Annalen 120 (1947/49), S. 127–153 und 676–700.

Von B. L. VAN DER WAERDEN

Constantin Carathéodory in Freundschaft und Verehrung zum 70. Geburtstag gewidmet.

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Diese Arbeit ist die Frucht einer ausgiebigen Diskussion mit K. REIDEMEISTER. Dieser hatte in seiner „Arithmetik der Griechen“ (Leipzig 1940) die These aufgestellt, daß die Theorie der quadriert rationalen Strecken, von der uns im Platonischen Dialog Theaitetos und in Euklid X Bruchstücke erhalten sind, die direkte Fortsetzung der Arithmetik der geometrischen Reihen der Bücher VIII und IX sei und daß diese Theorien ursprünglich ein Ganzes gebildet hätten. Demgegenüber glaube ich, zeigen zu können, daß die Theorie der quadriert rationalen Strecken am Anfang des X. Buches nicht nur mit dem Dialog Theaitetos, sondern auch mit dem Hauptteil des X. Buches eng verwandt ist, daß diese drei einen Geist atmen, auf dem gleichen hohen mathematischen Niveau stehen und eine einheitliche geometrisch-algebraische Methode benutzen, daß aber dieser Geist und diese Methode ganz verschieden sind von dem Geist und der Methode des VIII. Buches, dessen logische Mängel im I. Teil dieser Arbeit aufgezeigt wurden. Nur die Beweise der Sätze X 9 und X 10 sind dem Stile des Buches VIII verwandt, aber diese Beweise lassen sich als spätere Zusätze entlarven.

Trotzdem steckt, wie sich im Laufe der Diskussion herausgestellt hat, in REIDEMEISTERS These ein wahrer Kern. Es gab nämlich nicht nur eine Theorie der quadriert rationalen Strecken, sondern deren zwei, die mit ganz verschiedenen Methoden im wesentlichen zu denselben Ergebnissen führten. Die eine habe ich $A_P$ genannt, weil sie an die Arithmetik des Archytas, die wir aus Boethius, Euklid VIII und der Sectio canonis kennen, anknüpft. Sie geht von der Frage nach der Existenz eines geometrischen Mittels zwischen Strecken oder Zahlen aus und hat ihre methodische Basis in der Arithmetik der geometrischen Reihen und der daran anknüpfenden Lehre von den ähnlichen ebenen und körperlichen Zahlen des Buches VIII. Dieser Theorie $A_P$ entstammen die erwähnten Beweise der Sätze X 9–10. Aus der Epinomis sieht man, daß die pythagoreisierenden Platoniker sich für diese Arithmetik und Lehre vom Irrationalen sehr begeistert haben.

Die zweite Theorie möchte ich $\mathrm{\Theta }ϵ$ nennen, weil der Theaitetos des platonischen Dialoges, an seinen Lehrer Theodoros anknüpfend, die Grundbegriffe dieser Theorie erörtert und einen Lehrsatz aus ihr formuliert. Eine vollständigere Darstellung dieser Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ finden wir im Anfang des X. Buches. Sie arbeitet nicht mit dem Begriff des geometrischen Mittels, sondern mit der Quadrierung von Strecken und mit den Hilfsmitteln der geometrischen Algebra, die auch sonst im X. Buche dauernd verwendet werden. Sie benutzt nicht die Sätze des Buches VIII über geometrische Reihen von Zahlen, sondern sie greift direkt auf die grundlegenden Sätze über teilerfremde Zahlen des älteren Buches VII zurück.

Das Hauptergebnis der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ ist mit dem der Theorie $A_P$ identisch; es kann etwa so formuliert werden: Zwei quadriert rationale Strecken $a$ und $b$ sind nur dann kommensurabel, wenn die teilerfremden Zahlen $M$ und $N$, die das Verhältnis der Quadratflächen $a^2:b^2$ in kleinsten Termen ausdrücken, Quadratzahlen sind. Entsprechendes gilt von zwei Strecken $a$ und $b$, deren Kuben kommensurabel sind. Reduziert man das Verhältnis ihrer Rauminhalte auf kleinste Terme $M:N$, so müssen $M$ und $N$ Kubikzahlen sein, damit die Strecken $a$ und $b$ selbst kommensurabel sind.

Die Beweise beruhten in der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ auf einer vor-Eudoxischen Proportionenlehre. Da Euklid (oder dessen Vorlage) die Darstellung auf der Eudoxischen Proportionenlehre aufbauen wollte, konnte er diese Beweise nicht gebrauchen und ersetzte sie durch andere, nicht ganz einwandfreie, die der Theorie $A_P$ entlehnt waren.

Im folgenden sollen zunächst die Gedankengänge der Theorien $A_P$ und $\mathrm{\Theta }ϵ$ dargestellt werden. Sodann kommen wir auf die Frage der Urheberschaft. Die Theorie $A_P$ ist, wie schon erwähnt, pythagoreisch: sie stammt von Archytas oder aus dessen Umgebung. Die Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ wird von Platon dem Theaitetos in den Mund gelegt, und es gibt gute Gründe dafür, daß er seinen Helden nicht mit fremden Federn schmücken wollte. Sie hängt auch methodisch und inhaltlich aufs engste mit der Theorie der höheren Irrationalitäten Mediale, Apotome und Binominale zusammen, die Eudemos selbst dem Theaitetos zuschreibt.

Die Geschichte der „Wechselwegnahme“, die in der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ zur Definition der Proportion benutzt wurde, läßt sich von ihren ersten Anfängen in der pythagoreischen Zahlentheorie (Buch VII Euklids) über das Irrationalitätskriterium X 2 bis zur Proportionenlehre verfolgen. Wir zeigen, eine Idee von ZEUTHEN weiter entwickelnd, daß Theodoros von Kyrene höchstwahrscheinlich dieses Kriterium X 2 zum Nachweis der Nichtmeßbarkeit der Quadratseiten, welche Flächen von 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 oder 17 Flächeneinheiten erzeugen, benutzt hat.

§ 1. Die Theorie $A_P$.

Ob zwischen zwei Zahlen $M$ und $N$ eine oder mehrere mittlere Proportionale möglich sind, hängt nach VIII 8 nur von dem Verhältnis $M:N$ ab; man kann sich also auf den Fall beschränken, daß $M$ und $N$ teilerfremd sind. Nach VIII 9 gibt es zwischen zwei teilerfremden Zahlen $M$ und $N$ eine oder mehrere mittlere Proportionale nur dann, wenn zwischen 1 und $M$ und auch zwischen 1 und $N$ ebensoviele mittlere Proportionale möglich sind. Im Fall einer mittleren Proportionalen müssen demnach $M$ und $N$ Quadratzahlen, im Fall von zwei mittleren Proportionalen Kubikzahlen sein, und das genügt auch (VIII 11 und 12). Sind $M$ und $N$ nicht teilerfremd, so müssen sie ähnliche Rechteckszahlen bzw. ähnliche Körperzahlen sein, damit zwischen ihnen eine bzw. zwei mittlere Proportionale existieren (VIII 18–21).

Die Pythagoreer, die diese zahlentheoretischen Sätze aufstellten, wandten sie nun an auf die Musiktheorie, auf die Geometrie, auf die Kosmologie und überhaupt auf alle Bereiche des Seienden, wo immer sie Abbilder der Zahlen erblickten. Die musiktheoretische Anwendung haben wir in Teil I besprochen. Die um Archytas waren aber auch Geometer. Es liegt daher auf der Hand, daß sie sich auch überlegt haben, was herauskommt, wenn man die Zahlen $M$ und $N$ durch Strecken $a$ und $c$ geometrisch darstellt. Da zeigt sich nun etwas ganz Merkwürdiges und Aufregendes: Während zwischen zwei unähnlichen Zahlen $M$ und $N$ keine mittlere Proportionale möglich ist, existiert zwischen den Strecken $a$ und $c$ stets eine mittlere Proportionale: das „geometrische Mittel“ $b$, das den Pythagoreern durchaus geläufig war. Diese Strecke $b$ nun läßt sich ersichtlich nicht durch eine Zahl darstellen, sie ist zu $a$ inkommensurabel. Denn gesetzt, $b$ wäre wie $c$ zu $a$ kommensurabel, dann würden die Strecken $a,b,c$ sich wie Zahlen $A,B,C$ verhalten: $a:b:c=A:B:C$, und die Zahl $B$ wäre die mittlere Proportionale zwischen $A$ und $C$. Aber nach den anfangs angeführten Sätzen ist zwischen den Zahlen $A$ und $C$, die sich wie $M$ zu $N$ verhalten ($A:C=a:c=M:N$) keine mittlere Proportionale möglich.

