pythagoräisches Quadrupel

Ein pythagoräisches Quadrupel^[1] ist ein Tupel von ganzen Zahlen $a, b, c, d \in ℤ$ , so dass gilt:

a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}

.

Es handelt sich dabei um die Lösungen einer diophantischen Gleichung. Meistens werden aber nur positive ganze Zahlen als Lösungen betrachtet.^[2]

Primitive pythagoräische Quadrupeln

Ein pythagoräisches Quadrupel $(a, b, c, d)$ heißt primitives pythagoräisches Quadrupel, wenn die Werte positiv ganzzahlig sind und der größte gemeinsame Teiler der vier Werte gleich 1 ist (wenn also $ggT (a, b, c, d) = 1$ gilt). Jedes pythagoräische Quadrupel ist ein ganzzahliges Vielfaches eines primitiven pythagoräischen Quadrupels.

Beispiel 1:

Das Tupel

(a, b, c, d) = (2, 3, 6, 7)

ist ein primitives pythagoräisches Quadrupel, weil

ggT (2, 3, 6, 7) = 1

ist und

2^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 7^{2} (= 49)

gilt.

Beispiel 2:

Das Tupel

(a, b, c, d) = (5 \cdot 2, 5 \cdot 3, 5 \cdot 6, 5 \cdot 7) = (10, 15, 30, 35)

ist kein primitives pythagoräisches Quadrupel, weil

ggT (10, 15, 30, 35) = 5 ≠ 1

ist, obwohl

1 0^{2} + 1 5^{2} + 3 0^{2} = 3 5^{2} (= 1225)

gilt.

Beispiele

Es gibt 31 primitive pythagoräische Quadrupel, bei denen alle Werte kleiner als 30 sind:

$a$	$b$	$c$	$d$	$a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}$
1	2	2	3	$1^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 3^{2}$
2	3	6	7	$2^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 7^{2}$
1	4	8	9	$1^{2} + 4^{2} + 8^{2} = 9^{2}$
4	4	7	9	$4^{2} + 4^{2} + 7^{2} = 9^{2}$
2	6	9	11	$2^{2} + 6^{2} + 9^{2} = 1 1^{2}$
6	6	7	11	$6^{2} + 6^{2} + 7^{2} = 1 1^{2}$
3	4	12	13	$3^{2} + 4^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}$
2	5	14	15	$2^{2} + 5^{2} + 1 4^{2} = 1 5^{2}$

$a$	$b$	$c$	$d$	$a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}$
2	10	11	15	$2^{2} + 1 0^{2} + 1 1^{2} = 1 5^{2}$
1	12	12	17	$1^{2} + 1 2^{2} + 1 2^{2} = 1 7^{2}$
8	9	12	17	$8^{2} + 9^{2} + 1 2^{2} = 1 7^{2}$
1	6	18	19	$1^{2} + 6^{2} + 1 8^{2} = 1 9^{2}$
6	6	17	19	$6^{2} + 6^{2} + 1 7^{2} = 1 9^{2}$
6	10	15	19	$6^{2} + 1 0^{2} + 1 5^{2} = 1 9^{2}$
4	5	20	21	$4^{2} + 5^{2} + 2 0^{2} = 2 1^{2}$
4	8	19	21	$4^{2} + 8^{2} + 1 9^{2} = 2 1^{2}$

$a$	$b$	$c$	$d$	$a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}$
4	13	16	21	$4^{2} + 1 3^{2} + 1 6^{2} = 2 1^{2}$
8	11	16	21	$8^{2} + 1 1^{2} + 1 6^{2} = 2 1^{2}$
3	6	22	23	$3^{2} + 6^{2} + 2 2^{2} = 2 3^{2}$
3	14	18	23	$3^{2} + 1 4^{2} + 1 8^{2} = 2 3^{2}$
6	13	18	23	$6^{2} + 1 3^{2} + 1 8^{2} = 2 3^{2}$
9	12	20	25	$9^{2} + 1 2^{2} + 2 0^{2} = 2 5^{2}$
12	15	16	25	$1 2^{2} + 1 5^{2} + 1 6^{2} = 2 5^{2}$
2	7	26	27	$2^{2} + 7^{2} + 2 6^{2} = 2 7^{2}$

