π (Kreiszahl)/Formeln und Anwendungen

Formeln, die π enthalten

Carl Friedrich Gauß

Jean Baptiste Joseph Fourier

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von $\pi$ als Kreiszahl unmittelbar hervor.

• Umfang eines Kreises mit Radius $r$: $U=2\pi r$
• Fläche eines Kreises mit Radius $r$: $A=\pi r^2$
• Volumen einer Kugel mit Radius $r$: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
• Oberfläche einer Kugel mit Radius $r$: $A_O=4\pi r^2$
• n-dimensionale Volumen einer n-Sphäre mit Radius $r$: $V_n=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}+1\right)}{r}^n$
• n−1-dimensionale Hülle einer n-Sphäre mit Radius $r$: $A_n=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{r}^{n-1}$
• Volumen eines Zylinders mit Radius $r$ und Höhe $a$: $V=r^2\pi a$
• Volumen eines durch die Rotation des Graphen $y=f(x)$ um die $x$-Achse definierten Rotationskörpers mit den Grenzen $a$ und $b$: $V=\pi {\int }_a^{b}f(x{)}^2\mathrm{d}x$

Formeln der Analysis

Im Bereich der Analysis spielt $\pi$ ebenfalls in vielen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

• der Integraldarstellung $\pi ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=2\cdot {\int }_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$, die Karl Weierstraß 1841 nutzte, um $\pi$ zu definieren,
• der unendlichen Reihe: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ (Euler, siehe Basler Problem und auch Riemannsche Zetafunktion),
• der gaußschen Normalverteilung: ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }$ oder in anderer Darstellung: ${\int }_{{ℝ}^2}{e}^{-|x{|}^2}\mathrm{d}x=\pi$,
• der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große $n$: $n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$,
• der Fourier-Transformation: $F(\omega )=ℱ\{f\}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t$.
• den Formeln der Funktionentheorie: Wie für alle Teilgebiete der Analysis ist auch für die Funktionentheorie (und darüber hinaus für die gesamte komplexe Analysis) die Kreiszahl von grundlegender Bedeutung. Als herausragende Beispiele sind hier
  • die Euler-Identität $e^{\mathrm{i}\pi }+1=0$ zu nennen sowie
  • die Integralformel von Cauchy $f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta$.

Darüber hinaus wird die Bedeutung der Kreiszahl ebenfalls augenfällig in den Formeln zur Partialbruchzerlegung der komplexwertigen trigonometrischen Funktionen, die im Zusammenhang mit dem Satz von Mittag-Leffler stehen. Hier sind vor allem

• die Partialbruchzerlegung des Kotangens:

$\begin{array}{cc}\pi \cot \pi z& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{z+n}\\ & =\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{z-n}+\frac{1}{z+n})\\ & =\frac{1}{z}+2z\cdot \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^2-n^2}\\ & =z\cdot \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^2-n^2}(z\in ℂ\setminus \mathbb{Z})\end{array}$

zu erwähnen sowie die daraus – neben weiteren! – zu gewinnenden

• Partialbruchzerlegungen zu Sinus und Kosinus:

$\begin{array}{cc}(\frac{\pi }{\sin \pi z}{)}^2& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z-n{)}^2}(z\in ℂ\setminus \mathbb{Z})\\ (\frac{\pi }{\cos \pi z}{)}^2& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z-\frac{2n-1}{2}{)}^2}(z\in ℂ\setminus \{\frac{2n-1}{2}:n\in \mathbb{Z}\})\end{array}$

Die obige Partialbruchreihe zum Sinus liefert dann durch Einsetzen von $z=\frac{1}{2}$ die bekannte Reihendarstellung

$\frac{{\pi }^2}{8}=1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n-1{)}^2}$,

die ihrerseits direkt zu der eulerschen Reihendarstellung

$\frac{{\pi }^2}{6}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

führt, siehe Basler Problem.

Neben diesen von den Partialbruchreihen herrührenden π-Formeln kennt die Funktionentheorie noch eine große Anzahl weiterer davon, die statt der Darstellung mit unendlichen Reihen eine Darstellung mittels unendlicher Produkte aufweisen. Viele von ihnen gehen auf das Werk von Leonhard Euler zurück (s. u.).

Formeln der Zahlentheorie

• Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die unterhalb einer Schranke $M$ liegen, teilerfremd sind, strebt mit $M\to \mathrm{\infty }$ gegen $\frac{6}{{\pi }^2}$ (Satz von Ernesto Cesàro, 1881).
• Nimmt man eine ganze Zahl z, deren Dezimaldarstellung aus $n$ Fünfen besteht, und berechnet das $10^{n+2}$-Fache des Sinus des z-ten Teils eines Grades, dann strebt das Resultat mit wachsendem $n$ gegen π:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}10^{n+2}\sin \left(\frac{1^{\circ }}{\underset{n-\text{mal}}{\underbrace{55\dots 5}}}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}10^{n+2}\sin \left(\frac{\frac{\pi }{180}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{\lfloor \frac{5}{9}\cdot 10^n\rfloor }\right)=\pi .$

Dabei ist $\lfloor \cdot \rfloor$ die Gaußklammer. Dies entspricht letztlich der Konvergenz $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\cdot \sin \frac{\pi }{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\cdot \frac{\pi }{x}=\pi$.