Daß die Pythagoreer Überlegungen dieser Art wirklich angestellt haben, ist nicht nur von vornherein wahrscheinlich, sondern auch die Zeugnisse bestätigen es. So heißt es in der Epinomis, nachdem von den zahlentheoretischen Eigenschaften von geometrischen Reihen wie 1, 2, 4, 8 die Rede war: Die Geometrie aber lehrt, nicht ähnliche Zahlen doch ähnlich zu machen. Das bedeutet: Wenn auch die Zahlen $M$ und $N$ nicht ähnlich sind, so existiert zwischen den sie darstellenden Strecken $a$ und $c$ doch eine mittlere Proportionale, und die Geometrie lehrt uns, sie zu konstruieren. Die Epinomis kommt dann auf die „neue Kunst“ der Stereometrie und fährt fort: „Diese neue Kunst lehrt uns, solche Zahlen, die im räumlichen Sinne nicht ähnlich sind, doch ähnlich zu machen.“ Offenbar wird hier angespielt auf das berühmte Problem der Würfelverdopplung. Eine bekannte Konstruktion des Archytas lehrt, in jedem gegebenen Streckenverhältnis $a:d$ zwei ähnliche Würfel zu konstruieren, oder, was damit äquivalent ist, zwischen zwei gegebenen Strecken $a$ und $d$ zwei mittlere Proportionale zu konstruieren. Die einzelnen Beweisschritte des oben skizzierten Irrationalitätsbeweises und ihr Zusammenhang waren also den Pythagoreern und ihren Freunden in der Platonischen Akademie ganz geläufig, sowohl für eine als für zwei mittlere Proportionale.

Die beiden allgemeinen Sätze, die man mit dieser Methode beweisen kann, lauten:

Konstruiert man zu zwei Strecken $a$ und $c$, deren Verhältnis in kleinsten Termen durch zwei Zahlen $M$ und $N$ ausgedrückt wird, die nicht beide Quadratzahlen sind, eine mittlere Proportionale $b$, so ist $b$ zu $a$ inkommensurabel.

Konstruiert man zu zwei Strecken $a$ und $d$, deren Verhältnis in kleinsten Termen durch zwei Zahlen $M$ und $N$ ausgedrückt wird, die nicht beide Kubikzahlen sind, zwei mittlere Proportionale $b$ und $c$, so sind diese zu $a$ inkommensurabel.

Eine weitere Spur dieser Überlegungen finden wir bei Euklid im Beweis von X 9. Hier handelt es sich darum, zu beweisen, daß zwei Quadratflächen $a^2$ und $b^2$ sich wie Quadratzahlen zueinander verhalten, wenn ihre Seiten $a$ und $b$ kommensurabel sind, also ein Verhältnis haben wie eine Zahl zu einer Zahl: $a:b=A:B$. Dazu wird zunächst unter Berufung auf VI, 20 bemerkt, daß das Verhältnis der Quadrate $a^2:b^2$ das „verdoppelte Verhältnis“ $(a:b{)}^2$ ist, sodann unter Berufung auf VIII 11 („zwischen zwei Quadratzahlen gibt es eine mittlere Proportionalzahl, und die Quadratzahl steht zur Quadratzahl zweimal im Verhältnis wie die Seite zur Seite“), daß auch $A^2:B^2=(A:B{)}^2$ ist, woraus dann die Behauptung $a^2:b^2=A^2:B^2$ folgt.

Auch im Beweis von X 10 werden ähnliche ebene Zahlen und mittlere Proportionale zur Konstruktion von inkommensurablen Strecken benutzt. Beide Beweise passen, wie auch HEIBERG und HEATH bemerkt haben, sprachlich und sachlich schlecht in das X. Buch hinein: in der Tat werden wir in § 2 nachweisen, daß sie einen späteren Zusatz darstellen. Aus der Wendung ἐμάθομεν γάρ: „wir haben nämlich gelernt“ im Beweis von X 10, die sonst nur in der Sectio canonis vorkommt, könnte man vermuten, daß der Urheber dieses Beweises mit einem der Bearbeiter der Sectio identisch ist. Jedenfalls gehört er zu denen, die die pythagoreischen Lehren über ähnliche Zahlen und geometrische Mittel gelehrt und angewandt haben. In der Platonischen Akademie galten diese Lehren sehr viel, wie die Anspielungen auf sie im Timaios und in der Epinomis beweisen. Sie gehörten offenbar zu den regelmäßigen Lerngegenständen für die Adepten der Akademie, wie denn auch in der Epinomis verlangt wird, daß die Hüter des Staates sich diese Mathemata aneignen sollen.

Es ist klar, daß der Urheber der Theorie $A_P$ in dem Kreis um Archytas zu suchen ist. Archytas ist ja auch an der Musiktheorie der Sectio canonis und an der Arithmetik des Buches VIII stark beteiligt; er hat die Lehre von den drei Mitteln dargestellt und auf die Musiktheorie angewandt; er hat in seiner „Würfelverdopplung“ die Konstruktion von zwei mittleren Proportionalen behandelt und dabei die Konstruktion einer mittleren Proportionalen zweimal angewandt; er hat schließlich die Nichtexistenz einer mittleren Proportionalen zwischen zwei Zahlen im überteiligen Verhältnis $(n+1):n$ bewiesen. Die ganze Theorie $A_P$ verläuft somit in den Gedankengängen des Archytas. In der Epinomis wird der Grundgedanke dieser Theorie geradezu in den Zusammenhang der Lehren des Archytas hineingestellt.

Ob Archytas selbst oder einer der Pythagoreer seines Freundeskreises die Theorie $A_P$ ausgearbeitet hat, ist historisch gleichgültig; ich halte es aber für das Wahrscheinlichste, daß er es selbst war.

Bevor wir die Theorie $A_P$ verlassen, möge noch eine Bemerkung über den allgemeinen Charakter dieser Art Mathematik Platz finden.

Wenn in Platonischen Schriften von ähnlichen Zahlen und verwandten Gegenständen die Rede ist, so fällt einem jeden der feierliche Ton der Darstellung auf. In der Epinomis werden alle diese Lehren immerfort „göttlich“ und „wunderbar“ genannt. Statt nüchterner, klarer Formulierungen hören wir dunkle Andeutungen in einer erhabenen Sprache. Es ist so, als ob man diese Lehren nicht einfach lernt, sondern in sie eingeweiht wird und durch diese Einweihung sich dem Göttlichen nähert. Jedes Wort hat nicht nur seine exakt-mathematische, sondern daneben auch noch eine metaphysische Bedeutung. Ebenso ist es im Timaios, wo das arithmetische und das harmonische Mittel zur Konstruktion der Seelentonleiter verwandt werden und der Satz über die Existenz von zwei mittleren Proportionalen zwischen zwei Kubikzahlen zur Begründung dient, warum der Schöpfer zwischen Erde und Feuer zwei weitere Elemente einschaltete. Hier befinden wir uns nicht in der Sphäre des nüchtern unterscheidenden Verstandes, sondern bewegen uns in halbdunklen Ahnungen, wie wohl der Schöpfer aus Zahlen die Dinge erschuf.

Dieser metaphysische Einschlag ist unzweifelhaft pythagoreisch. Denn nach Aristoteles folgte Platons Spekulation in den meisten Stücken den Pythagoreern. Auch sie lehrten schon, daß das Seiende durch Nachahmung der Zahlen sei, und die Prinzipien der Zahlen waren ihnen die Prinzipien aller Dinge.

Nicht umsonst leiht Plato im Timaios einem Pythagoreer das Wort! Auch der Begriff der Einweihung war pythagoreisch (vgl. die Fragmente des Empedokles), und durch Kenntnis der mystischen Eigenschaften der Zahlen hofften schon die ältesten Pythagoreer dem Kreislauf der Wiedergeburten zu entgehen und mit dem Göttlichen eins zu werden.

Eines der Wesensmerkmale dieser Art des Denkens ist, daß zwischen Verschiedenem nicht klar unterschieden wird. Man sagt 3 und meint die Gerechtigkeit, oder man sagt ἐπόγδοων (d. h. $9:8$) und meint das Ganztonintervall. Die ersten drei Lehrsätze in der Sectio canonis sind rein zahlentheoretisch, aber in der Formulierung ist nicht von Zahlenverhältnissen, sondern von Intervallen die Rede. Für die Pythagoreer „sind“ die Intervalle ja Zahlenverhältnisse, ebenso wie die Gerechtigkeit die Zahl 3 „ist“.

Dieser Mangel an klarer Unterscheidung führt ganz von selbst auch innerhalb der Mathematik zu Unklarheiten und Trugschlüssen. So liegt, wie auch REIDEMEISTER ausgeführt hat, in dem Begriff der ähnlichen Zahlen eine Unklarheit, die zu einem Fehlschluß geführt hat (vgl. Teil I dieser Arbeit). In der Musiktheorie der Sectio canonis steckt, wie wir gesehen haben, ein ganz wesentlicher Trugschluß, der auf der Nichtunterscheidung einer Aussage von ihrer Umkehrung beruht.

