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mehrwertige Logiken

aus AufEinWort, der freien Forschung

mehrwertige Logik-en

▷ mehrwertige Logik Mehrwertige Logik ist ein Oberbegriff für alle logischen Systeme, die mehr als zwei Wahrheitswerte verwenden.

Ausgangspunkt für die Entwicklung mehrwertiger Logiken war die erkenntnistheoretische Frage, ob dem Prinzip der Zweiwertigkeit außerlogische Wahrheit zukommt. Für Aussagen über die Zukunft stellt bereits Aristoteles diese Frage, indem er argumentiert, dass die Wahrheit einer Aussage wie „Morgen wird eine Seeschlacht stattfinden“ erst am Abend des morgigen Tages feststehen wird und dass sie bis zu diesem Zeitpunkt noch als unbestimmt und damit als kontingent möglich betrachtet werden muss.[1]

Die erste im modernen Sinn formalisierte mehrwertige Logik ist die im Jahre 1920 von Jan Łukasiewicz vorgestellte dreiwertige Logik L3. Ihre drei Wahrheitswerte interpretiert Łukasiewicz unter Berufung auf das Seeschlacht-Beispiel des Aristoteles als „wahr“, „falsch“ und – für zukünftige Aussagen, deren Wahrheit noch nicht feststeht – „(kontingent) möglich“.

In neuerer Zeit haben mehrwertige Logiken im Bereich der Informatik hohe praktische Bedeutung gewonnen. Sie ermöglichen den Umgang mit der Tatsache, dass Datenbanken nicht nur eindeutig bestimmte, sondern auch unbestimmte, fehlende oder sogar widersprüchliche Informationen enthalten können.

Grundlagen mehrwertiger Logik

[✎]

Während mehrwertige Logik mit dem Prinzip der Zweiwertigkeit eines der beiden Grundprinzipien der klassischen Logikaufgibt, behält sie deren anderes Grundprinzip, das Extensionalitätsprinzip, bei: Der Wahrheitswert jeder zusammengesetzten Aussage ist weiterhin eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen bestimmt.[2]

Im Gegensatz zur klassischen Logik ist die Deutung der Wahrheitswerte bei mehrwertigen Logiken weniger natürlich vorgegeben. Es sind zahlreiche unterschiedliche Interpretationen vorgeschlagen worden. Aus diesem Grund und weil viele Deutungen, die mehr als zwei Werte nicht als Abstufungen oder Arten von Wahrheit und Falschheit ansehen, sondern zum Beispiel epistemisch als Abstufung von Erkenntnis oder Gewissheit (zum Beispiel mit den drei Werten „als wahr bekannt“, „unbekannt“ und „als falsch bekannt“), werden die Werte mehrwertiger Logik häufig nicht als Wahrheitswerte, sondern als Pseudowahrheitswerte oder als Quasiwahrheitswerte[3] bezeichnet. Aus Gründen der Kompaktheit verwendet dieser Artikel dennoch durchgehend die Bezeichnung „Wahrheitswert“.

Neben dem Problem der Deutung der Wahrheitswerte stellen sich beim Umgang mit mehrwertiger Logik zahlreiche Aufgaben technischer Natur und es ergeben sich weitere Deutungsprobleme: Grundlegende Begriffe wie jener der Tautologie, jener der Kontradiktion oder jener der Folgerung müssen neu definiert und gedeutet werden.

Tautologien und designierte Wahrheitswerte
In der klassischen Logik sind Tautologien definiert als Aussagen, die immer (das heißt ungeachtet dessen, wie die in ihnen auftretenden atomaren Aussagen bewertet werden) wahr sind. Um den Begriff „Tautologie“ für die mehrwertige Logik nutzbar zu machen, muss man einen oder mehrere der Pseudowahrheitswerte auszeichnen. Der Begriff „Tautologie“ lässt sich dann an die mehrwertige Logik anpassen, indem man all jene Aussagen als Tautologien bezeichnet, die stets, das heißt unter jeder Bewertung, einen der ausgezeichneten Wahrheitswerte annehmen. Diese ausgezeichneten Wahrheitswerte nennt man auch designierte Wahrheitswerte.[4]
Kontradiktion und negativ designierte Wahrheitswerte
Will man den Begriff „Kontradiktion“ auf die mehrwertige Logik ausdehnen, so hat man dazu zwei Möglichkeiten: Man kann einerseits einen oder mehrere der Wahrheitswerte negativ hervorheben und dann all jene Aussagen als Kontradiktionen bezeichnen, die immer – das heißt unter jeder Bewertung – einen negativ designierten Wahrheitswert liefern. Andererseits kann man eine Aussage als Kontradiktion bezeichnen, deren Negation eine Tautologie ist. Vorausgesetzt wird dabei, dass eine geeignete Negation zur Verfügung steht und geklärt ist, welche der mehrwertigen Negationen für diesen Zweck geeignet ist.
Folgerung
Mit Hilfe des Konzepts der designierten Wahrheitswerte lässt sich der Folgerungsbegriff analog zu jenem der klassischen Logik leicht auf mehrwertige Logik ausdehnen: Ein Argument ist demnach genau dann gültig, wenn unter allen Bewertungen, unter denen alle Prämissen des Arguments designierte Wahrheitswerte annehmen, auch seine Konklusion einen designierten Wahrheitswert annimmt.

