Dimension

dīmēnsio-n lat.-deu. wrtl. 'Zweimaßung; Abmessung'

Anm. KF: Abmaß, Abmessung, Zweimaß, ein Ausmaß und Maß eines Daseins anhand zwei gemessener Werte, zum Beispiel als Höhe von einem Meßpunkt zu einem anderen, wobei auch  Breite und Tiefe des Daseins mit jeweils zwei Werten ermittelbar sind, die sich alle auf einen gemeinsamen Meßpunkt zurückführen lassen, ihn gemeinsam haben, Weite jedoch bereits vom Wortbegriff her Raum bedeutet und daher mindestens vier Werte zu dessen Beschreibung benötigt;

Anm. KF: ein Dimension ist immer nur eine von einem Gesichtspunkt ausgehende Betrachtung; Dimension als Ausdehnung aus oder in andere Sprachen zu übersetzen oder zu deuten setzt voraus, daß sich etwas aus sich selbst heraus gedehnt hat oder wurde; eine Dimension kann nur mit zwei weiteren Dimensionen als Dasein im Dasein sein, mit denen jede von den dreien in unmittelbaren wechselseitigen Beziehung in Bezug auf ihren Rauminhalt haben; Dimension wird meißt fälschlich mit Vektor, eigene Kraft habend, oder räumliches Dasein zu haben, gleichgesetzt; Eine Dimension ist nur eine von mindestens 4 möglichen Aussagen über ein Dasein, selbst nur die Angabe eines Sein, einer Eigenschaft, hat selbst kein Tun und Haben im Dasein;

• Dimension f.
  • ‘Ausdehnung, Ausmaß’,
  • entlehnt (15. Jh.) aus lat. dīmēnsio (Genitiv dīmēnsiōnis) ‘das Vermessen, Ausmessung, Ausdehnung’,
    • Anm. KF: Ausdehnung kam offenbar erst mit der Entlehnung als Bedeutung hinzu, wobei es hätte Abmessung genannt sein müssen, zudem aufgrunf von di- immer Zweiwertigkeit gemeint ist
      • zu lat. dīmētīrī ‘abmessen, aus, vermessen, zumessen’,
        • lat. mētīrī (mēnsus sum) ‘messen’ und s. dis-; s. Mal¹.
          • dis- +‎ mētior "von, ab messen"
      • dīmensus ‘ausgemessen, abgemessen, regelmäßig’;
• ¦√¦ uig. *dwóh_₁ "zwei"; uig. *dwís "zu zwei machen, zwei sein"; uie. *dis-; einer Nebenform von uie. *du̯is- ‘entzwei, auseinander’; ¦√¦ uig. *med- 'messen';

Dimension [1]