So sehen wir, daß die Theorie $A_P$, die Zahlentheorie des Buches VIII und die ihr verwandte Musiktheorie der Sectio in derselben Sphäre mystischen Halbdunkels erwachsen sind, in der auch die pythagoreische Metaphysik zu Hause ist. In der ursprünglichen pythagoreischen Lehre war dieser Charakter sicherlich noch ausgeprägter als in der mehrfach überarbeiteten Darstellung Euklids.

Plato aber ist nicht nur in diesen dunklen Ahnungen zu Hause: er kennt auch die andere Sphäre des klaren, durchdringenden Verstandes. In den Meisterdialogen Theaitetos und Sophistes führt er uns in diese Sphäre ein: Wir sehen den an der Mathematik geschulten Verstand am Werk, wie er im dialektischen Verfahren die Schleier des Truges und der Scheinwahrheit zerreißt, damit die ahnende Seele die Wahrheit erblicken kann. Folgen wir ihm in die Sphäre des Lichtes und der Klarheit!

§ 2. Die Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$.

Welche mathematische Theorie trägt der Jüngling Theaitetos im gleichnamigen Platonischen Dialog als Ergebnis seiner eigenen, gemeinsam mit dem jungen Sokrates angestellten Überlegungen vor?

Wie er berichtet, hatte Theodoros von Kyrene gezeigt, daß die Seiten der Quadrate von 3, 5, ..., 17 Quadratfuß Flächeninhalt der Länge nach nicht kommensurabel sind mit der Einheitsstrecke von einem Fuß. Die jungen Leute hatten sich nun, da es doch unendlich viele solche Quadratseiten gibt,

überlegt, ob man sie nicht alle unter einem allgemeinen Begriff zusammenfassen könnte. Das Ergebnis dieser Überlegung wird in den folgenden Sätzen mitgeteilt:

(147 E) ΘΕΑΙ. Τὸν ἀριθμὸν πάντα δίχα διελάβομεν· τὸν μὲν δυνάμενον ἴσον ἰσάκις γίγνεσθαι τῷ τετραγώνῳ τὸ σχῆμα ἀπεικάσαντες τετράγωνόν τε καὶ ἰσόπλευρον προσεῖπομεν.	Theait.: Alle Zahlen teilten wir in zwei Arten. Die Produkte aus zwei gleichen Faktoren nannten wir, sie mit der Quadratfigur vergleichend, quadratisch oder auch gleichseitig ....
(148 A) ΘΕΑΙ. Ὅσαι μὲν γραμμαὶ τὸν ἰσόπλευρον καὶ ἐπίπεδον ἀριθμὸν τετραγωνίζουσι, μῆκος ὡρισάμεθα, ὅσαι δὲ τὸν ἑτερομήκη, δυνάμεις, ὡς μήκει μὲν οὐ συμμέτρους ἐκείναις, τοῖς δ' ἐπιπέδοις ἃ δύνανται. Καὶ περὶ τὰ στερεὰ ἄλλα τοιοῦτον.	Theait.: Solche Strecken, die beim Quadrieren eine gleichseitige ebene Zahl hervorbringen, bestimmten wir als Länge (μῆκος); solche dagegen die eine ungleichseitige Zahl hervorbringen, nannten wir Quadratseiten (δυνάμεις), als der Länge nach nicht mit jenen kommensurabel (μήκει οὐ σύμμετρος), wohl aber der Flächen nach, die sie erzeugen. Und ebenso bei den Rauminhalten.
	Sokr.: Ganz ausgezeichnet, ihr Knaben!

Um die Überlegungen des Theaitetos richtig zu würdigen, ist es unbedingt nötig, jeden Gedanken an irrationale Zahlen auszuschließen. Aus diesem Grunde bezeichnen wir die Quadratseiten diesmal nicht mit $\sqrt{1},\sqrt{2},\dots$, sondern mit $w_1,w_2,\dots$. Es sei also $w_n$ die Seite des Quadrates mit Flächeninhalt $n$. Dann heißt der Satz, den Theaitetos im letzten Absatz ausspricht:

Satz Q. Ist $n$ keine Quadratzahl, so ist $w_n$ zu $w_1$ linear inkommensurabel.

Da nun Theaitetos selbst über seine Leistung durchaus zufrieden war und der Geometer Theodoros ebenso, so müssen wir annehmen, daß er diesen Lehrsatz nicht nur aufgestellt, sondern auch bewiesen hat.

Der Beweis zerfällt notwendigerweise in einen geometrischen und einen arithmetischen Teil. Zunächst hat man zu zeigen: Wenn die Quadratseite $w_n$ zu $w_1$ kommensurabel ist, so verhalten sich die Quadratflächen wie zwei Quadratzahlen $p^2:q^2$, also ist dann $p^2=n\cdot q^2$. Der arithmetische Teil besteht dann in dem Nachweis, daß $p^2=n\cdot q^2$ nur möglich ist, wenn $n$ eine Quadratzahl ist.

ZEUTHEN hat die eigentliche Leistung des Theaitetos in dem arithmetischen Nachweis erblicken wollen. Mir scheint aber der geometrische Teil genau so wichtig, und das Wichtigste die logische Klärung des ganzen Sachverhaltes:

die Aufstellung der grundlegenden Begriffe wie linear kommensurabel und quadriert kommensurabel, auf die auch Plato ersichtlich den größten Wert legt, die Formulierung des Hauptsatzes und die Zerlegung des Beweises in einen arithmetischen und einen geometrischen Teil.

Der arithmetische Nachweis, daß $p^2=n\cdot q^2$ nur möglich ist, wenn $n$ eine Quadratzahl ist, kann nach REIDEMEISTER auf Grund der Sätze des Buches VIII der Elemente geführt werden. Es scheint mir aber wichtig, daß die Behauptung auch unmittelbar aus dem älteren Buch VII gefolgert werden kann. Ist nämlich $p^2=n\cdot q^2$, so ist $p^2$ durch $q^2$ teilbar. Nun kann man $p$ und $q$ als teilerfremd annehmen, da man ja sonst in der Gleichung $p^2=n{q}^2$ die gemeinsamen Faktoren gegenseitig wegkürzen könnte. Dann ist nach VII 27 auch $p^2$ zu $q^2$ teilerfremd, und da $p^2$ durch $q^2$ teilbar war, so muß $q^2=1$, also $n=p^2$ sein.

Der geometrische Satz, den Theaitetos, wie wir sahen, zu seinem Beweis notwendig brauchte, heißt: Wenn die Seiten zweier Quadrate kommensurabel sind, so haben die Quadratflächen ein Verhältnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl.

Genau diese Aussage und ihre Umkehrung bilden aber den Inhalt des Satzes Euklid X 9, und in der Tat schreibt ein Scholion zu Euklid diesen Satz dem Theaitetos zu. Man hat das Scholion für verdächtig gehalten, weil es aus der betreffenden Stelle des Dialoges Theaitetos entstanden sein könnte. Ich glaube das nicht; denn solche Scholien beruhen meistens auf Überlieferung, nicht auf verzwickten Schlüssen aus platonischen Dialogen; aber selbst wenn es so wäre, so würde die Zuschreibung des Satzes an Theaitetos zu Recht bestehen. Der Scholiast hätte dann eben denselben Schluß aus dem Dialog gezogen wie wir.

Jedoch wollen wir die Personenfrage zunächst außer Betracht lassen. Wichtiger ist die gewonnene Erkenntnis, daß der Satz X 9 in den Zusammenhang der im Dialog entwickelten Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ hineingehört.

Als weitere Bestätigung des Zusammenhanges zwischen dem Dialog und dem Anfang des X. Buches betrachte ich die Tatsache, daß die Begriffe „linear kommensurabel“ (μήκει σύμμετρος) und „quadriert kommensurabel“ (δυνάμει σύμμετρος) in beiden mit fast gleichen Bezeichnungen vorkommen und für beide grundlegend sind.

Der Theaitetos des Dialoges deutet an, daß analoge Begriffe und Sätze sich für Raumkörper entwickeln lassen. Der zu X 9 analoge Satz für Raumkörper würde heißen:

Satz R. Wenn die Seiten zweier Würfel kommensurabel sind, so haben die Rauminhalte ein Verhältnis wie eine Kubikzahl zu einer Kubikzahl.

X 9 und Satz R bilden das zweite und dritte Glied einer Reihe von Sätzen, deren erstes Glied besagen würde, daß kommensurable Strecken ein Verhältnis haben wie eine Zahl zu einer Zahl. Diesen Satz nun finden wir, etwas allgemeiner formuliert, bei Euklid wieder als

X 5. Kommensurable Größen haben zueinander ein Verhältnis wie eine Zahl zu einer Zahl.

Die Umkehrung bietet X 6.

Wie man sieht, fügen sich die Mosaiksteine aus dem „Theaitetos“ und Euklid X sehr schön zu einer Theorie der Rhetai (so heißen bei Euklid die Strecken, deren Quadrate rational sind) zusammen.