Formeln der Physik

In der Physik spielt $\pi$ neben

• der Kreisbewegung: $\omega =2\pi f$ (Winkelgeschwindigkeit gleich $2\pi$ mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort $\pi$ über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht; somit also zum Beispiel

• in der Quantenmechanik: $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$ (Heisenbergsche Unschärferelation),

außerdem

• in der Berechnung der Knicklast $F_K=\frac{{\pi }^{2}EI}{s^2}$,
• bei der Reibung von Partikeln in Flüssigkeiten (Gesetz von Stokes) $F_R=6\pi \eta rv$
• sowie beim Coulombschen Gesetz der Elektrostatik und Biot-Savart-Gesetz der Magnetostatik.

Produktformeln von Leonhard Euler

• Wird die Folge der Primzahlen mit $(p_k{)}_{k\in \mathbb{N}}=(2,3,5,\dots )$ bezeichnet, so gilt:

unendliches Produkt				endliche Approximation (3 Faktoren)		Abweichung von $\frac{{\pi }^2}{6}$, $\frac{{\pi }^4}{90}$,$\frac{{\pi }^6}{945}$, $\frac{{\pi }^8}{9450}$
$\frac{{\pi }^2}{6}$	$=\zeta (2)$	$=\frac{{\pi }^2}{2\cdot 3}$	$=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{p_k}^2}{{p_k}^2-1}$	${}_{\approx }^{>}\frac{2^2}{2^2-1}\cdot \frac{3^2}{3^2-1}\cdot \frac{5^2}{5^2-1}=\frac{4}{3}\cdot \frac{9}{8}\cdot \frac{25}{24}$	$=:a_2$	$1-\frac{\sqrt[2]{6\cdot a_2}}{\pi }$	$\approx \mathrm{2,54}\cdot 10^{-2}$
$\frac{{\pi }^4}{90}$	$=\zeta (4)$	$=\frac{{\pi }^4}{2\cdot 3^2\cdot 5}$	$=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{p_k}^4}{{p_k}^4-1}$	${}_{\approx }^{>}\frac{2^4}{2^4-1}\cdot \frac{3^4}{3^4-1}\cdot \frac{5^4}{5^4-1}=\frac{16}{15}\cdot \frac{81}{80}\cdot \frac{625}{624}$	$=:a_4$	$1-\frac{\sqrt[4]{90\cdot a_4}}{\pi }$	$\approx \mathrm{1,37}\cdot 10^{-4}$
$\frac{{\pi }^6}{945}$	$=\zeta (6)$	$=\frac{{\pi }^6}{3^3\cdot 5\cdot 7}$	$=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{p_k}^6}{{p_k}^6-1}$	${}_{\approx }^{>}\frac{2^6}{2^6-1}\cdot \frac{3^6}{3^6-1}\cdot \frac{5^6}{5^6-1}=\frac{64}{63}\cdot \frac{729}{728}\cdot \frac{15625}{15624}$	$=:a_6$	$1-\frac{\sqrt[6]{945\cdot a_6}}{\pi }$	$\approx \mathrm{1,56}\cdot 10^{-6}$
$\frac{{\pi }^8}{9450}$	$=\zeta (8)$	$=\frac{{\pi }^8}{2\cdot 3^3\cdot 5^2\cdot 7}$	$=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{p_k}^8}{{p_k}^8-1}$	${}_{\approx }^{>}\frac{2^8}{2^8-1}\cdot \frac{3^8}{3^8-1}\cdot \frac{5^8}{5^8-1}=\frac{256}{255}\cdot \frac{6561}{6560}\cdot \frac{390625}{390624}$	$=:a_8$	$1-\frac{\sqrt[8]{9450\cdot a_8}}{\pi }$	$\approx \mathrm{2,25}\cdot 10^{-8}$
	$⋮$				$⋮$		$\ddots$

Siehe dazu auch die Artikel über die Zeta-Funktion $\zeta$ und insbesondere den Abschnitt Funktionswerte für gerade natürliche Zahlen.

• Auf Euler gehen auch die folgenden Produktformeln zurück, welche die Kreiszahl mit der komplexen Gammafunktion und dem komplexen Sinus und Kosinus verbinden:

Die erste der drei folgenden Formeln bezeichnet man auch als eulerschen Ergänzungssatz. Bei den beiden anschließenden Produktformeln für Sinus und Kosinus handelt es sich um absolut konvergente Produkte. Beide Produktformeln ergeben sich aus dem Ergänzungssatz, wobei die Produktformel des Kosinus ihrerseits wegen $\cos (z)=\frac{\sin (2z)}{2\sin (z)}$ eine direkte Anwendung der Produktformel des Sinus ist.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z)\cdot \mathrm{\Gamma }(1-z)& =\frac{\pi }{\sin \pi z}(z\in ℂ\setminus \mathbb{Z})\\ \sin \pi z& =\pi z\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{k^2})(z\in ℂ)\\ \cos \pi z& =\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{4z^2}{(2k-1{)}^2})(z\in ℂ)\end{array}$

Die Produktformel des Sinus führt dann mit $z=\mathrm{i}$ zu dieser interessanten Beziehung (Folge A156648 in OEIS):

$\begin{array}{cccc}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{k^2})& =\frac{e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }& =\frac{\sinh \pi }{\pi }& \approx \mathrm{3,6760779103749}\end{array}$