Gespräch:Überprüfung Verborgene Zahl – Verborgener Gott Verwandlungskünste

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25. Mai 2026 n. Chr. erst.
7:32 Uhr
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Werk: Überprüfung Verborgene Zahl – Verborgener Gott Verwandlungskünste

Werk:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/Verwandlungskünste.

Systemprompt

Hallo Sophos,

Ich bin dabei das Buch "Verborgene Zahl – Verborgener Gott" von Marco Böhlandt zu lesen. Zitate und Begriffe sind darin in Latein, selten auch in Altgriechisch. Unterstütze mich nun wieder, wie zuvor in solchen Fällen, als Mathematiker und Übersetzer. Ich muß erstmal einen Text haben, den ich auch lesen und verstehen kann – ich kann weder Latein noch Altgriechisch.

Zu beachten ist, daß in dem Buch zwei Welten aufeinander treffen, zum einen die auf Proportionen und noch weitgehend ohen Algebra beruhende, man kann fast sagen "platonisch-euklidische Mathematik und Geometrie" und zum Anderen die moderne eher rechnend-algebraische Mathematik und Geometrie, welche das Denken in Proportionen weitgehend abgelegt hat. Das Buch urteilt offenbar verfehlt aus heutiger Sicht auf die Umstände, Zustände und Vefahren, welche zu Cusanus' Zeiten herrschten. Die verfügbaren Übersetzungen sind mangelhaft, da Begriffe der Neuzeit ins Mittelalter eingebracht werden, die es zum einen damals nicht gab, oder es werden häufig verfehlend heutige Bedeutungen der Begriffe derat verwendet,. als hätten sie auch damals diese Bedeutung gehabt, vergleichsweise "Inzidenzwinkel".

1) Als ersten Entwurf übersetzt du einen Text oder Begriff unter Beibehaltung der damaligen Begriffsschicht, nur mit schacher Glättung,

2) zeigst dann als Tabelle die Begriffschicht damaliger Begriffe in Gegenüberstellung zu heutigen Begriffen.

3) glättest den Text zum 2. Entwurf

4) Rückübersetzung

5) Vergleich der Abweichung der Bedeutung

6) finaler Entwurf

Während der Arbeit klären wir Fragen und Umstände, sowie Bedeutungen und die geometrischen und oder mathematischen Verfahren, da ich darin kein Fachmann bin, mußt du alle benötigte Kompetenz dazu beitragen.

Einverstanden?

Einrichtung

Ja.

Ich arbeite dann mit dir in genau dieser Ordnung:

Erstentwurf möglichst nah an der damaligen Begriffsschicht, nur schwach geglättet, ohne neuzeitliche Umdeutung.
Begriffsschicht-Tabelle zentrale lateinische bzw. griechische Begriffe, ihre damalige Sachnähe, dazu mögliche heutige Entsprechungen und deren Grenzen.
Zweiter Entwurf lesbarer geglättet, aber noch sachnah.
Rückübersetzung zur Kontrolle, was im Deutschen bereits verschoben wurde.
Abweichungsvergleich wo der Sinn stabil blieb und wo die moderne Sprache etwas hineinträgt, was ursprünglich nicht oder nicht so gemeint war.
Finaler Entwurf gut lesbar, aber mit möglichst geringer Verfälschung.

Dabei halte ich mich an folgende Grundsätze:

keine vorschnelle Modernisierung
mittelalterliche bzw. antike Begriffsschicht nicht mit heutiger Schulmathematik gleichsetzen
Proportionen, Verhältnisdenken, geometrische Verfahrensweise und Terminologie jeweils aus ihrem eigenen Zusammenhang erklären
Fakten und Mutmaßungen trennen
bei unsicheren Begriffen mehrere Deutungsmöglichkeiten offenlegen statt eine davon stillschweigend festzuschreiben

Wenn im Text mathematische oder geometrische Verfahren vorkommen, erläutere ich sie zusätzlich so, dass sie aus der damaligen Denkweise verständlich werden und danach erst, falls nützlich, in eine heutige Ausdrucksweise übertragen werden.

Du kannst jetzt einfach die erste Stelle schicken:

einen einzelnen Begriff,
einen lateinischen Satz,
einen griechischen Ausdruck,
oder einen längeren Abschnitt.