Daß es eine solche Theorie als selbständiges Ganzes einmal gegeben haben muß, dafür spricht auch die Terminologie Euklids. Rhetos heißt nämlich aussprechbar: die Rhetai können benannt werden durch Angabe der Flächeninhalte der von ihnen erzeugten Quadrate. Alle übrigen Strecken heißen bei Euklid ἄλογος, irrational. Im weiteren Verlauf des X. Buches werden aber außer den Rhetai noch weitere Strecken „benannt“ und somit aussprechbar gemacht: so die Binomiale, „die mit zwei Namen“, die Summe zweier Rhetai. Der Wortgebrauch ῥητὸς – ἄλογος muß, so meinte Herr REIDEMEISTER, wohl aus einer Zeit stammen, da man nur die Rhetai zu benennen und behandeln gelernt hatte.

Die grundlegenden Begriffe „linear kommensurabel“ und „quadriert kommensurabel“ beziehen sich auf Streckenpaare, nicht auf einzelne Strecken. Im Dialog wie im X. Buch wird weiter eine Längeneinheit ausgezeichnet: im X. Buch heißt sie „die Rationale“ (ἡ ῥητή), im Dialog populär „die von einem Fuß“. Strecken, die mit der Längeneinheit linear oder nur quadriert kommensurabel sind, heißen bei Euklid alle zusammen Rhetai, während sie bei Platon in μῆκος und δύναμις unterschieden werden. Diese leicht mißverständlichen Ausdrücke kommen bei Euklid nicht vor, aber ihre Verwandtschaft mit den grundlegenden Bezeichnungen μήκει σύμμετρος und δυνάμει σύμμετρος liegt auf der Hand. In der folgenden Übersichtstafel sind die Grundbegriffe der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ mit ihren Platonischen und Euklidischen Bezeichnungen noch einmal zusammengestellt.

Auch hier zeigt sich wieder, wie eng der Dialog und der Anfang des X. Buches zusammengehören. Beiden ist das Grundprinzip gemeinsam: Nicht direkt meßbare Strecken werden benannt und untersucht durch Bildung der Quadrate, die sie erzeugen. Dieses Grundprinzip zieht sich übrigens durch das ganze Buch X: es bildet den roten Faden, an dem man sich am leichtesten durch das Gewirr dieser schwierigen Untersuchungen hindurchfindet.

Durch diese Beweismethode, nicht durch die Ergebnisse, unterscheidet sich die Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ von der früher besprochenen Theorie $A_P$. In $A_P$ ist die Existenz oder Nichtexistenz eines geometrischen Mittels das entscheidende Beweismittel, in $\mathrm{\Theta }ϵ$ dagegen ist nie vom geometrischen Mittel die Rede, sondern die Eigenschaften der Strecken werden durch die über sie errichteten Quadrate bewiesen.

	Platon	Euklid
kommensurabel	σύμμετρος	σύμμετρος
linear kommensurabel	μήκει σύμμετρος	μήκει σύμμετρος
quadriert kommensurabel	umschrieben	δυνάμει σύμμετρος
inkommensurabel	οὐ σύμμετρος	ἀσύμμετρος
Die Längeneinheit	ἡ ποδιαία	ἡ ῥητή
meßbar (i. B. a. die Längeneinheit)	μῆκος
nur quadriert meßbar	δύναμις
rational (= quadriert meßbar)		ῥητός
irrational (= nicht quadriert meßbar)		ἄλογος
––––––––––––––––––––––––––––––––	–––––––––––––––––––	–––––––––––––––––––

Natürlich wußten die Urheber beider Theorien ganz genau, daß eine Übersetzung von der einen Sprache in die andere jederzeit möglich ist. Statt daß man das Rechteck $ac$ in ein flächengleiches Quadrat $b^2$ verwandelt oder umgekehrt, wie das im X. Buch dauernd geschieht, kann man auch $b$ als geometrisches Mittel zwischen $a$ und $c$ bestimmen, daher auch im X. Buch eine solche Quadratseite $b$, wenn $a$ und $c$ Rhetai sind, als „Mediale“ (μέση) bezeichnet wird; aber nichtsdestoweniger verlaufen die Gedankengänge in der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ ganz anders als in $A_P$. Der Lehrsatz X 9 z. B., der zentrale Satz der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$, spielt in $A_P$ überhaupt keine Rolle. Wohl kann man ihn natürlich, wenn man will, mit den Hilfsmitteln der Theorie $A_P$ beweisen, und einen solchen Beweis bringt auch der Euklidtext, aber dieser Beweis ist eine spätere Zutat.

Um das zu zeigen und den Bestand der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ genauer zu bestimmen, müssen wir zunächst etwas näher auf die Struktur des X. Buches eingehen.

Die Sätze X 29–35 bilden die Grundlage der Konstruktion der 12 Irrationalitäten, deren Eigenschaften in den darauffolgenden X 36–111 untersucht werden. X 29–111 bilden also ein Ganzes, das ich den „Hauptteil“ des Buches X nennen will.

X 27–28 b mögen als unecht oder zumindest verdächtig außer Betracht bleiben.

X 21–26: Lehre von den Medialen. Der straffe Stil und die Beweismethoden sind dieselben wie im Hauptteil. Die medialen Flächen bilden überdies ein unentbehrliches Hilfsmittel bei den Untersuchungen des Hauptteiles. Auch gehören die medialen Strecken nicht zu den Rhetai; also gehören X 21–26 zum Hauptteil.

X 19–20 handeln zwar von rationalen Strecken und Rechtecken, sind aber in Formulierung und Beweis vollkommen analog zu ihren logischen Komplementen X 21–22. Also gehören auch sie zum Hauptteil.

X 17–18 enthalten die Bedingungen dafür, daß die Wurzeln einer elliptischen Gleichung $x^2+b^2=ax$ zueinander und zu $a$ kommensurabel sind. Diese beiden Sätze sind offensichtlich dazu geschaffen, um im Hauptteil an entscheidender Stelle (X 54 ff.) angewandt zu werden. Wären sie ursprünglich Selbstzweck gewesen, warum dann die Beschränkung auf die elliptische Flächenanpassung?

X 15–16 sind Hilfssätze für die Irrationalitätsbeweise, insbesondere der Binomiale und Apotome.

X 14 hat nur Sinn als Hilfssatz zu X 103–107.

An dem straffen logischen Gefüge von X 14–111 ist demnach nicht zu rütteln. Es bleiben nun folgende Stücke übrig:

X 1–4: Wechselwegnahme und kleinstes gem. Maß;

X 5–6: Kommensurable Größen verhalten sich wie Zahlen und umgekehrt;

X 9: Quadrate über kommensurable Strecken verhalten sich wie Quadratzahlen und umgekehrt;

X 10: Existenzbeweis inkommensurabler und quadriert inkommensurabler Strecken;

X 11–13: Drei Sätzchen über kommensurable und inkommensurable Größen, einfache Folgerungen aus X 5–6.

Dies wäre also die Lehre von den Rhetai, soweit sie sich bei Euklid erhalten hat. Dazu kommt noch Satz Q aus dem Dialog, sowie Satz R, auf den im Dialog ganz kurz hingewiesen wird. X 5–6, X 9 und R sind drei sich entsprechende Sätze für die Gerade, die Ebene und den Raum, und Q ist eine hübsche Anwendung von X 9, gleichzeitig ein Existenzbeweis für nur quadriert rationale Strecken.

Leider ist das eben herauspräparierte Anfangsstück des X. Buches durchaus keine Einheit: es zerbröckelt in den Händen. Denn:

X 1–4 haben keine Beziehung zum folgenden;

X 10 war schon HEIBERG und HEATH als unecht verdächtig. Im Beweis wird X 11 benutzt. Nach REIDEMEISTER deutet das auf eine nicht ganz geglückte Zusammenstückelung aus älterem Gut. Genauer können wir sagen: Die falsche Reihenfolge von X 10 und X 11 deutet darauf hin, daß entweder X 10 und X 11 aus verschiedenen Quellen stammen und bei der Zusammenstellung falsch angeordnet sind, oder daß der Beweis von X 10 von einem späteren Redaktor neu gefaßt und dabei verdorben worden ist. In beiden Fällen folgt, daß der Beweis von X 10 aus anderer Quelle stammt als X 11–13.

Aber auch der Beweis von X 9 ist unzureichend, denn es wird aus der Gleichheit der verdoppelten Verhältnisse $(a:b{)}^2=(A:B{)}^2$ auf die Gleichheit der ursprünglichen Verhältnisse $a:b=A:B$ geschlossen, ein Schluß, der für den Musiktheoretiker, der die Verhältnisse als Intervalle zu deuten gewohnt ist, nahe liegt, nicht aber für den Geometer.

Die mangelhafte Logik des Beweises von X 9 ist zu der von X 10 ähnlich. In beiden Beweisen werden ähnliche Zahlen und geometrische Mittel benutzt, Beweismittel, die dem X. Buche sonst fremd sind. Beide weisen auf die pythagoreische Musiktheorie hin: der eine durch den Schluß von den verdoppelten Intervallen, der andere durch die Wendung ἐμάθομεν γάρ, der sonst nur in der Sectio canonis vorkommt. Wir können also annehmen, daß beide Beweise aus derselben Quelle stammen.

