Zahl

zahl ahd.-deu. 'Zahl; Monas'; —Nwf. Zagel 'Schwanz'

"Geteiltes", uig. ‘zielen, berechnen, nachstellen, listig schädigen, zählen, erzählen’;

• ‘Anzahl, Zählung, Rechnung’
• ‘Zahl, Anzahl, Aufzählung, Erzählung, Rede’
• ‘Sprache, Rede, Darlegung’;
• Geometrie "Mengen und Mengen-Zwischenräume, oder auf den Punkt gebracht: Punkte-Zwischenräume" (Urtext);
• Die Bedeutungen ‘Zahl, das Zählen’ und ‘Aufzählung, Erzählung, Rede, Sprache’
  • hätten sich dann in vorliterarischer Zeit aus ‘eingekerbtes Merkzeichen’ entwickelt.
• ‘der Mengenbestimmung dienende, durch Zählen gewonnene Größe, Ziffer, Zahlzeichen, Anzahl, Menge, (lat. numerus)’;
  • auf der Grundeinheit Eins basierender Mengenbegriff;
  • für eine Zahl stehende Ziffer, Folge von Ziffern, Zahlzeichen;
  • durch ein bestimmtes Zeichen oder eine Verbindung von Zeichen darstellbarer Begriff,
    • mit dessen Hilfe Berechnungen durchgeführt werden können; Anzahl, Menge;
• uig. —Ww. *del-, '*dol-, ‘zielen, berechnen, nachstellen, listig schädigen, zählen, erzählen’;
• ger. *talō ,
• ger. *tala-;
• ahd. zala (8. Jh.),
• mhd. zal, zale ‘Zahl, Anzahl, Aufzählung, Erzählung, Rede’,
• asächs. tala,
• mnd. tal ‘Zahl, Anzahl, Zählung, Rechnung’, tāle ‘Sprache, Rede, Darlegung’,
• hrück. Zaal,
• mnl. tāle ‘Erzählung, Rede, Sprache’,
• nl. taal, tal, ‘Rede, Sprache’,
• aengl. talu ‘Erzählung, Rede, Vortrag vor Gericht, Berechnung, Reihe’,
• engl. tale ‘Erzählung, Märchen, Sage’,
• anord. tala ‘Zahl, Zählung, Rechnung, Rede’
  • (ger. *talō),
• dän. tal,
• daneben die Neutra
  • asächs. tal ‘Zahl, Reihe’,
  • aengl. tæl ‘Zahl’,
  • anord. tal ‘Zahl, Berechnung, Unterredung’,
  • swed. tal ‘Zahl, Rede’
    • (ger. *tala-);
• vgl. auch verwandtes got. talzjan ‘lehren’.
• Herkunft ungeklärt.
  • Man nimmt Verwandtschaft mit
    • grie. dólos (δόλος) ‘Köder, Lockmittel, Trug, List’,
    • lat. dolus ‘List, Täuschung, Betrug’ an,
      • wozu sich dehnstufig
        • ahd. zāla ‘Not, Bedrängnis, Gefahr’ (8. Jh.),
        • aengl. tǣl ‘Tadel, Spott’,
        • anord. tāl ‘List, Betrug’
      • stellen würden,
      • so daß von einer Ww. uig. *del- ‘ziele, berechne, nachstelle, listig schädige, zähle, erzähle’ ausgegangen werden könnte.
  • Andere halten Verwandtschaft mit der unter ↗Zoll² behandelten Wortgruppe für möglich,
    • knüpfen also an die Wurzel uig. *del(ə)- ‘spalte, schnitze, behaue kunstvoll’ an.

Euklids Definition einer Zahl ist eine aus Monas zusammengesetzte Mannigfaltigkeit.

Zahl

Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens, die sich historisch aus Vorstellungen von Größe und Anzahl entwickelten. Die Zahlen beruhen auf der Abzählbarkeit von Objekten, deren Unterscheidbarkeit naturgegeben ist. Durch eine Messung wird ein als Größe verstandener Aspekt einer Beobachtung mit einer Zahl in Verbindung gebracht, beispielsweise bei einer Zählung. Sie spielen daher für die empirischen Wissenschaften eine zentrale Rolle.

Übersicht über einige gängige Zahlbereiche. 𝐴 ⊂ 𝐵 bedeutet, dass die Elemente des Zahlbereiches 𝐴 unter Beibehaltung wesentlicher Beziehungen auch als Elemente des Zahlbereichs 𝐵 aufgefasst werden können. Echte Klassen sind in blau markiert.

In der Mathematik, die Zahlen und ihre Struktur formal untersucht, schließt der Begriff verschiedenartige Konzepte mit ein. Diese entwickelten sich als Verallgemeinerungen bestehender intuitiver Zahlkonzepte, so dass man sie ebenfalls als Zahlen bezeichnet, obwohl sie wenig Bezug zu den ursprünglich mit Messungen verbundenen Konzepten haben. Manche dieser Konzepte sind in der Mathematik von grundlegender Bedeutung und finden Verwendung in nahezu allen Teilgebieten.

