regelmäßiges Polygon

Regelmäßige Polygone

Ein regelmäßiges Polygon, reguläres Polygon, regelmäßiges Vieleck, reguläres Vieleck oder Isogon (von griechisch ἴσος, gleich und γωνία, Winkel) ist in der Geometrie ein ebenes Polygon, das sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig ist. Bei einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Die Ecken eines regelmäßigen Polygons liegen alle auf einem gemeinsamen virtuellen oder realen Kreis, wobei benachbarte Ecken unter dem gleichen Mittelpunktswinkel erscheinen.

Regelmäßige Polygone können einfach oder überschlagen sein. Einfache regelmäßige Polygone sind stets konvex. Überschlagene regelmäßige Polygone lassen sich in einem Zug zeichnen und werden als reguläre Sternpolygone bezeichnet. Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen $n$-Ecks ist die Diedergruppe $D_n$, bestehend aus genau $n$ Drehungen und $n$ Spiegelungen.

Alle Kenngrößen regelmäßiger Polygone, wie die Länge der Diagonalen, der Umfang oder der Flächeninhalt, können mit Hilfe trigonometrischer Funktionen angegeben werden. Nicht alle regelmäßigen Polygone sind jedoch mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Regelmäßige Polygone werden unter anderem bei der Näherung der Kreiszahl $\pi$, für Parkettierungen, in der Architektur und als Münzform verwendet.

Definition

Ein Polygon mit den $n$ Seiten $a,b,c,\dots$ und den Innenwinkeln $\alpha ,\beta ,\gamma ,\dots$ heißt regelmäßig, wenn

$a=b=c=\cdots$   und   $\alpha =\beta =\gamma =\cdots$

gilt. In einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten zueinander kongruent und alle Winkel gleich groß.

Klassifikation

Man unterscheidet einfache und überschlagene regelmäßige Polygone. Alle einfachen regelmäßigen Polygone mit gleich viel Ecken sind zueinander ähnlich und werden in der kombinatorischen Geometrie mit dem Schläfli-Symbol $\{n\}$ bezeichnet. Um degenerierte Fälle auszuschließen, wird in der Regel $n\ge 3$ angenommen. Die ersten vier einfachen regelmäßigen Polygone sind:

• das gleichseitige Dreieck $\{3\}$,
• das Quadrat $\{4\}$,
• das regelmäßige Fünfeck $\{5\}$ und
• das regelmäßige Sechseck $\{6\}$.

Reguläre Sternpolygone weisen neben dem geschlossenen Polygonzug, auch eine größere Vielfalt an Formen auf. Sie werden mit dem Schläfli-Symbol $\{n/m\}$ bezeichnet, wobei $2\le m<n/2$ die Umlaufzahl des Polygons um seinen Mittelpunkt angibt. Die Umlaufzahl muss dabei teilerfremd zu $n$ sein, ansonsten entartet das Polygon. Die ersten drei regelmäßigen Sternpolygone sind:

• der Fünfstern $\{5/2\}$,
• die Siebensterne $\{7/2\}$ und $\{7/3\}$ sowie
• der Achtstern $\{8/3\}$.

Die Anzahl der verschiedenen Typen regelmäßiger Polygone mit $n$ Ecken ist demnach $\frac{1}{2}\phi (n)$, wobei $\phi$ die eulersche Phi-Funktion ist. Sind $n$ und $m$ nicht teilerfremd, werden mit dem Schläfli-Symbol $\{n/m\}$ Sterne bezeichnet, die aus mehreren regelmäßigen Polygonen zusammengesetzt sind. Beispiele sind das Hexagramm $\{6/2\}$ und das Oktagramm $\{8/2\}$.

Bezeichnungen regelmäßiger Polygone und weiterer Sternformen