Der Satz X 9 selbst stammt nicht aus dieser trüben Quelle, denn er bildet, wie wir gesehen haben, einen Kernsatz der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$. Er rührt wie die ganze Theorie von jenem klaren Denker her, der zum ersten Male die Begriffe rational und irrational, kommensurabel und quadriert kommensurabel exakt gefaßt und die grundlegenden Sätze darüber bewiesen hat. Der Beweis, wie er bei Euklid steht, muß später eingefügt worden sein. Der ursprüngliche Beweis hat offenbar nicht in Euklids System hineingepaßt, und Euklid (oder seine Vorlage) hat ihn durch einen anderen, aus dem Gedankenkreise der Theorie $A_P$ stammenden, ersetzt. Wollen wir die ursprüngliche Gestalt der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ wieder herstellen, so müssen wir die Beweise von X 9–10 tilgen. Ob der ganze Satz X 10 getilgt werden muß, ist mir nicht klar. Irgend ein Existenzsatz für nicht meßbare und für nicht quadriert meßbare Strecken muß doch wohl zur Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ gehört haben, aber wie er gelautet hat und was mit ihm geschehen ist, als ein Teil der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ mit dem Hauptteil des X. Buches zu einem Werk vereinigt wurde, das wissen wir nicht.

§ 3. Der Begriff des Verhältnisses in der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$.

Die Wechselwegnahme.

In den wichtigsten Sätzen der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ ist von Verhältnissen die Rede, und zwar nicht nur von Verhältnissen kommensurabler Größen, sondern auch von irrationalen Verhältnissen (vgl. besonders X 11: Stehen vier Größen in Proportion und ist die erste der zweiten inkommensurabel, so auch die dritte der vierten). Es muß also der Theorie eine Definition der Proportion zugrunde gelegen haben, die nicht nur auf kommensurable Größen anwendbar ist. Welche?

Auf diese Frage scheint mir nur eine Antwort möglich zu sein. Die Definition 20 des Buches VII ist nur auf meßbare Verhältnisse anwendbar. Die Eudoxische Definition der Proportion aber, auf der Euklid V–VI aufgebaut ist, kann der Urheber der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ noch nicht gekannt haben. Eudoxos blühte 368, und das Gespräch zwischen Theaitetos und Theodoros soll nach Platon vor Sokrates Tode (399) stattgefunden haben. Außerdem: Wenn die Eudoxische Definition schon der ursprünglichen Darstellung der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ zugrunde gelegen hätte, so wäre für den Redaktor des Buches X gar kein Grund vorhanden, die ursprünglichen Beweise der Sätze X 9–10 zu verwerfen. Er hat sie offenbar deswegen durch neue ersetzt, weil sie in den Rahmen des Euklidischen Werkes nicht paßten, eben weil sie auf einer anderen Definition der Proportion beruhten.

Auch eine Stelle der zweiten Analytik des Aristoteles (I 5, p. 74a, 17–25) deutet darauf hin, daß es vor der Eudoxischen Proportionenlehre noch eine ältere gegeben hat, in der die Beweise für Zahlen, Strecken, Körper und Zeiten getrennt geführt wurden.

Mir ist nur eine Definition der Proportion bekannt, die hier in Betracht kommt, nämlich die folgende: Zwei Größen haben dasselbe Verhältnis wie zwei andere, wenn sie dieselbe „Wechselwegnahme“ haben, d. h. wenn das wechselseitige Wegnehmen der kleineren Größe von der größeren, wie es beim Euklidischen Algorithmus gemacht wird, bei den ersten beiden Größen zu derselben Quotientenreihe führt wie bei den anderen beiden. ZEUTHEN, DYKSTERHUIS und BECKER haben diese Definition der Proportion aus einer Aristotelesstelle und der Erläuterung dazu bei Alexander von Aphrodisias herauspräpariert, und ihre Beweisführung scheint mir vollkommen überzeugend. Wir sehen jetzt aber, daß man sogar ohne die Aristotelesstelle unter ausschließlicher Berufung auf Euklid zu dem zwingenden Schluß kommen kann, daß Alexander recht hatte, wie er schrieb: „Es ist aber die Definition der Proportionalen, deren sich die Alten bedienten, folgende: In Proportion stehen Größen zueinander, denen dieselbe Wechselwegnahme (Anthyphairesis oder nach Aristoteles Antanairesis) zukommt.“

Diese Definition muß, wie wir jetzt sehen, auch der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ zugrunde gelegen haben; denn welche käme sonst in Betracht? Und in der Tat findet man einen Hinweis auf die Wechselwegnahme genau dort, wo man sie nach unserer Auffassung erwarten würde, nämlich am Anfang des X. Buches! Zwar wird dort der endliche oder unendliche Prozeß der Wechselwegnahme nicht zur Definition der Verhältnisgleichheit verwendet – das ging nicht, weil Euklid ja seinem System die Definition des Eudoxos zugrunde gelegt hatte – sondern als Kriterium, ob zwei Größen kommensurabel sind oder nicht, und als Methode, das größte gemeinsame Maß zweier kommensurabler Größen zu bestimmen.

Es leuchtet ein, daß diese Methode letzten Endes aus der Zahlentheorie stammt. Das ursprüngliche Problem, das sich in der Bruchrechnung ganz von selbst bietet, auch wenn man noch nichts von irrationalen Streckenverhältnissen ahnt, ist: Wie bestimme ich den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen? Die Lösung dieses Problems liefert das Verfahren der Wechselwegnahme der „Euklidische Algorithmus“, auf dem sich die Zahlentheorie des Buches VII aufbaut. Die Entdeckung dieses Verfahrens für Zahlen ist die erste Stufe in der Geschichte der Wechselwegnahme.

Die zweite Stufe besteht in der mechanischen Übertragung von den Zahlen auf andere Größen. Dieselbe Wechselwegnahme, die bei zwei Zahlen auf den größten gemeinsamen Teiler führt, ergibt zu zwei Strecken das größte gemeinsame Maß, falls es ein solches gibt (X 3). Auch auf musikalische Intervalle kann das Verfahren übertragen werden. Geht man etwa, wie es in einem vielbesprochenen Philolaosfragment geschieht, von der Oktave und der Quinte aus, so ist ihre Differenz die Quarte, die Differenz von Quinte und Quarte aber der Ganzton. Dieser kann zweimal von der Quarte abgezogen werden; als Rest bleibt der kleinere Halbton übrig. Zieht man diesen von dem Ganzton ab, so erhält man den größeren Halbton, und die Differenz des großen und kleinen Halbtones ist das Komma. Weiter wird das Verfahren im Philolaosfragment nicht fortgesetzt; was dann noch folgt, ist mathematisch wie musikalisch sinnlos.

Fig. 1

Dritte Stufe. Der zunächst mechanischen Übertragung des zahlentheoretischen Verfahrens der Wechselwegnahme auf die Geometrie mußte, nachdem man auf das Phänomen des Irrationalen gestoßen war, die Überlegung folgen: Zu was führt das Verfahren, wenn kein gemeinsames Maß existiert? Die Antwort war nicht schwer zu finden: Dann nimmt die Wechselwegnahme nie ein Ende. Zum Beispiel kann man die Seite eines Quadrates einmal auf die Diagonale übertragen, den Rest zweimal auf die Seite, den dann übrigbleibenden Rest wieder zweimal auf den ersten Rest, usw. Jeweils nach zwei Schritten wiederholt sich das Restverhältnis. Trägt man nämlich (Fig. 1) die Seite $AB$ auf die Diagonale $AC$ ab, so bleibt $CD$ übrig. Errichtet man nun in $D$ das Lot $DE$, so wird $CD=DE=EB$. Zieht man nun $BE=CD$ von $BC=AB$ zunächst einmal ab, so bleibt $CE$ als Rest, und das Verhältnis $CD:CE$ ist gleich dem ursprünglichen Verhältnis $AB:AC$. Also wiederholt sich das Verfahren ohne Ende.

Haben dagegen zwei Strecken ein gemeinsames Maß, so führt das Verfahren der Wechselwegnahme auf immer kleinere Vielfache dieses Maßes, muß also einmal abbrechen. Daraus folgt das

Irrationalitätskriterium X 2. Mißt, wenn man unter zwei ungleichen Größen abwechselnd immer die kleinere von der größeren wegnimmt, der Rest niemals genau die vorangehende Größe, so müssen die Größen inkommensurabel sein.

Dieses Kriterium wird bei Euklid niemals angewandt. Die Tatsache, daß es in den Euklidtext hineingeraten ist, deutet darauf hin, daß es einmal in einer Theorie des Irrationalen eine größere Rolle gespielt hat. In der Tat werden wir später wahrscheinlich machen, daß Theodoros von Kyrene mit Hilfe dieses Kriteriums die Nichtmeßbarkeit der Quadratseiten $w_3,w_5,\dots ,w_{17}$ nachgewiesen hat.