In die Urgeschichte zurück reicht das Konzept der natürlichen Zahlen, die zum Zählen verwendet werden können und grundlegende Bedeutung besitzen. Bereits die Neandertaler schufen vor ca. 68.000 Jahren in Höhlen abstrakte Zahldarstellungen (zwei senkrechte Striche bzw. rot markierte Finger von Stalagmiten-Händen). Ab etwa 2000 v. Chr. rechneten Ägypter und Babylonier mit Bruchzahlen (rationalen Zahlen). In Indien entwickelte sich im 7. Jahrhundert n. Chr. ein Verständnis der Null und der negativen Zahlen. Irrationale Zahlen wie √2 oder √5, deren Notwendigkeit sich aus Erkenntnissen aus dem antiken Griechenlandergab (spätestens ab dem 4. Jahrhundert v. Chr.), wurden in der Blütezeit des Islam eingeführt.

Die Idee imaginärer Zahlen, durch die die reellen Zahlen später zu den bedeutenden komplexen Zahlen erweitert wurden, reicht in die europäische Renaissancezurück. Der Begriff der reellen Zahl konnte erst im 19. Jahrhundert hinreichend geklärt werden. Ende des 19. Jahrhunderts konnte erstmals auch unendlichenGrößen ein präziser Sinn als Zahlen gegeben werden. Auch wurden erstmals die natürlichen Zahlen axiomatisch definiert. Mit den Anfang des 20. Jahrhunderts geschaffenen ersten zufriedenstellenden Grundlagen der Mathematik erfuhren auch die bedeutendsten Zahlbegriffe eine dem heutigen Stand entsprechende vollständig formale Definition und Bedeutung.

Vom Begriff der Zahl abzugrenzen sind Ziffern (spezielle Zahlzeichen; zur Darstellung bestimmter Zahlen verwendete Schriftzeichen), Zahlschriften (Schreibweisen von Zahlen z. B. mit Hilfe von Ziffern unter Verwendung bestimmter Regeln), Zahlwörter (Numerale, zur Benennung bestimmter Zahlen verwendete Wörter) und Nummern (Identifikatoren, die selbst Zahlen, oder aber – in der Regel Ziffern enthaltende – Zeichenketten sein können).

Etymologie

Das deutsche Wort Zahl geht vermutlich auf das urgermanische Wort *talō (Berechnung, Zahl, Rede) zurück, das vermutlich Wurzel der althochdeutschen Wörter zala (Ordnung, geordnete Darlegung, Bericht, Aufzählung) und zalōn (berichten, rechnen, zählen, berechnen, zahlen) ist. Aus zala wurde im Mittelhochdeutschen zale oder zal, auf das das heutige Wort Zahl zurückgeht.

Das urgermanische Wort findet seinen Ursprung vermutlich in einem urindogermanischen Etymon *del- (zielen, berechnen, nachstellen). Auch ein Zusammenhang mit dem urindogermanischen *del-(spalten) ist möglich; die ursprüngliche Bedeutung wäre dann möglicherweise „eingekerbtes Merkzeichen“.^{_8-0" class="reference mwt-preserveHtml" >[8]}

1. John Bigelow, Sam Butchart: Number. In: Donald M. Borchert (Hrsg.): Encyclopedia of Philosophy. 2005, ISBN 0-02-866072-2.
2. Schon der Neandertaler war kreativ. RP online, abgerufen am 5. März 2022.
3. Merzbach, Boyer, S. 198.
4. Vladimir Orel: A Handbook of Germanic Etymology. Brill, Leiden 2003, S. 400 f.; archive.org
5. August Fick: Wörterbuch der Indogermanischen Sprachen. Dritter Teil: Wortschatz der Germanischen Spracheinheit. (PDF; 2,7 MB). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1909.
6. Zahl. In: Jacob Grimm, Wilhelm Grimm (Hrsg.): Deutsches Wörterbuch. Band 31: Z–Zmasche – (XV). S. Hirzel, Leipzig 1956, Sp. 36–42 (woerterbuchnetz.de).
7. Julius Pokorny: Indogermanisches etymologisches Wörterbuch. Francke, Bern 1959, Band I, S. 193; archive.org, Datenbankeintrag
8. Friedrich Kluge, Elmar Seebold: Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache. 24. Auflage. De Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017472-3, S. 1002.
9. Zahl. In: Duden, abgerufen am 11. Juni 2012.

• Geschichte
  • 2.1Vorgeschichte
  • 2.2Erste Hochkulturen
  • 2.3Antikes Griechenland
• 3Definition von Zahlen
• 4Verknüpfungen von Zahlen
• 5Zahlbereiche
  • 5.1Natürliche Zahlen
  • 5.2Ganze Zahlen
  • 5.3Rationale Zahlen
  • 5.4Algebraische Erweiterungen
  • 5.5Reelle Zahlen
  • 5.6Komplexe Zahlen
  • 5.7Ordinalzahlen und Kardinalzahlen
  • 5.8Hyperreelle Zahlen
  • 5.9Hyperkomplexe Zahlen
  • 5.10Weitere Gruppen von Zahlen
• 6Darstellung von Zahlen
  • 6.1Beispiele
• 7Zahlen als Bezeichnung
• 8Siehe auch
• 9Literatur
• 10Weblinks
• 11Einzelnachweise