$a$	$b$	$c$	$d$	$a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}$
2	10	25	27	$2^{2} + 1 0^{2} + 2 5^{2} = 2 7^{2}$
2	14	23	27	$2^{2} + 1 4^{2} + 2 3^{2} = 2 7^{2}$
7	14	22	27	$7^{2} + 1 4^{2} + 2 2^{2} = 2 7^{2}$
10	10	23	27	$1 0^{2} + 1 0^{2} + 2 3^{2} = 2 7^{2}$
3	16	24	29	$3^{2} + 1 6^{2} + 2 4^{2} = 2 9^{2}$
11	12	24	29	$1 1^{2} + 1 2^{2} + 2 4^{2} = 2 9^{2}$
12	16	21	29	$1 2^{2} + 1 6^{2} + 2 1^{2} = 2 9^{2}$

Aus diesen primitiven pythagoräischen Quadrupeln kann man beliebig viele weitere nicht-primitive pythagoräische Quadrupel bilden. Zum Beispiel kann man aus dem primitiven pythagoräischen Quadrupel $(a, b, c, d) = (1, 2, 2, 3)$ durch Multiplikation mit $2, 3, 4, \dots$ die nicht-primitiven pythagoräischen Quadrupel $(a, b, c, d) = (2, 4, 4, 6)$ , $(a, b, c, d) = (3, 6, 6, 9)$ , $(a, b, c, d) = (4, 8, 8, 12)$ etc. bilden.

Geometrische Deutung

Ein pythagoräisches Quadrupel $(a, b, c, d)$ definiert einen Quader mit ganzzahligen Seitenlängen $| a |, | b |$ und $| c |$ (wobei mit $| a |$ der Betrag von $a$ gemeint ist). Die Raumdiagonale dieses Quaders hat dann eine ganzzahlige Länge $| d |$ . Pythagoreische Quadrupel heißen deswegen auf Englisch auch Pythagorean boxes.^[3]

Eigenschaften von pythagoräischen Quadrupeln

Das pythagoräische Quadrupel mit dem kleinsten Produkt ist $(1, 2, 2, 3)$ .
Sei $a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}$ mit $a, b, c, d \in ℕ$ . Dann gilt:^[4]

Das Produkt

a b c d

ist immer durch

12

teilbar.

Eine größere Zahl, die dieses Produkt teilt, gibt es nicht, denn für das kleinste pythagoräische Quadrupel (also für

(a, b, c, d) = (1, 2, 2, 3)

) gilt

1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

. Somit kann es keine größere Zahl geben, die das Produkt teilt.

Erzeugung von pythagoräischen Quadrupeln

Methode 1:^[2]^[5]

Seien

(m, n, p, q)

positive ganze Zahlen. Dann kann die Menge der pythagoräischen Quadrupel mit ungeradem

a

wie folgt erzeugt werden:

\begin{matrix} a & = m^{2} + n^{2} - p^{2} - q^{2}, \\ b & = 2 (m q + n p), \\ c & = 2 (n q - m p), \\ d & = m^{2} + n^{2} + p^{2} + q^{2} \end{matrix}

Gelten zusätzlich die folgenden elf Bedingungen, dann kann damit die Menge von primitiven pythagoräischen Quadrupeln mit ungeradem

a

erzeugt werden.^[6]

\begin{matrix} n q > m p, & m^{2} + n^{2} > p^{2} + q^{2}, \\ m \geq 0, n \geq 1, p \geq 0, q \geq 1, & m + p \geq 1, \\ m + n + p + q \equiv 1 (\mod 2), & das heißt, m + n + p + q ist ungerade (also muss ein Wert oder müssen drei Werte gerade Zahlen sein) \\ g g T (m^{2} + n^{2}, p^{2} + q^{2}, m q + n p) = 1, \\ m = 0 ⟹ q \leq p, & p = 0 ⟹ n \leq m \end{matrix}

Alle primitiven pythagoräischen Quadrupel erfüllen somit die diophantische Gleichung

d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

, welche man auch Lebesguesche Identität nennt:^[7]^[8]

(m^{2} + n^{2} + p^{2} + q^{2})^{2} = (m^{2} + n^{2} - p^{2} - q^{2})^{2} + (2 m q + 2 n p)^{2} + (2 n q - 2 m p)^{2}

Beispiel 1:

Sei

m := 1, n := 7, p := 2

und

q := 5

. Dann sind alle zusätzlichen Bedingungen erfüllt und es ist

a = 21, b = 38, c = 66

und

d = 79

und tatsächlich ist

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 1^{2} + 3 8^{2} + 6 6^{2} = 7 9^{2} = d^{2} (= 6241)

ein primitives pythagoräisches Quadrupel.

