Differenzierung zwischen Kugelfläche und Kugelkörper

Die Kugelfläche, auch Kugeloberfläche oder Sphäre, ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, die den gleichen Abstand $r$ von einem festen Punkt des Raumes haben. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl $r$ als Radius der Kugel. Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren wird Kugelkörper oder Vollkugel (auch Ball) genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt ($x_M,y_M,z_M$) und Radius $r$ ist die Menge aller Punkte ($x,y,z$), für welche die Gleichung

$(x-x_M{)}^2+(y-y_M{)}^2+(z-z_M{)}^2=r^2$

erfüllt ist.

Kugelkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem

In Vektorschreibweise mit $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$, $\overrightarrow{m}=\left(\begin{array}{c}{x}_M\\ y_M\\ z_M\end{array}\right)$:

$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m})\cdot (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m})=r^2$,

$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m}{)}^2=r^2$,

$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m}{|}^2=r^2$ oder

$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m}|=r$.

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius $r$ und dem Zentrum im Ursprung können durch Kugelkoordinaten wie folgt parametrisiert werden:

$x=r\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi$

$y=r\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi$

$z=r\cdot \cos \theta$

mit $0\le \theta \le \pi$ und $0\le \phi <2\pi$.