Dann beginne ich unmittelbar mit Schritt 1.

1. Ansatz

Ich gebe dir den Textausschnitt des Kapitel "Verwandlungskünste. DE GEOMETRICIS TRANSMUTATIONIBUS". Ich habe auch den originalen lateinischen Text von "De geometricis transmutationibus" dazu:

Die Transmutationes geometricae, abgeschlossen im September 1445, sind die frühesten der uns von Nikolaus bekannten Abhandlungen zum Problem der Kreisquadratur. In ihrer gesamten formalen Anlage ist die Schrift ein Musterbeispiel für die unangefochtene Dominanz der euklidischen Elementa innerhalb der spätmittelalterlichen Mathematik.

Vier Prämissen setzt Nikolaus im Geiste der Axiomatik der eigentlichen Quadratur voran. Sie sind im Einzelnen überschrieben:

Ut datae rectae detur aequalis curva

Ut [...] habitudinem curvae ad curvam detur recta ad rectam

Ut inter duas lineas rectas duae proportionales continuae assignetur

Ut secundum habitudinem duarum datarum sciatur ad tertiam datam dari quarta[1]

Analyse 1. Absatz

Ja — ich beginne mit den vier lateinischen Überschriften und nehme gleich den Kapitel-Titel mit, weil darin schon eine wichtige begriffliche Weiche steckt.

Analyseschritte 1. Absatz

0) Kapitel-Titel

De geometricis transmutationibus

Erster Entwurf:

Über die geometrischen Überführungen / Umwandlungen

Wichtig dazu:

transmutatio ist hier nicht modern-mathematisch im Sinn einer formalen „Transformation“ zu lesen.
Gemeint ist eher ein Überführen, Verwandeln, Umschaffen einer gegebenen geometrischen Bestimmung in eine andere, aber sachlich äquivalente oder zugeordnete Bestimmung.

1) Erster Entwurf

möglichst nah an der älteren Begriffsschicht, nur schwach geglättet

Ut datae rectae detur aequalis curva Daß zu einer gegebenen Geraden eine gleiche Kurve gegeben werde.
Ut [...] habitudinem curvae ad curvam detur recta ad rectam Daß nach der habitudo einer Kurve zu einer Kurve eine Gerade zu einer Geraden gegeben werde.
Ut inter duas lineas rectas duae proportionales continuae assignetur Daß zwischen zwei geraden Linien zwei fortlaufend proportionale angesetzt werden.
Ut secundum habitudinem duarum datarum sciatur ad tertiam datam dari quarta Daß gemäß der habitudo zweier gegebener [Größen] gewußt werde, zu einer dritten gegebenen eine vierte zu geben.

2) Begriffsschicht-Tabelle

Lateinischer Ausdruck	damalige / sachnahe Schicht	mögliche heutige Annäherung	Grenze der Modernisierung
recta	gerade Linie, meist als geometrisch gegebene Gerade bzw. Strecke	Gerade / Strecke	„Gerade“ im heutigen Sinn ist oft zu abstrakt; hier ist meist eine konstruierbare Liniengrößegemeint
curva	krumme Linie, gekrümmte Linie	Kurve	modern „Kurve“ kann analytisch verstanden werden; hier zunächst nur krumme Linie
aequalis	gleich	gleich lang / äquivalent	im ersten Zugriff besser nur gleich; die genauere Gleichheitsweise ist aus dem Gegenstand zu erschließen
habitudo	Verhältnisheit, Bezogenheit, Zuordnung, Verhältnis	Verhältnis / Relation	habitudo ist oft breiter als der moderne enge Zahlenbegriff von „Verhältnis“
data / datum	gegeben, vorgelegt, konstruktiv vorgegeben	gegeben	nicht bloß „bekannt“, sondern geometrisch als Ausgangsgröße gesetzt
detur / dari	es werde gegeben / anzugeben sein / zu geben sein	bestimmen, konstruieren	„berechnen“ wäre hier meist zu modern
proportionales continuae	fortlaufend proportionale Größen	mittlere Proportionalen / kontinuierliche Proportion	continuae heißt hier nicht „stetig“ im neuzeitlich-analytischen Sinn
duae proportionales continuae	zwei fortlaufend proportionale [Größen] zwischen zwei gegebenen	zwei mittlere Proportionalen	das ist die fachlich naheliegende heutige Benennung
quarta	eine vierte [Größe]	vierte Proportionale	„Proportionale“ ist wohl sachlich richtig, aber schon eine Auslegung
sciatur	es sei gewußt / man wisse	man könne bestimmen	„wissen“ meint hier eher das Verfahren kennen als bloß theoretisches Wissen