[13]Dimension(lat.), Ausdehnung, ein Grundbegriff derGeometrie. An jedemKörperunterscheidet man dreiDimensionen: Länge,Breite oder Dicke und Höhe.Läßtman eine dieserDimensionen, etwa dieHöhe, immer kleiner und kleiner werden und schließlich aufNullzusammenschrumpfen, so gelangt man zu einerFläche, der nur noch zweiDimensionenzukommen:LängeundBreite; läßt man hier wieder dieBreitegleichNullwerden, so erhält man eineLinie, die nur noch eine D. besitzt, dieLänge. Wird auch dieLängederLiniegleichNull, so entsteht ein Punkt, der ganz ausdehnungslos ist, oder gar keine D. mehr hat. Umgekehrt kann man sich jedeLinieaus einer zusammenhängendenReihevon unendlich vielen Punkten zusammengesetzt denken, jedeFlächeaus einer derartigenReihevonKurven, jedenKörperaus einer solchenReihevonFlächen. Man drückt das so aus: jedeKurveenthält einfach unendlich viele Punkte, jedeFlächekann als die Zusammenfassung von einfach unendlich vielenKurvenbetrachtet werden und enthält daher zweifach unendlich viele Punkte, jederKörperkann als die Zusammenfassung von einfach unendlich vielenFlächenbetrachtet werden und enthält daher dreifach unendlich viele Punkte. Die Zahl derDimensioneneines geometrischenGebildes(Linie,Fläche,Körper) gibt daher an, eine wievielfache Unendlichkeit von Punkten dasGebildeenthält. Dem ganzenRaum, als dem Inbegriff aller in ihm enthaltenenKörperschreibt man ebenfalls dreiDimensionenzu oder sagt: er ist dreifach ausgedehnt, dreidimensional. Die Dimensionenzahlen treten besonders deutlich hervor, wenn man die geometrischenGebildemit Hilfe der Rechnung (Analysis) untersuchen will, was durch dieMethodederKoordinaten(s. d.) ermöglicht wird. Um die einzelnen Punkte auf einerLiniebestimmen zu können, muß man jedem Punkte derLinieeine Zahl zuordnen, bei den Punkten einerFlächesind zwei solche Zahlen oderKoordinatenerforderlich, bei den Punkten desRaumesdrei. Nennt man daher die Zusammenstellung dreier beliebiger Zahlen x, y, z ein Wertsystem, so kann der Inbegriff aller Punkte desRaumesanalytisch dargestellt werden durch den Inbegriff allerWertsystemex, y, z, die man erhält, wenn man jeder einzelnen der Zahlen x, y, z nach und nach alle möglichen Werte erteilt. UnsreAnschauungist auf denRaumvon dreiDimensionenbeschränkt, aber dieAnalysisist nicht an die Betrachtung derWertsystemevon bloß drei Zahlen gebunden. Sie kann, wenn n eine beliebige positive ganze Zahl ist,Wertsystemevon n Zahlen: x₁, x₂, x₃, x₄, ..., x_nbetrachten, und der Inbegriff allerWertsysteme, die man erhält, wenn jede dieser n Zahlen nach und nach alle möglichen Werte durchläuft, ist ein sich ganz von selbst darbietenderBegriff. Indem man nun jedes solcheWertsystemkurz als einen Punkt in einemRaumevon nDimensionen(n-fach ausgedehntenRaume) bezeichnet, hat man den Vorteil, dieAusdrückederGeometrieanwenden, von geradenLinien, vonDreieckenetc. reden zu können, was dieSpracheungemein erleichtert, während man, wollte man sich diese Redeweise nicht erlauben, entweder lauter ganz neueAusdrückeerfinden oder sich mit höchst schwerfälligen Umschreibungen helfen müßte. Der mathematischeBegriffdesRaumesvon beliebig vielenDimensionenhat daher mit spiritistischen Albernheiten nichts zu tun, sondern ist nur eine Verallgemeinerung des derErfahrungentnommenen Raumbegriffs, zu der dieAnalysismitNotwendigkeitgeführt hat (vgl.Mannigfaltigkeit). OhneZweifelist dieserBegriffschon recht alt, z. B. mußGaußihn bereits sehr früh besessen haben, da einer seiner Schüler,Wachter, in einem 1816 anGaußgerichtetenBriefevonRäumenvon beliebig vielenDimensionenals etwas ganz Selbstverständlichem spricht. Trotzdem ist derBegrifferst in den letzten Jahrzehnten Allgemeingut der Mathematiker geworden, hauptsächlich durch Riemann, der in seiner 1854 gehaltenen, aber erst nach seinem Tod erschienen Probevorlesung »Über dieHypothesen, welche derGeometriezuGrundeliegen«, n-fach ausgedehnte Größen undMannigfaltigkeitenbetrachtet, während allerdings schon vorher H.Graßmann in seiner »Ausdehnungslehre« von 1844 denselbenBegriffsystematisch entwickelt hatte, ohne in weiternKreisenBeachtung zu finden. Besonders hat dann Helmholtz dazu beigetragen, daß man sich mit demBegriffauch in nicht mathematischen, namentlich in philosophischenKreisenbeschäftigt hat. In seinemVortrag»Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischenAxiome« (1870) zeigte er an dem von Fechner stammendenBeispieleder Flächenwesen, wie wenig man aus unsrer Unfähigkeit zurAnschauungvon vierDimensionenauf derenUnmöglichkeitan sich schließen kann. Ein solchesWesen, dessenAnschauungnur zweiDimensionenhat, würde niemals im stande sein, die beiden Hälften eines gleichschenkeligenDreieckszurDeckungzu bringen, es würde diese beiden Hälften für ebenso voneinander verschieden ansehen, wie uns linke und rechteHandverschieden erscheinen. Der Unterschied zwischenKongruenz(s. d.) undSymmetrie(s. d.) würde also für ein solchesWesenschon auf derFlächehervortreten, während umgekehrt ein vierdimensionalesWesenden Unterschied, den wir zwischen unsrer linken und rechtenHandmachen, nicht machen müßte und erst bei vierdimensionalenGebildenauf die Verschiedenheit zwischenKongruenzundSymmetriestoßen würde. Bei allen diesenSpekulationendarf man aber nicht vergessen, daß wir uns einenRaumvon vierDimensionen, in dem unserRaumebenso als Teil enthalten wäre, wie die Ebene in unserm dreidimensionalenRaumals Teil enthalten ist, niemals wirklich vorstellen können, und daß unsre Berechtigung, uns einen derartigenRaumals vorhanden zu denken, einzig und allein aus derAnalysisstammt, die zu einer solchen Verallgemeinerung des Raumbegriffs geradezu herausfordert.