Kugelkoordinaten

Übliche Darstellung der Kugelkoordinaten mit Radius ρ, Zenitwinkel θ und Azimut φ.

Kugelkoordinaten oder räumliche Polarkoordinaten sind orthogonale Koordinaten, in denen ein Punkt im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben wird.

Bei Punkten auf einer Kugeloberfläche (Sphäre) um den Koordinatenursprung ist der Abstand vom Kugelmittelpunkt konstant. Dann sind nur noch die beiden Winkel variabel, sie werden dann als sphärische Koordinaten oder Kugelflächenkoordinaten bezeichnet.

Der Begriff „Kugelkoordinaten“ kann als Oberbegriff für den allgemeinen Fall und die sphärischen Koordinaten angesehen werden. Kugelkoordinaten sind wie Zylinderkoordinaten eine Verallgemeinerung der ebenen Polarkoordinaten auf den dreidimensionalen euklidischen Raum. Sie lassen sich auch weiter auf Räume beliebiger endlicher Dimension verallgemeinern.

Definitionen und Formeln

Übliche Konvention

Ein Kugelkoordinatensystem im dreidimensionalen euklidischen Raum wird festgelegt durch die Wahl

• eines Zentrums $O$ (Ursprung),
• einer gerichteten Gerade durch das Zentrum (Polachse), die die Polrichtung (oder Zenitrichtung) angibt, und durch diese festgelegt die Äquatorebene, die orthogonal zur Polrichtung durch das Zentrum verläuft, und
• einer Bezugsrichtung in der Äquatorebene.

Oft wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem verwendet. Dann wird typischerweise der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems als Zentrum gewählt, die z-Achse als Polachse (und damit die x-y-Ebene als Äquatorebene) und die x-Achse als Bezugsrichtung.

In der Version der Kugelkoordinaten, die in der Mathematik und in der Physik üblich ist, wird ein Punkt $P$ durch die folgenden drei Koordinaten festgelegt:

• $r$ oder $\rho$, der Radius, ist der Abstand des Punktes $P$ von $O$, hiermit wird die Kugeloberfläche festgelegt, auf der sich $P$ befindet.
• $\theta$ oder $\vartheta$, der Polarwinkel oder Poldistanzwinkel, ist ein Vertikalwinkel (der Zenitwinkel) zwischen der Polrichtung und der Strecke $OP$, gezählt von $0$ bis $\pi$ (0° bis 180°). Hierdurch wird der Ort des Punktes $P$ auf eine Kreislinie der Kugeloberfläche beschränkt.
• $\phi$ oder $\varphi$, das Azimut oder der Azimutalwinkel, ist ein Horizontalwinkel zwischen der Bezugsrichtung und der Orthogonalprojektion der Strecke $OP$, gezählt von $-\pi$ bis $\pi$ (−180° bis 180°) oder von $0$ bis $2\pi$ (0° bis 360°) gegen den Uhrzeigersinn. Hierdurch wird der Ort des Punktes $P$ auf der Kreislinie eindeutig definiert.

Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Punkt $P$ mit den Kugelkoordinaten $(r,\theta ,\phi )$. Die beiden Winkelgrößen $\theta$ und $\phi$ werden auch als Winkelkoordinaten bezeichnet.