3) Zweiter Entwurf

etwas lesbarer, aber noch sachnah

Zu einer gegebenen geraden Linie sei eine ihr gleiche Kurve anzugeben.
Zum Verhältnis einer Kurve zu einer Kurve sei ein entsprechendes Verhältnis einer Geraden zu einer Geraden anzugeben.
Zwischen zwei geraden Linien seien zwei mittlere Proportionalen anzugeben.
Nach dem Verhältnis zweier gegebener Größen soll zu einer dritten gegebenen eine vierte angegeben werden können.

4) Rückübersetzung

in eine wieder stärker ausgangsnahe Form zurückgeführt

Zu einer gegebenen Geraden werde eine ihr gleiche Kurve gegeben.
Gemäß der Verhältnisheit einer Kurve zu einer Kurve werde eine Gerade zu einer Geraden gegeben.
Zwischen zwei geraden Linien werden zwei fortlaufend proportionale angesetzt.
Gemäß der Verhältnisheit zweier gegebener [Größen] wisse man zu einer dritten gegebenen eine vierte zu geben.

5) Vergleich der Bedeutungsabweichung

1. aequalis curva

Der lateinische Text sagt zunächst nur „gleiche Kurve“.
Modern würde man fast sofort sagen: „eine gleich lange Kurve“.
Das ist sachlich naheliegend, weil Gerade und Kurve beide Liniengrößen sind, aber im ersten Entwurf sollte man „gleich“ stehen lassen.

2. habitudo

Das ist der schwierigste Begriff.
Modern mit „Verhältnis“ wiederzugeben ist oft brauchbar, aber enger als das lateinische Wort.
habitudo kann auch eine Zuordnungsweise oder Bezogenheit meinen, nicht nur ein numerisch scharf gefaßtes Verhältnis.

3. duae proportionales continuae

Wörtlich ist das nicht einfach „zwei proportionale Linien“, sondern zwei, die in fortlaufender Proportionstehen.
Die heutige Fachbenennung „zwei mittlere Proportionalen“ trifft den mathematischen Sinn gut.
Aber sie ist schon Interpretation, nicht bloß wörtliche Übersetzung.

4. quarta

Wörtlich steht nur „eine vierte“.
Im Kontext der Proportionslehre ist fast sicher die vierte Proportionale gemeint.
Auch das ist sachlich sehr wahrscheinlich, aber eben bereits eine fachliche Präzisierung.

6) Finaler Entwurf

Ich würde diese vier Überschriften für deine weitere Arbeit so festhalten:

Zu einer gegebenen Geraden ist eine ihr gleiche Kurve anzugeben.
Das Verhältnis einer Kurve zu einer Kurve ist durch ein entsprechendes Verhältnis einer Geraden zu einer Geraden anzugeben.
Zwischen zwei Geraden sind zwei mittlere Proportionalen zu bestimmen.
Nach dem Verhältnis zweier gegebener Größen ist zu einer dritten gegebenen eine vierte Proportionale zu bestimmen.

Mathematischer Kurzkommentar

Diese vier Prämissen lassen sich sachlich so lesen:

Gerade ↔ Kurve eine gerade Linie und eine krumme Linie einander gleichsetzen.
Kurvenverhältnis → Geradenverhältnis das Verhältnis zweier Kurven in ein Verhältnis gerader Linien überführen.
Zwei mittlere Proportionalen eine klassische euklidische/proportionale Konstruktionsaufgabe.
Vierte Proportionale aus drei gegebenen Größen die vierte im selben Verhältnis gewinnen.

Für die Kreisquadratur ist das folgerichtig:

Man braucht Verfahren, um zwischen geraden und krummen Linien, zwischen Verhältnissen und Proportionalen, sowie zwischen gegebenen und zu konstruierenden Größen hin und her zu überführen.