Beispiel 2:

Sei

m := 2, n := 3, p := 5

und

q := 9

. Dann ist die zusätzliche Bedingung

m^{2} + n^{2} = 13 \overset{!}{>} 106 = p^{2} + q^{2}

zwar nicht erfüllt, es ist aber

a = - 93, b = 66, c = 34

und

d = 119

wegen

a^{2} + b^{2} + c^{2} = (- 93)^{2} + 6 6^{2} + 3 4^{2} = 11 9^{2} = d^{2} (= 14161)

trotzdem ein pythagoräisches Quadrupel, allerdings mit

a = - 93 < 0

.

Beispiel 3:

Sei

m := 1, n := 3, p := 1

und

q := 2

. Dann ist

a = 5, b = 10, c = 10

und

d = 15

und tatsächlich ist

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 5^{2} + 1 0^{2} + 1 0^{2} = 1 5^{2} = d^{2} (= 225)

. Allerdings ist dieses pythagoräische Quadrupel nicht primitiv, weil

ggT (a, b, c, d) = 5 ≠ 1

und die Bedingung

ggT (m^{2} + n^{2}, p^{2} + q^{2}, m q + n p) = 5 ≠ 1

ist.

Methode 2:

Alle pythagoräischen Quadrupel (inklusive der nicht-primitiven) können wie folgt aus zwei positiven ganzen Zahlen

a

und

b

erzeugt werden:

Sei die Parität von

a

und

b

verschieden (sei also entweder

a

gerade und

b

ungerade oder

a

ungerade und

b

gerade). Sei weiters

p

ein Faktor von

a^{2} + b^{2}

mit

p^{2} < a^{2} + b^{2}

. Dann gilt:

c = \frac{a^{2} + b^{2} - p^{2}}{2 p}

und

d = \frac{a^{2} + b^{2} + p^{2}}{2 p}

mit

p = d - c

Beispiel:

Sei

a := 2, b := 11

und

p := 5

. Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt und es ist

c = 10

und

d = 15

(und es ist

p = d - c

) und tatsächlich ist

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2^{2} + 1 1^{2} + 1 0^{2} = 1 5^{2} = d^{2} (= 225)

.

Methode 3:^[9]

Seien

a = 2 l

und

b = 2 m

gerade Zahlen. Sei außerdem

n

ein Teiler von

l^{2} + m^{2}

mit

n^{2} < l^{2} + m^{2}

. Dann gilt:

c = \frac{l^{2} + m^{2} - n^{2}}{n}

und

d = \frac{l^{2} + m^{2} + n^{2}}{n}

Diese Methode erzeugt alle pythagoräischen Quadrupel exakt ein Mal, wenn

l

und

m

alle Paare natürlicher Zahlen durchlaufen und

n

alle möglichen Werte für jedes Paar durchläuft.

Beispiel:

Sei

a := 14, b := 6

und

n := 2

. Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt,

l = 7

,

m = 3

und es ist

c = 27

und

d = 31

und tatsächlich ist

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 4^{2} + 6^{2} + 2 7^{2} = 3 1^{2} = d^{2} (= 961)

.

Es gibt kein pythagoräisches Quadrupel, bei dem mehr als eine der Zahlen $a$ , $b$ , $c$ ungerade ist.

Methode 4:

Sei

n

eine positive ganze Zahl. Dann kann ein pythagoräisches Quadrupel wie folgt erzeugt werden:

\begin{matrix} a & = n, \\ b & = n + 1, \\ c & = a b, \\ d & = c + 1 \end{matrix}

Beispiel:

Sei

n = a = 3

,

b = 4

und

c = 12

. dann ist

d = 13

, und tatsächlich ist

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3^{2} + 4^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2} = d^{2} (= 169)

.

Methode 5:

Seien

x, y, z

drei positive ganze Zahlen. Dann lässt sich ein pythagoräisches Quadrupel

(a, b, c, d)

wie folgt erzeugen:

\begin{matrix} a & = x^{2} - y^{2} - z^{2}, \\ b & = 2 x y, \\ c & = 2 x z, \\ d & = x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{matrix}

Beispiel:

Sei

x = 2

,

y = 1

und

z = 1

.