Vierte Stufe. Durch die Quotientenzahlen $q_1,q_2,\dots$, die angeben, wie oft die kleinere von zwei Größen sich von der größeren und der Rest von der kleineren (usw.) abziehen läßt, wird das Verhältnis der beiden Größen immer genauer bestimmt (vgl. das in Fußnote 11 behandelte Beispiel der Seiten- und Diagonalzahlen). Im Fall der Kommensurabilität kann man, wenn die Quotientenzahlen bekannt sind, sogar genau angeben, wie oft das gemeinsame Maß in den letzten Rest, den vorletzten usw. und schließlich in die gegebenen Größen aufgeht, also ist ihr Verhältnis in diesem Falle durch die Quotientenzahlen $q_1,q_2,\dots$ eindeutig bestimmt. Umgekehrt hängen die Quotientenzahlen (auch im inkommensurablen Fall) offensichtlich nur von dem Verhältnis der gegebenen Größen ab: proportionale Größen haben dieselben Quotientenzahlen.

Durch diese Überlegungen wird der Gedanke nahegelegt, die Gleichheit der Quotientenzahlen ganz allgemein zur Definition der Verhältnisgleichheit zu benutzen. Wer es war, der um die Jahrhundertwende diesen tiefsinnigen Gedanken zuerst erfaßt hat, wissen wir nicht; wir wissen aber, daß die Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ auf dieser Definition der Proportion aufgebaut war. Wir kennen auch (aus Aristoteles; siehe Fußnote 9) einen Beweis, der auf Grund dieser Definition der Proportion geführt wurde, nämlich den Beweis des Satzes, daß zwei Rechtecke auf derselben Basis dasselbe Verhältnis haben wie ihre Höhen: $ab:ac=b:c$.

Auf Grund dieses Rechtecksatzes können wir uns nun auch denken, in welcher Weise man die Vertauschung der Mittelglieder in einer Proportion, die ja nach Aristoteles „früher gesondert bewiesen wurde für Zahlen, Strecken, Körper und Zeiten“, im Fall der Strecken dargetan hat. Denn aus $a:b=c:d$ folgt nach dem Rechteckssatz $ac:bc=ac:ad$, daraus $bc=ad$, daraus wieder nach dem Rechteckssatz $a:c=ab:cb=ab:ad=b:d$. Bei diesem Beweis wird davon Gebrauch gemacht, daß aus $A:B=A:C$ folgt $B=C$. Diese kann man, wie BECKER gezeigt hat, mit Hilfe des Satzes X 1 beweisen. Und nun erklärt sich sehr schön, warum dieser Satz X 1, dessen wichtigste Anwendungen bei Euklid erst viel später kommen, am Anfang des X. Buches steht. Er wird zwar auch zu einem eleganten Beweis des Irrationalitätskriteriums X 2 gebraucht, aber dieses Kriterium kann man, wie wir oben gesehen haben, auch direkt beweisen. Der wahre Grund, warum der Satz X 1 am Anfang des X. Buches steht, scheint mir vielmehr der zu sein, daß er in der Begründung der Proportionenlehre, mit der die Darstellung der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ ursprünglich anfing, eine wesentliche Rolle gespielt hat. Wir haben ja schon früher (§ 2) bei der Analyse des X. Buches gesehen, daß dessen Verfasser die Eigentümlichkeit hat, manchmal Hilfssätze, die erst viel später gebraucht werden, ganz an den Anfang zu stellen: so ist X 14 nur ein Hilfssatz zu X 103–107, und X 17–18 werden erst bei X 54 und folgende gebraucht. So hat er auch den Satz X 1, der eigentlich erst zu dem Nachweis gebraucht wird, daß aus der Gleichheit der Vorderglieder einer Proportion die Gleichheit der Hinterglieder folgt, vor X 2–3 gestellt und den Beweis von X 2 auf X 1 gegründet. Kein Mathematiker würde jemals X 1 zum Beweis von X 2 erfinden; wohl aber kann man, wenn man X 1 einmal hat, ihn zu dem raffinierten Beweis von X 2, den wir bei Euklid vorfinden, benutzen.

Hat man einmal den Satz von der Vertauschung der Mittelglieder einer Proportion in der angegebenen Weise bewiesen, so bieten die übrigen Sätze der Proportionenlehre nach BECKER keine Schwierigkeit mehr.

Alle vier Stufen der Geschichte der Wechselwegnahme ließen sich durch gute alte Quellen belegen: die erste durch Euklid VII, die zweite durch X 3 und Philolaos, die dritte durch X 2, die vierte durch Aristoteles und X 1. Die Reihenfolge der vier Stufen ist durch die Entwicklung der Gedanken selbst vorgeschrieben.

Wir sind jetzt imstande, uns ein klares und nur in belanglosen Einzelheiten unsicheres Bild von dem Aufbau der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$, wie sie Platon bekannt war, zu machen.

Am Anfang standen die Definitionen der Kommensurabilität, der Wechselwegnahme und, darauf fußend, der Proportion. Der Begründung der Proportionenlehre wurde der Hilfssatz X 1 vorausgeschickt, dann folgten die Sätze X 2–3 über Wechselwegnahme und größtes gemeinsames Maß, das einzige, was uns bei Euklid von der Antanairesislehre übrig geblieben ist. Nun kam wahrscheinlich ein Abriß der Proportionenlehre, sofern diese nicht schon damals als bekannt vorausgesetzt werden konnte, was ich nicht beurteilen kann. Die Vertauschbarkeit der Mittelglieder einer Proportion wurde für Strecken etwa in der oben angegebenen Weise mittels X 1 bewiesen, für Flächen und Raumkörper aber nach der Andeutung des Aristoteles getrennt, vielleicht durch Zurückführung auf den entsprechenden Satz für Strecken.

Nun wurden die für die eigentliche Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ grundlegenden Begriffe quadriert kommensurabel, meßbar und quadriert meßbar eingeführt und die drei Hauptsätze der Theorie bewiesen, die wir oben gesperrt haben: X 5–6 für Strecken, X 9 für Quadratflächen und R für Rauminhalte. Über die Beweise dieser Sätze wissen wir nichts, als daß sie auf Grund der Definition der Verhältnisgleichheit durch die Wechselwegnahme geführt wurden und daher in der Euklidischen Redaktion durch andere ersetzt werden mußten. Aus X 9 wurde der im Dialog erwähnte Satz Q gefolgert. Dieser enthielt schon einen Existenzbeweis für nur quadriert meßbare Strecken. Vielleicht schloß sich daran noch ein Existenzbeweis für nicht quadriert meßbare Strecken (wie X 10). An X 5–6 konnten sich die einfachen Folgerungen X 11–13 knüpfen, an Satz R der zu Satz Q analoge Satz für Würfelkanten, der im Dialog durch die Schlußworte des Theaitetos: „Und ebenso bei den Rauminhalten“ angedeutet wird.

Der Autor des X. Buches hat aus dieser Theorie die Sätze herausgesucht, die im Hauptteil gebraucht werden, und ein späterer Redaktor hat diejenigen Beweise, die wesentlich auf der alten Definition der Proportion beruhten, durch andere ersetzt, die sich an die Theorie $A_P$ anlehnten. Jener Autor war ein hervorragender Mathematiker, der das Ganze, wie wir noch sehen werden, zu einer logisch wohldurchdachten Einheit gemacht hat, wohingegen der Redaktor der Beweise X 9–10 sich beträchtliche logische Mängel zuschulden hat kommen lassen. Wer war nun jener Autor?

§ 4. Der Urheber der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ und die Beziehung zum Hauptteil des X. Buches.

Wie H. VOGT in seiner wertvollen Studie ausführlich auseinandergesetzt hat, sind zwar die äußeren Umstände des Dialoges Theaitetos, insbesondere die Begegnung des alten Theodoros mit dem jungen Theaitetos, nicht als historische Wahrheit ernst zu nehmen, wohl aber die Abgrenzung der wissenschaftlichen Leistungen der Dramatis Personae. Man kann unmöglich annehmen, daß Plato seinen gefallenen Freund Theaitetos, dem zu Ehren der Dialog geschrieben ist, mit fremden Federn hat schmücken wollen. Was dieser also als Ergebnis seiner eigenen Überlegungen mitteilt und scharf gegen das, was Theodoros ihm vorgetragen hat, abgrenzt, muß ihm auch wirklich angehören.

Als Bestätigung kommt noch das bekannte Scholion hinzu, das den Satz X 9 dem Theaitetos zuschreibt. Ich nehme an, daß der Scholiast aus einer Quelle schöpft (vielleicht einem Theaitetos-Kommentar), die eine die Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ enthaltende Arbeit unter dem Namen des Theaitetos gekannt hat. Diese Arbeit, vielleicht eine Jugendschrift des Theaitetos, wäre demnach getrennt vom Hauptteil des X. Buches veröffentlicht worden. Jedoch wollen wir diese unsicheren Vermutungen nicht weiter ausspinnen.