Der Ausdruck „Inzidenzwinkel“ wäre in solchem Zusammenhang tatsächlich verdächtig modern, wenn er stillschweigend an ältere Begriffe herangetragen wird.

Als nächsten Schritt kann ich nun den umgebenden deutschen Absatz von Böhlandt Satz für Satz prüfen und markieren, wo seine Formulierungen bereits modernisierend oder sachlich verengend sind.

2. Ansatz

Titel De transmutationes geometricae

Danke. Da sich alles diesbezüglich auf Platon, Proklos, Pseudo-Dionysos, Aristoteles und Euklid stützt, müssen auch zu den lateinischen Begriffen, die jeweiligen altgriechischen Begriffe aufführen und auch da beachten, daß diese eine eigene Begriffschicht haben könnten – es ist also ein hoher Anspruch den ich an dein vermögen stelle.

Es geht folgend um das Kapitel "VERWANDLUNGSKÜNSTE. DE GEOMETRICIS TRANSMUTATIONIBUS".

Da ist mir aufgefallen, das manche Autoren den Titel der Schrift als "De transmutationes geometricae" und Cusanus als "De geometricis transmutationibus" angibt – verdreht dies die Bedeutung?

Bedeutung von De transmutationes geometricae

Ja — hier läßt sich schon zu Beginn etwas sauber ordnen:

Die belegte und für deine Arbeit vorzugswürdige Titelform ist De geometricis transmutationibus. So führen das Cusanus-Portal die Schrift in Werkverzeichnis und Chronologie; ebenso zitiert Böhlandt im Literaturteil den Pariser Druck von 1514 mit genau dieser Form. Auch ein Handschriftenkatalog der BAdW gibt als Standardtitel Liber de geometricis transmutationibus an. (Cusanus Portal)

Daneben ist aber auch De transmutationibus geometricis tatsächlich belegt. Diese Form erscheint in älteren Werklisten und Repertorien, etwa bei ARLIMA und in einer biographischen Übersicht zu Nikolaus von Kues. Sie ist also nicht bloß frei erfunden, sondern eine überlieferte bzw. katalogisch verwendete Variante. (Arlima)

Bedeutungsmäßig verdreht diese Umstellung die Sache nicht.

Im Lateinischen können Adjektiv und Substantiv relativ frei gestellt werden. Sowohl geometricis transmutationibus als auch transmutationibus geometricis stehen im Ablativ Plural und hängen von de ab. In beiden Fällen bedeutet der Titel sachlich dasselbe: etwa „Über geometrische Verwandlungen / Umwandlungen“. Die Wortstellung kann den Ton leicht verschieben, aber nicht den Gegenstand der Schrift. (Cusanus Portal)

Die von dir genannte Form De transmutationes geometricae ist dagegen als regulärer lateinischer Titel sehr wahrscheinlich falsch. Nach de erwartet man hier den Ablativ, nicht den Nominativ. Grammatisch korrekt wären also nur Formen wie de geometricis transmutationibus oder de transmutationibus geometricis. Transmutationes geometricae ohne de könnte allenfalls als verkürzte Nennform „Die geometrischen Verwandlungen“ stehen, aber nichtals derselbe lateinische De-Titel.

Für deine weitere Arbeit würde ich deshalb so verfahren:

Arbeitsform: De geometricis transmutationibus

Variantenhinweis bei erster Nennung: „auch überliefert/zitiert als De transmutationibus geometricis“

Deutsche Arbeitsübersetzung: „Über die geometrischen Verwandlungen“ oder „Von den geometrischen Verwandlungen“

Dabei ist „Verwandlungen“ vorerst besser als „Transformationen“, weil „Transformation“ im heutigen mathematischen Ohr schnell zu modern-algebraisch klingt. Für Cusanus liegt zunächst eher eine ältere Schicht von Umwandlung / Überführung / Verwandlung nahe.

Zur griechischen Begriffsschicht schon hier ein wichtiger Vorbehalt:

geometricis läßt sich ohne Schwierigkeit auf γεωμετρικός / γεωμετρία beziehen. Bei transmutationibus gibt es aber nicht einfach ein einziges sicheres griechisches Gegenwort, das man ohne Kontext fest einsetzen dürfte. Je nach Zusammenhang kämen später bei der Sachanalyse eher Näherungen wie μεταβολή oder anderes in Betracht; das sollten wir aber nicht am Titel allein festlegen.