Anwendung mehrwertiger Logiken

[✎]

In der Hardwareentwicklung von Logikschaltungen werden mehrwertige Logiken zur Simulation eingesetzt, um verschiedene Zustände darzustellen sowie Tri-State-Gatter und Busse zu modellieren. In der Hardwarebeschreibungssprache VHDL wird zum Beispiel oft die im IEEE-Standard mit der Nummer 1164 definierte neunwertige Logik verwendet, die Standard Logic 1164. Sie hat die Werte

  1. U undefiniert
  2. X unbekannt (starker Treiber)
  3. 0 logische Null (starker Treiber)
  4. 1 logische Eins (starker Treiber)
  5. Z hochohmig (hohe Impedanz Z)
  6. W unbekannt (schwacher Treiber)
  7. L logische Null low (schwacher Treiber)
  8. H logische Eins high (schwacher Treiber)
  9. – unwichtig don’t care

Standard Logic 1164, eine neunwertige Logik zur Hardwaresimulation

In einer realen Schaltung treten nur 1, 0 und (bei Ein-/Ausgängen) Z auf. In der Simulation tritt der Zustand U bei Signalen auf, denen bisher noch kein anderer Wert zugewiesen wurde. Der Wert - (Don’t-Care, wird außerhalb von VHDL oft mit Xdargestellt) dient nur zur Synthese; er signalisiert dem Übersetzungsprogramm, dass ein bestimmter Zustand nicht vorgesehen ist und es daher egal ist, wie die synthetisierte Schaltung mit diesem Zustand umgeht.

Die Unterscheidung zwischen starken und schwachen Treibern dient dazu, in einem Konfliktfall (wenn zwei Ausgänge auf eine einzige Leitung zusammengeschaltet sind und verschiedene Werte liefern) zu entscheiden, welches Signal der entsprechenden Leitung zugeschrieben wird. Dieser Konflikt tritt oft bei Bussystemen auf, wo mehrere Busteilnehmer gleichzeitig anfangen, Daten zu senden. Trifft nun eine 1 (stark) auf ein L (schwach), so setzt sich das starke Signal durch, und der Signalleitung wird der Wert 1 zugeschrieben. Treffen jedoch gleich starke Signale aufeinander, so geht die Signalleitung in einen undefinierten Zustand. Diese Zustände sind X (bei Konflikt zwischen 1 und 0) und W (bei Konflikt zwischen H und L).

Abgrenzung

[✎]

Mehrwertige Logiken werden oft unter metaphysischen oder erkenntnistheoretischen Fragestellungen diskutiert. Darunter fällt z. B. die häufig gestellte Frage, welches logische System „stimmt“, d. h. welches logische System die Wirklichkeit richtig (oder besser: am besten) beschreibt. Unterschiedliche philosophische Strömungen geben auf diese Frage unterschiedliche Antworten; einige Strömungen, z. B. der Positivismus, lehnen gar die Fragestellung an sich als sinnlos ab.