Daß Theaitetos selbst der Urheber der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ ist, wird noch bestätigt durch die Beziehung dieser Theorie zu ihrer Fortsetzung und Erweiterung im X. Buch. Denn die Sätze 14–16 dieses Buches, die, wie wir gesehen haben, bereits zum Hauptteil gehören, schließen sich ganz logisch an 11–13 und frühere Sätze an. Die Sätze X 11 und X 14 fangen sogar fast mit denselben Worten an. Der Stil der Beweise ist ganz derselbe: der gleiche Geist scharfer Logik ist in allen zu erkennen. Auf die eigentümliche Art des Verfassers, Hilfssätze nicht dort zu bringen, wo sie gebraucht werden und wo ihr Zweck einleuchtet, sondern viel weiter vorne, haben wir schon hingewiesen.

Nun könnte man noch einwenden, daß das alles vielleicht eine nachträgliche Glättung, das Werk eines Redaktors sein könne. Was aber entscheidet, ist, daß nicht nur die äußere Form, sondern auch die Beweismethoden übereinstimmen, daß im ganzen Buch X mit Flächen und Strecken nach den Methoden der geometrischen Algebra gerechnet wird, und vor allem, daß die Grundidee der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$: irrationale Strecken zu benennen und zu unterscheiden durch Benennung und Unterscheidung der auf sie errichteten Quadrate, sich durch das ganze X. Buch hindurchzieht. Die Irrationalität der Binomiale z. B. wird dadurch bewiesen, daß ihr Quadrat irrational ist; ebenso wird die Verschiedenheit der 13 Hauptgattungen von Irrationalitäten durch die Verschiedenheit ihrer Quadrate begründet.

Die Identität der Urheber dieser beiden Teile des X. Buches ist also unverkennbar. Nun sind aber Mediale, Binomiale und Apotome nach dem Zeugnis des Eudemos Erfindungen des Theaitetos, der sie mit den drei Mitteln in Beziehung gesetzt hat. Also muß auch die Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$ von Theaitetos herrühren.

Sollte man nach diesem übereinstimmenden Zeugnis der besten Quellen immer noch zweifeln und wie REIDEMEISTER (l. c.) den Verdacht äußern, „daß Theätet der Mathematiker nur eine Legende ist, die sich um den Theätet des platonischen Dialoges kristallisiert hat“, so kann dieser Verdacht sofort entkräftet werden durch den Hinweis auf das Scholion zu Euklid XIII, das die Erfindung des Oktaeders und des Ikosaeders dem Theaitetos zuschreibt. Dieses Scholion kann in keiner Weise aus dem Platonischen Dialog hergeleitet werden, denn dort steht kein Wort über die regulären Körper. Ergänzend kommt noch die (wiederum unabhängige) Mitteilung des „Suidas“ hinzu, daß Theaitetos als erster die sogenannten fünf Körper konstruierte. Denkt man bei diesen Konstruktionen, wie es naheliegt, an die kunstvolle Herstellung der 5 regulären Körper in Euklid XIII, bei der die Begriffe Minor und Apotome aus Buch X benutzt werden, so erhält man einen weiteren, von allen Theaitetoskommentaren völlig unabhängigen Hinweis auf die Beziehung des Theaitetos zum Buche X. Wie man da noch zweifeln kann, ist mir ein Rätsel. Auch im Beweisstil sind Ähnlichkeiten zwischen dem X. und XIII. Buch nachweisbar, aber das auszuführen, würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen.

Derjenige, der die Beweise von X 9–10 durch neue ersetzt hat, um so den Anfang des X. Buches mit der Eudoxischen Proportionenlehre in Einklang zu bringen, wird wohl Euklid selbst gewesen sein. Denn wir haben gesehen,

daß diese neuen Beweise mit der Sectio canonis, die auch auf Euklids Namen steht, sprachlich verwandt sind. Derselbe Euklid wird wohl auch die Sätze X 1–6 für allgemeine Größen formuliert haben, statt für Strecken. So bestätigt sich die Mitteilung des Proklos, daß Eukleides, der die Elemente zusammenbrachte, vieles von Eudoxos zusammengeordnet und vieles von Theaitetos vollendet habe.

§ 5. Theodoros von Kyrene und das Irrationalitätskriterium X 2.

Die vierte Stufe in der Entwicklung der Idee der Wechselwegnahme fanden wir in der Theorie $\mathrm{\Theta }ϵ$, die der Theaitetos des Dialoges für sich in Anspruch nimmt. Wollen wir über die vorangehende Stufe etwas mehr erfahren, so müssen wir zuhören, was er über seinen Lehrer Theodoros sagt:

Περὶ δυνάμεών τι ἡμῖν Θεόδωρος ὅδε ἔγραφε, τῆς τε τρίποδος πέρι καὶ πεντέποδος ἀποφαίνων ὅτι μήκει οὐ ξύμμετροι τῇ ποδιαίᾳ, καὶ οὕτω κατὰ μίαν ἑκάστην προαιρούμενος μέχρι τῆς ἑπτακαιδεκάποδος. ἐν δὲ ταύτῃ πως ἐνέσχετο.

Unser Theodoros hier zeichnete etwas auf Quadratseiten Bezügliches und machte bei der dreifüßigen und fünffüßigen klar, daß sie nicht linear kommensurabel sind zu der einfüßigen; so nahm er jede einzeln heraus bis zu der 17-füßigen. Bei dieser wurde er irgendwie aufgehalten.

Hier ist δύναμις nicht, wie in der späten mathematischen Literatur, mit „Quadrat“ zu übersetzen, sondern es handelt sich um Strecken, die Quadrate erzeugen (δύνανται). Das geht nicht nur aus dem Ausdruck μήκει σύμμετρος hervor, der nur auf Strecken anwendbar ist und bei Platon dieselbe Bedeutung hat wie bei Euklid, sondern auch aus der Fortsetzung des Textes, wo Theaitetos gewisse Strecken δυνάμεις nennt. Sprachlich erscheint es durchaus möglich, unter der Macht oder Kraft, die ein Quadrat hervorbringt, die Quadratseite zu verstehen. Später hat man, sprachlich weniger korrekt, unter δύναμις das hervorgebrachte Quadrat verstanden. – Die „dreifüßige“ Quadratseite ist die, deren Quadrat eine Fläche von 3 Quadratfuß hat, d. h. die Strecke $w_3$. Theodoros hat also $w_3,w_5$ usw. bis $w_{17}$ einzeln durchgenommen und gezeigt, daß sie mit $w_1$ nicht kommensurabel sind. Theaitetos hat sich daraufhin überlegt, daß es doch unendlich viele Quadratseiten $w_n$ gibt, die man durch einen allgemeinen Begriff erfassen müßte. Das Ergebnis dieser Überlegung kennen wir schon (§ 2).

Daraus, daß Theodoros mit $w_3$ und nicht mit $w_2$ angefangen hat, hat schon ZEUTHEN geschlossen, daß die Irrationalität von $w_2$ schon früher bekannt war. In der Tat haben wir im I. Teil dieser Arbeit gesehen, daß Plato und Aristoteles mehrfach auf einen damals offenbar allgemein bekannten Beweis für die Irrationalität der Quadratdiagonale $w_2$ anspielen und daß das methodische Hilfsmittel zu diesem Beweis: die Lehre vom Geraden und Ungeraden, schon um die Mitte des 5. Jahrhunderts vorhanden war.

Mit welcher Methode hat nun Theodoros $w_3,w_5,\dots ,w_{17}$ untersucht?

Eine Möglichkeit müssen wir ausscheiden, nämlich daß Theodoros die Nichtmeßbarkeit von $w_n$ auf die Unmöglichkeit der Gleichung $p^2=n\cdot q^2$ zurückgeführt und diese Gleichung dann weiter zahlentheoretisch behandelt hat. Denn erstens ist zu dieser Zurückführung, wie wir gesehen haben, ein Satz wie X 9 erforderlich, der die Beziehung zwischen der geometrischen Figur und der Zahlengleichung $p^2=n\cdot q^2$ vermittelt, und diesen Satz hat erst Theaitetos bewiesen; zweitens war Theodoros nach allen Zeugnissen Geometer und kein Zahlentheoretiker, und drittens wäre bei dieser Methode kein einziger Grund vorhanden, bei 17 aufzuhören: gestatten doch die Teilbarkeitssätze des Buches VII, die zur Zeit des Theodoros sicherlich schon vorhanden waren, ohne weiteres eine allgemeine Entscheidung der Möglichkeit der Gleichung $p^2=n\cdot q^2$.

Aus ähnlichen Gründen kommt auch eine Anwendung der Theorie $A_P$ für Theodoros nicht in Frage.

