spira mirabilis

spira mirabilis

Goldene Spirale und Spira mirabilis

Goldene Spirale und Spira mirabilis hängen mit dem Goldenen Schnitt zusammen. Sie sind nicht als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar. Für eine Näherungskonstruktion bedarf es – wie im Folgenden erläutert – eines Goldenen Rechtecks bzw. eines Goldenen Dreiecks.

Spira mirabilis

Q: goldener Schnitt (Geometrische Aussagen)

Spira mirabilis generiert aus einem Goldenen Dreieck, Kurve mithilfe GeoGebra erzeugt, siehe Animation der Konstruktion

Die Spira mirabilis ist ebenfalls ein Sonderfall der logarithmischen Spirale: Ihr Streckungsfaktor ist ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$, sprich der Kehrwert des Goldenen Schnitts. Sie benötigt für die Näherungskonstruktion die rekursive Teilung eines Goldenen Dreiecks in je ein gleichschenkliges stumpfwinkliges Dreieck und in ein weiteres, kleineres Goldenes Dreieck. Dies ist begründet durch eine sogenannte Drehstreckung $\sigma$. Sie enthält eine Drehung um $\frac{-3\pi }{5}$ (entspricht $-108^{\circ }$). Daraus ergibt sich eine Streckung mit dem Faktor ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$.

Das nebenstehende Bild zeigt ein solches gleichschenkliges Dreieck $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ mit den Basiswinkeln $72^{\circ }$ und dem Scheitelwinkel $36^{\circ }$ bei $\mathrm{A}$. Es gilt: $\overline{\mathrm{|}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{|}}:\overline{\mathrm{|}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{|}}=\mathrm{\Phi }$.

Vorgehensweise

Es beginnt mit dem Halbieren des Winkels $72^{\circ }$ am Scheitel $\mathrm{B}$. Dabei teilt der generierte Punkt $\mathrm{D}$ die Schenkellänge $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$im Goldenen Schnitt. Es entsteht dabei das gleichschenklige stumpfwinklige Dreieck $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}$ sowie das Dreieck $\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$. Dass letzteres auch ein Goldenes Dreieck ist, zeigt die folgende einfache Überprüfung der Winkelweiten.

Am Scheitel $\mathrm{B}$ ergibt sich durch die Winkelhalbierende des Ausgangsdreiecks die Winkelweite $36^{\circ }$; der Basiswinkel am Scheitel $\mathrm{C}$ bleibt unverändert $72^{\circ }$. Wird die Winkelsumme eines ebenen Dreiecks mit $180^{\circ }$ berücksichtigt, ist am Scheitel $\mathrm{D}$ der Basiswinkel ebenfalls $72^{\circ }$. Dies zeigt auf, das entstandene Dreieck $\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ und das Goldene Dreieck $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$sind zwei zueinander ähnliche Dreiecke.

Für den Nachweis, dass der Punkt $\mathrm{D}$ tatsächlich die Schenkellänge $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ im Goldenen Schnitt teilt, gilt:

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}\cdot \mathrm{\Phi }=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}\cdot {\mathrm{\Phi }}^2=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}\cdot (\mathrm{\Phi }+1)$.

Nun bedarf es noch der Bestimmung des Polpunktes $\mathrm{O}$ als Schnittpunkt der beiden Seitenhalbierenden $\overline{\mathrm{X}\mathrm{C}}$ und $\overline{\mathrm{Y}\mathrm{D}}$. Die darüber hinaus eingezeichneten goldenen Dreiecke $\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E},\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F},\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G},\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H},\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{I}$ und anderes mehr zeigen, dass diese Vorgehensweise beliebig weit fortgesetzt werden kann.

Mit $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ und $\mathrm{E}$ sind die ersten fünf Punkte auf der – noch zu konstruierenden – Spirale bestimmt. Hat der Polpunkt $\mathrm{O}$ die Polarkoordinaten $\left({\mathrm{\mu }}^{\mathrm{\theta }},\mathrm{\theta }\right)$, so gilt für die Spira mirabilis die Polargleichung

$\mu ={\mathrm{\Phi }}^{\frac{5}{3\pi }}$.

Angenäherte Spira mirabilis mittels Kreisbögen

• Praktikable Methode als Konstruktion mit Zirkel und Lineal

An den gleichschenkligen stumpfwinkligen Dreiecken wird jeweils um deren Scheitelpunkt mit dem stumpfen Winkel ein Kreisbogen mit der Winkelweite $108^{\circ }$ (entspricht $180^{\circ }-2\cdot 36^{\circ }$) und dem Radius gleich dem eines Schenkels gezogen.

Mit anderen Worten: Am Dreieck $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}$ (grün) wird um den Scheitelpunkt $\mathrm{D}$ des Winkels $108^{\circ }$ ein Kreisbogen von $\mathrm{A}$nach $\mathrm{B}$ gezogen. Gleiches gilt für die weiteren Dreiecke, die ähnlich dem Dreieck $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}$ sind.