Literatur

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Einzelnachweise

[✎]
  1. Aristoteles, De interpretatione c. 9., zitiert nach Ewald Richter: Logik, mehrwertige. In: Historisches Wörterbuch der Philosophie. Band 5, S. 444
  2. Quelle für diesen und die folgenden Absätze ist Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Kapitel 2.1 „Grundprinzipien der mehrwertigen Logik“, S. 19 f. (siehe Literaturliste)
  3. Lothar Kreiser, Siegfried Gottwald, Werner Stelzner: Nichtklassische Logik: Eine Einführung. Akademie-Verlag, Berlin 1990, ISBN 978-3-05-000274-3, S. 19.
  4. Diese und die folgenden Definitionen folgen insbesondere Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Kapitel 2.3.3 „Ausgezeichnete Quasiwahrheitswerte, Tautologien und Folgerungen“, Seite 32ff. (siehe Literaturliste)
  5. vgl. Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Seite 44 (siehe Literaturliste)
  6. Kurt Gödel: Zum intuitionistischen Aussagenkalkül. In: Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, 69, S. 65 f.
  7. Quelle für diese und die folgenden Informationen zu den Łukasiewicz-Logiken ist Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Seite 41ff. und Seite 45ff (siehe Literaturliste)
  8. Petr Hajek: Fuzzy Logic. In: Edward N. Zalta: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2009. (plato.stanford.edu)
  9. Дмитрий Анатольевич Бочвар: Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления. Математический сборник 46(1938)4, S. 287–308
  10. Siegfried Gottwald: Mehrwertige Logik. Eine Einführung in Theorie und Anwendung. Akademie-Verlag, Berlin 1989, S. 165 ff.
  11. Georg Gottlob: Mehrwertige Logik und Informatik. In: Franz Pichler (Hrsg.): Europolis 6. Informatik für Spiele und Verkehr. Extension der Mengenlehre. Universitätsverlag Trauner, Linz 2006, S. 396–405.
  12. von Sydow, M. (2016). Towards a Pattern-Based Logic of Probability Judgements and Logical Inclusion “Fallacies”. Thinking & Reasoning, 22(3), 297-335. [doi:10.1080/13546783.2016.1140678]
  13. von Sydow, M. (2011). The Bayesian Logic of Frequency-Based Conjunction Fallacies. Journal of Mathematical Psychology, 55, 2, 119-139. [doi:10.1016/j.jmp.2010.12.001
  14. von Sydow, M., & Fiedler, K. (2012). Bayesian Logic and Trial-by-trial Learning. Proceedings of the Thirty-Fourth Annual Conference of the Cognitive Science Society (pp. 1090–1095). Austin, TX: Cognitive Science Society.
  15. von Sydow, M. (2017). Rational Explanations of the Conjunction Fallacies – A Polycausal Proposal. Proceedings of the Thirty-Ninth Annual Conference of the Cognitive Science Society (pp. 3472-3477). Austin, TX: Cognitive Science Society.
▷ mehrwertige Logik Mehrwertige Logik ist ein Oberbegriff für alle logischen Systeme, die mehr als zwei Wahrheitswerte verwenden.

Ausgangspunkt für die Entwicklung mehrwertiger Logiken war die erkenntnistheoretische Frage, ob dem Prinzip der Zweiwertigkeit außerlogische Wahrheit zukommt. Für Aussagen über die Zukunft stellt bereits Aristoteles diese Frage, indem er argumentiert, dass die Wahrheit einer Aussage wie „Morgen wird eine Seeschlacht stattfinden“ erst am Abend des morgigen Tages feststehen wird und dass sie bis zu diesem Zeitpunkt noch als unbestimmt und damit als kontingent möglich betrachtet werden muss.[1]

Die erste im modernen Sinn formalisierte mehrwertige Logik ist die im Jahre 1920 von Jan Łukasiewicz vorgestellte dreiwertige Logik L3. Ihre drei Wahrheitswerte interpretiert Łukasiewicz unter Berufung auf das Seeschlacht-Beispiel des Aristoteles als „wahr“, „falsch“ und – für zukünftige Aussagen, deren Wahrheit noch nicht feststeht – „(kontingent) möglich“.

In neuerer Zeit haben mehrwertige Logiken im Bereich der Informatik hohe praktische Bedeutung gewonnen. Sie ermöglichen den Umgang mit der Tatsache, dass Datenbanken nicht nur eindeutig bestimmte, sondern auch unbestimmte, fehlende oder sogar widersprüchliche Informationen enthalten können.