So ist $a = 2$ , $b = 4$ , $c = 4$ und $d = 6$ tatsächlich ein pythagoräisches Quadrupel, denn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2^{2} + 4^{2} + 4^{2} = 6^{2} = d^{2} (= 36)$ . Hierbei handelt es sich um das Doppelte des primitiven $(1, 2, 2, 3)$ Quadrupels.

Siehe auch

Weblinks

Robert D. Carmichael: Diophantine Analysis. Mathematical Monographs, 1915, S. 1–100, abgerufen am 18. Oktober 2019.
Eric W. Weisstein: Pythagorean Quadruple. Wolfram MathWorld, abgerufen am 18. Oktober 2019.

Einzelnachweise

↑ Zur Schreibweise: Im aktuellen Duden – Das große Wörterbuch der deutschen Sprache in zehn Bänden - ISBN 3-411-70360-1 wird das Adjektiv „pythagoräisch“ in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise „pythagoräisch“ als österreichische Sonderform bezeichnet.
↑ ^a ^b Robert Spira: The Diophantine Equation x²+y²+z²=m². The American Mathematical Monthly 69 (5), 1962, S. 360–365, abgerufen am 11. Oktober 2019.
↑ Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan: Pythagorean Boxes. Mathematics Magazine 74 (3), Juni 2001, S. 222–227, abgerufen am 11. Oktober 2019.
↑ Des MacHale, Christian van den Bosch: Generalising a result about Pythagorean triples. The Mathematical Gazette 96 (535), März 2012, S. 91–96, abgerufen am 11. Oktober 2019.
↑ Paul Oliverio: Self-Generating Pythagorean Quadruples and n-Tuples. Jefferson High School, Los Angeles, Dezember 1993, S. 98–101, abgerufen am 18. Oktober 2019.
↑ Robert Spira: The Diophantine Equation x²+y²+z²=m², Theorem 2. The American Mathematical Monthly 69 (5), 1962, S. 362, abgerufen am 11. Oktober 2019.
↑ Pythagorean Quadruple. GeeksforGeeks - A computer science portal for geeks, abgerufen am 11. Oktober 2019.
↑ Eric W. Weisstein: Lebesgue Identity. Wolfram MathWorld, abgerufen am 18. Oktober 2019.
↑ Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations: A Problem-Based Approach, Theorem 2.2.3. Birkhäuser, S. 79, abgerufen am 18. Oktober 2019.

[1] Zur Schreibweise: Im aktuellen Duden – Das große Wörterbuch der deutschen Sprache in zehn Bänden - ISBN 3-411-70360-1 wird das Adjektiv „pythagoräisch“ in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise „pythagoräisch“ als österreichische Sonderform bezeichnet.

[Spira-2] Robert Spira: The Diophantine Equation x²+y²+z²=m². The American Mathematical Monthly 69 (5), 1962, S. 360–365, abgerufen am 11. Oktober 2019.

[Suryanarayan-3] Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan: Pythagorean Boxes. Mathematics Magazine 74 (3), Juni 2001, S. 222–227, abgerufen am 11. Oktober 2019.

[Bosch-4] Des MacHale, Christian van den Bosch: Generalising a result about Pythagorean triples. The Mathematical Gazette 96 (535), März 2012, S. 91–96, abgerufen am 11. Oktober 2019.

[Oliverio-5] Paul Oliverio: Self-Generating Pythagorean Quadruples and n-Tuples. Jefferson High School, Los Angeles, Dezember 1993, S. 98–101, abgerufen am 18. Oktober 2019.

[Spira2-6] Robert Spira: The Diophantine Equation x²+y²+z²=m², Theorem 2. The American Mathematical Monthly 69 (5), 1962, S. 362, abgerufen am 11. Oktober 2019.

[Lebesgue-7] Pythagorean Quadruple. GeeksforGeeks - A computer science portal for geeks, abgerufen am 11. Oktober 2019.

[Lebesgue2-8] Eric W. Weisstein: Lebesgue Identity. Wolfram MathWorld, abgerufen am 18. Oktober 2019.

[Birkhäuser-9] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations: A Problem-Based Approach, Theorem 2.2.3. Birkhäuser, S. 79, abgerufen am 18. Oktober 2019.

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