Zwei Hypothesen sind aufgestellt worden, die beide das Abbrechen bei $w_{17}$ befriedigend erklären, nämlich von ZEUTHEN und ANDERHUB. Beide gehen von der Annahme aus, daß Theodoros das Irrationalitätskriterium X 2 verwendet hat, das ZEUTHEN deswegen auch als „le critère de Théodore“ bezeichnet.

Fig. 2.

ZEUTHEN nimmt an, daß Theodoros die Inkommensurabilität der Strecken $w_1$ und $w_n$ wirklich bewiesen hat, indem er zeigte, daß bei der gegenseitigen Wegnahme das Streckenverhältnis sich nach einigen Schritten wiederholt, ähnlich wie wir das in § 3 bei der Quadratdiagonale gesehen haben. ANDERHUB weist demgegenüber auf das von Platon gebrauchte Verbum ἀποφαίνω hin, das nicht notwendig „beweisen“, sondern nur „aufzeigen“, „klar machen“ heißt. Nach seiner Annahme hat Theodoros die Wechselwegnahme nur soweit durchgeführt, als es bei der beschränkten Genauigkeit einer Sandrechnung möglich war, und konnte dann jedesmal noch einen kleinen übrig bleibenden Rest „aufzeigen“. Bei ZEUTHEN ist also, modern ausgedrückt, die Periodizität der Kettenbruchentwicklungen für $\sqrt{3},\sqrt{5}$, usw. bis $\sqrt{17}$ maßgebend, und das Aufhören bei $\sqrt{17}$ erklärt sich einfach daraus, daß der Kettenbruch für $\sqrt{19}$ eine sechsgliedrige Periode hat, das Verfahren also bei $w_{19}$ sehr langwierig wird, während $w_{18}=3\cdot w_2$ uninteressant ist. ANDERHUB dagegen erklärt das Aufhören bei $\sqrt{17}$ so, daß Theodoros die Strecken $w_2,w_3,\dots ,w_{17}$ sukzessiv nach Pythagoras konstruiert habe (siehe Fig. 2), wobei durch die schneckenartige Drehung der Figur die Strecke $w_{17}$ ganz in die Nähe der Ausgangsstrecke $w_1$ kam, wodurch Theodoros, wie Platon es so treffend ausdrückt, „aufgehalten wurde“.

Gegen die ZEUTHENsche Erklärung hat K. v. FRITZ geltend gemacht, das Kettenbruchverfahren sei so langwierig, daß Theodoros es kaum für $\sqrt{3}$ bis $\sqrt{17}$ in einer Schulstunde durchgeführt haben könnte, wie Platon dies voraussetzt. ANDERHUB fügt noch hinzu, daß Theodoros die mathematischen Voraussetzungen dazu nicht hatte, die erst Eudoxos in die Mathematik einführte. Um beiden Einwänden zu begegnen, werde ich jetzt ein Beweisverfahren angeben, das ganz im Rahmen der geometrischen Algebra verläuft und das Theodoros sehr wohl in einer Unterrichtsstunde vor einem so hervorragend begabten und interessierten Hörerkreis hätte vorführen können.

Es sei $e$ die Einheitsstrecke und $w$ eine von den Strecken $w_3,w_5,\dots ,w_{17}$. Wir ziehen $e$ so oft es geht von $w$ ab und ersetzen dann $e$ und den Rest durch zwei Strecken im gleichen Verhältnis, weil es für die Fortsetzung des Verfahrens nur auf das Verhältnis ankommt. Dann ziehen wir wieder die kleinere der beiden Strecken so oft als möglich von der größeren ab, usw. bis das Verhältnis sich wiederholt. Aus der Wiederholung folgt dann, daß das Verfahren kein Ende nimmt, mithin die Ausgangsstrecken $e$ und $w$ inkommensurabel sind.

1. Fall: $w_3$. Die Strecke $e$ läßt sich einmal von $w$ abziehen: Rest $w-e$. Die Strecken $e$ und $w-e$ ersetzen wir durch die zu ihnen proportionalen $w+e$ und $2e$. Es gilt nämlich, wie wir nachher geometrisch beweisen werden, die Proportion

(1) $e:(w-e)=(w+e):2e$.

Die Strecke $2e$ läßt sich einmal von $w+e$ abziehen: Rest $w-e$. Nun werden $2e$ und $w-e$ wieder durch proportionale Strecken ersetzt:

(2) $2e:(w-e)=(w+e):e$.[20]

Die Strecke $e$ läßt sich zweimal von $w+e$ abziehen: Rest $w-e$. Das Verhältnis $e:(w-e)$ kam in (1) schon einmal vor, womit der Kreis geschlossen ist.

Fig. 3.

Die Proportionen (1) und (2) aber folgen beide aus der Flächengleichheit

$e\cdot 2e=(w-e)(w+e),$

die ohne weiteres nach Euklid II 6 bewiesen werden kann, indem man die „Gnomonfläche“ $ABCDEF=2e^2$, die Differenz des dreifüßigen Quadrates $w^2$ und des einfüßigen Quadrates $e^2$, in ein Rechteck $HC$ mit Seiten $w-e$ und $w+e$ verwandelt.

2. Fall: $w_5$. Die Einheitsstrecke $e$ läßt sich zweimal von $w$ abziehen: Rest $w-2e$. Nun ist, wieder nach II 6,

$e:(w-2e)=(w+2e):e.$

Die Strecke $e$ läßt sich viermal von $w+2e$ abziehen: Rest $w-2e$. Das Verhältnis $e:(w-2e)$ wiederholt sich.

3. Fall: $w_6$ wird genau so behandelt wie $w_3$:

$e:(w-2e)=(w+2e):2e.$

$2e$ läßt sich zweimal von $w+2e$ abziehen; Rest $w-2e$.

$2e:(w-2e)=(w+2e):e.$

$e$ läßt sich viermal von $w+2e$ abziehen: Rest $w-2e$. Das Verhältnis $e:(w-2e)$ wiederholt sich.

4. Fall: $w_7$. Hier braucht man 4 Proportionen, bis das Verhältnis $e:(w-2e)$ sich wiederholt:

$e:(w-2e)=(w+2e):3e$ $3e:(w-e)=(w+e):2e$ $2e:(w-e)=(w+e):3e$ $3e:(w-2e)=(w+2e):e.$

So geht es weiter. Bei $w_{13}$ braucht man sogar 5 Proportionen. $w_{17}$ ist wiederum ebenso einfach wie $w_5$.

Der nächste interessante Fall $w_{19}$ würde 6 Proportionen beanspruchen: wollte also Theodoros seinen Vortrag nicht über Gebühr ausdehnen, so tat er gut daran, bei $w_{17}$ aufzuhören. Vielleicht wurde er auch durch einen äußeren Grund „irgendwie aufgehalten“.

Es wäre leicht, die modernen Bezeichnungen $w-e$, $w+e$ usw. durch antike zu ersetzen, die bei schriftlicher Fixierung zwar komplizierter ausfallen

Fig. 4

würden, nicht aber beim mündlichen Vortrag, wo man auf die Strecken hinzeigen kann und sie nicht mit je zwei Buchstaben zu benennen braucht. Die Umformung von $(w-e)(w+e)$ mittels der Gnomone war schon den Pythagoreern, den Erfindern der geometrischen Algebra, bekannt.

Ich behaupte nicht im Ernst, daß Theodoros wirklich so verfahren ist wie hier angegeben. Ich habe nur zeigen wollen, daß die ZEUTHENsche Hypothese nichts Unmögliches enthält. Daneben bleibt immer auch noch die Hypothese von ANDERHUB, die durch Platons Worte „er wurde irgendwie aufgehalten“ gestützt wird, sehr gut möglich, obwohl es mir immer noch nicht recht einleuchten will, daß Platon eine bloße Zeichnung und eine daran anschließende heuristische Betrachtung, die in Wahrheit nichts beweist, als erheblichen Beitrag zur Theorie des Irrationalen gewertet haben soll. Da waren doch die Ansprüche an die Exaktheit geometrischer Beweisführungen damals schon zu hoch, wie das berühmte Hippokratesfragment über die Quadratur der Mondchen, in dem sogar anschaulich evidente Ungleichungen zwischen Strecken in aller Form bewiesen werden, deutlich zeigt.

Recht gut gesichert scheint mir aber, daß Theodoros zum Nachweis der Nichtmeßbarkeit von $w_3,w_5,\dots ,w_{17}$ das Kriterium X 2 angewandt hat.

NACHTRAG 1963

zur Arbeit „Die Arithmetik der Pythagoreer II“

Die von mir in der Übersetzung der beiden Theaitetosfragmente verwendete Übersetzung von δυνάμεις, nämlich „Quadratseiten“, ist nicht haltbar, wie ÁRPÁD SZABÓ in einer 1963 erschienenen Arbeit „Der mathematische Begriff δύναμις und das sog. geometrische Mittel“, in der Zeitschrift MAIA, N. S. 15, S. 219 nachgewiesen hat. Es soll „Quadrate“ heißen.

B. L. van der Waerden