Grundlagen mehrwertiger Logik

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Während mehrwertige Logik mit dem Prinzip der Zweiwertigkeit eines der beiden Grundprinzipien der klassischen Logikaufgibt, behält sie deren anderes Grundprinzip, das Extensionalitätsprinzip, bei: Der Wahrheitswert jeder zusammengesetzten Aussage ist weiterhin eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen bestimmt.[2]

Im Gegensatz zur klassischen Logik ist die Deutung der Wahrheitswerte bei mehrwertigen Logiken weniger natürlich vorgegeben. Es sind zahlreiche unterschiedliche Interpretationen vorgeschlagen worden. Aus diesem Grund und weil viele Deutungen, die mehr als zwei Werte nicht als Abstufungen oder Arten von Wahrheit und Falschheit ansehen, sondern zum Beispiel epistemisch als Abstufung von Erkenntnis oder Gewissheit (zum Beispiel mit den drei Werten „als wahr bekannt“, „unbekannt“ und „als falsch bekannt“), werden die Werte mehrwertiger Logik häufig nicht als Wahrheitswerte, sondern als Pseudowahrheitswerte oder als Quasiwahrheitswerte[3] bezeichnet. Aus Gründen der Kompaktheit verwendet dieser Artikel dennoch durchgehend die Bezeichnung „Wahrheitswert“.

Neben dem Problem der Deutung der Wahrheitswerte stellen sich beim Umgang mit mehrwertiger Logik zahlreiche Aufgaben technischer Natur und es ergeben sich weitere Deutungsprobleme: Grundlegende Begriffe wie jener der Tautologie, jener der Kontradiktion oder jener der Folgerung müssen neu definiert und gedeutet werden.

Tautologien und designierte Wahrheitswerte
In der klassischen Logik sind Tautologien definiert als Aussagen, die immer (das heißt ungeachtet dessen, wie die in ihnen auftretenden atomaren Aussagen bewertet werden) wahr sind. Um den Begriff „Tautologie“ für die mehrwertige Logik nutzbar zu machen, muss man einen oder mehrere der Pseudowahrheitswerte auszeichnen. Der Begriff „Tautologie“ lässt sich dann an die mehrwertige Logik anpassen, indem man all jene Aussagen als Tautologien bezeichnet, die stets, das heißt unter jeder Bewertung, einen der ausgezeichneten Wahrheitswerte annehmen. Diese ausgezeichneten Wahrheitswerte nennt man auch designierte Wahrheitswerte.[4]
Kontradiktion und negativ designierte Wahrheitswerte
Will man den Begriff „Kontradiktion“ auf die mehrwertige Logik ausdehnen, so hat man dazu zwei Möglichkeiten: Man kann einerseits einen oder mehrere der Wahrheitswerte negativ hervorheben und dann all jene Aussagen als Kontradiktionen bezeichnen, die immer – das heißt unter jeder Bewertung – einen negativ designierten Wahrheitswert liefern. Andererseits kann man eine Aussage als Kontradiktion bezeichnen, deren Negation eine Tautologie ist. Vorausgesetzt wird dabei, dass eine geeignete Negation zur Verfügung steht und geklärt ist, welche der mehrwertigen Negationen für diesen Zweck geeignet ist.
Folgerung
Mit Hilfe des Konzepts der designierten Wahrheitswerte lässt sich der Folgerungsbegriff analog zu jenem der klassischen Logik leicht auf mehrwertige Logik ausdehnen: Ein Argument ist demnach genau dann gültig, wenn unter allen Bewertungen, unter denen alle Prämissen des Arguments designierte Wahrheitswerte annehmen, auch seine Konklusion einen designierten Wahrheitswert annimmt.

Anwendung mehrwertiger Logiken

[✎]

In der Hardwareentwicklung von Logikschaltungen werden mehrwertige Logiken zur Simulation eingesetzt, um verschiedene Zustände darzustellen sowie Tri-State-Gatter und Busse zu modellieren. In der Hardwarebeschreibungssprache VHDL wird zum Beispiel oft die im IEEE-Standard mit der Nummer 1164 definierte neunwertige Logik verwendet, die Standard Logic 1164. Sie hat die Werte

  1. U undefiniert
  2. X unbekannt (starker Treiber)
  3. 0 logische Null (starker Treiber)
  4. 1 logische Eins (starker Treiber)
  5. Z hochohmig (hohe Impedanz Z)
  6. W unbekannt (schwacher Treiber)
  7. L logische Null low (schwacher Treiber)
  8. H logische Eins high (schwacher Treiber)
  9. – unwichtig don’t care

Standard Logic 1164, eine neunwertige Logik zur Hardwaresimulation

In einer realen Schaltung treten nur 1, 0 und (bei Ein-/Ausgängen) Z auf. In der Simulation tritt der Zustand U bei Signalen auf, denen bisher noch kein anderer Wert zugewiesen wurde. Der Wert - (Don’t-Care, wird außerhalb von VHDL oft mit Xdargestellt) dient nur zur Synthese; er signalisiert dem Übersetzungsprogramm, dass ein bestimmter Zustand nicht vorgesehen ist und es daher egal ist, wie die synthetisierte Schaltung mit diesem Zustand umgeht.

Die Unterscheidung zwischen starken und schwachen Treibern dient dazu, in einem Konfliktfall (wenn zwei Ausgänge auf eine einzige Leitung zusammengeschaltet sind und verschiedene Werte liefern) zu entscheiden, welches Signal der entsprechenden Leitung zugeschrieben wird. Dieser Konflikt tritt oft bei Bussystemen auf, wo mehrere Busteilnehmer gleichzeitig anfangen, Daten zu senden. Trifft nun eine 1 (stark) auf ein L (schwach), so setzt sich das starke Signal durch, und der Signalleitung wird der Wert 1 zugeschrieben. Treffen jedoch gleich starke Signale aufeinander, so geht die Signalleitung in einen undefinierten Zustand. Diese Zustände sind X (bei Konflikt zwischen 1 und 0) und W (bei Konflikt zwischen H und L).

Abgrenzung

[✎]

Mehrwertige Logiken werden oft unter metaphysischen oder erkenntnistheoretischen Fragestellungen diskutiert. Darunter fällt z. B. die häufig gestellte Frage, welches logische System „stimmt“, d. h. welches logische System die Wirklichkeit richtig (oder besser: am besten) beschreibt. Unterschiedliche philosophische Strömungen geben auf diese Frage unterschiedliche Antworten; einige Strömungen, z. B. der Positivismus, lehnen gar die Fragestellung an sich als sinnlos ab.

Literatur

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Einzelnachweise

[✎]
  1. Aristoteles, De interpretatione c. 9., zitiert nach Ewald Richter: Logik, mehrwertige. In: Historisches Wörterbuch der Philosophie. Band 5, S. 444
  2. Quelle für diesen und die folgenden Absätze ist Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Kapitel 2.1 „Grundprinzipien der mehrwertigen Logik“, S. 19 f. (siehe Literaturliste)
  3. Lothar Kreiser, Siegfried Gottwald, Werner Stelzner: Nichtklassische Logik: Eine Einführung. Akademie-Verlag, Berlin 1990, ISBN 978-3-05-000274-3, S. 19.
  4. Diese und die folgenden Definitionen folgen insbesondere Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Kapitel 2.3.3 „Ausgezeichnete Quasiwahrheitswerte, Tautologien und Folgerungen“, Seite 32ff. (siehe Literaturliste)
  5. vgl. Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Seite 44 (siehe Literaturliste)
  6. Kurt Gödel: Zum intuitionistischen Aussagenkalkül. In: Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, 69, S. 65 f.
  7. Quelle für diese und die folgenden Informationen zu den Łukasiewicz-Logiken ist Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Seite 41ff. und Seite 45ff (siehe Literaturliste)
  8. Petr Hajek: Fuzzy Logic. In: Edward N. Zalta: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2009. (plato.stanford.edu)
  9. Дмитрий Анатольевич Бочвар: Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления. Математический сборник 46(1938)4, S. 287–308
  10. Siegfried Gottwald: Mehrwertige Logik. Eine Einführung in Theorie und Anwendung. Akademie-Verlag, Berlin 1989, S. 165 ff.
  11. Georg Gottlob: Mehrwertige Logik und Informatik. In: Franz Pichler (Hrsg.): Europolis 6. Informatik für Spiele und Verkehr. Extension der Mengenlehre. Universitätsverlag Trauner, Linz 2006, S. 396–405.
  12. von Sydow, M. (2016). Towards a Pattern-Based Logic of Probability Judgements and Logical Inclusion “Fallacies”. Thinking & Reasoning, 22(3), 297-335. [doi:10.1080/13546783.2016.1140678]
  13. von Sydow, M. (2011). The Bayesian Logic of Frequency-Based Conjunction Fallacies. Journal of Mathematical Psychology, 55, 2, 119-139. [doi:10.1016/j.jmp.2010.12.001
  14. von Sydow, M., & Fiedler, K. (2012). Bayesian Logic and Trial-by-trial Learning. Proceedings of the Thirty-Fourth Annual Conference of the Cognitive Science Society (pp. 1090–1095). Austin, TX: Cognitive Science Society.
  15. von Sydow, M. (2017). Rational Explanations of the Conjunction Fallacies – A Polycausal Proposal. Proceedings of the Thirty-Ninth Annual Conference of the Cognitive Science Society (pp. 3472-3477). Austin, TX: Cognitive Science Society.
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