Mein vorläufiges Ergebnis ist daher:

Titel der Schrift bei Cusanus für unsere Arbeit:

De geometricis transmutationibus

Bedeutungsunterschied zur Variante De transmutationibus geometricis: keiner im Kern

De transmutationes geometricae: sehr wahrscheinlich grammatischer Fehlansatz oder Zitierfehler

Schick mir als Nächstes gern die erste lateinische Stelle aus diesem Kapitel; dann beginne ich mit unserem Verfahren ab Schritt 1.

geometricis transmutationibus

Danke für die Aufklärung - wir sind nicht fertig damit – wir steigern erstmal deine technische Güte in Sachen Übersetzungen und Bedeutungen der Begriffe hoch.

Deinen Vorgaben nach ist "Verwandlungen" meinerseits an dich gerichteter Vorgaben für Übersetzungen möglicherweise die schlechteste Variante zu "transmutationibus".

Wende das Verfahren einschlich der Überprüfung der altgriechischen Begriffsschicht auf den Titel an, und du wirst gewiß bemerken, was ich in Sachen meines Anspruch an technischer Güte der Übersetzung meine.

Für die algriechische Begriffsschicht wid für Transmutation μετάθεσις mutmaßlich für Transmutation zutreffender sein als μεταβολή. Für den Gebrauch altgriechischer Begriffe richten wir und maßgebend nach https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3atext%3a1999.01.0085

Wenn du Wörter auf Altgriechisch gibst, dann bitte mit der deutschen Umschrift in Klammern angehängt, also vergleichsweise μετάθεσις (metáthesis).

Analyse geometricis transmutationibus

Ja — jetzt auf der von dir verlangten strengeren Stufe.

Der editorisch maßgebliche Titel ist für unsere Arbeit weiterhin De geometricis transmutationibus; die umgestellte Form De transmutationibus geometricis ist als Varianten- oder Katalogform ebenfalls belegt. Die Form De transmutationes geometricae paßt dagegen nicht in dieselbe lateinische Konstruktion, weil die beiden belegten De-Titel jeweils mit dem Ablativ Plural arbeiten. Die Wortumstellung zwischen geometricis transmutationibus und transmutationibus geometricis ändert den Gegenstand nicht, sondern nur die Stellung der Wörter. (Cusanus Portal)

Entwurf geometricis transmutationibus

1) Erster Entwurf

Über geometrische Transmutationen

Das ist absichtlich noch keine schöne deutsche Lösung, sondern eine Sicherungsübersetzung.

Warum? Weil jedes sofort eingetragene Alltagswort — etwa Verwandlungen, Umwandlungen, Transformationen — bereits eine Deutung mitschleppt, die der lateinisch-griechischen Schicht vorgreifen kann.

2) Begriffsschicht-Tabelle

Titelteil	lateinische Schicht	griechische Begriffsschicht	sachnahe Annäherung im Deutschen	Gefahr
De	„über / von“	περί (perí)	über	kaum problematisch
geometricis	„geometrisch“, zu Geometrie gehörig	γεωμετρικός(geōmetrikós), zu γεωμετρία (geōmetría) gehörig	geometrisch	heute oft zu eng als bloßes Schulfach verstanden
transmutationibus	zu transmūtātio: allgemeiner „Änderung“, speziell auch „Verschiebung / Transposition“	am nächsten: μετάθεσις(metáthesis); weiter und ungenauer: μεταβολή(metabolḗ)	Versetzung / Überführung / Umsetzung	„Verwandlung“ wird zu qualitativ; „Transformation“ zu modern-mathematisch
De geometricis transmutationibus	über geometrische transmutationes	am ehesten: περὶ γεωμετρικῶν μεταθέσεων (perì geōmetrikōn metathéseōn)	über geometrische Versetzungen / Überführungen	je nach deutscher Wahl geht Positionalität oder Sachweite verloren

Der entscheidende Punkt liegt bei transmutationibus.

Lewis–Short gibt für transmūtātio zunächst allgemein „Änderung“, dann aber ausdrücklich auch eine Verschiebung / Transposition an; LSJ gibt für μετάθεσις als Kurzbestimmung transposition und dann als ersten Sinn change of position, transposition. Dagegen ist μεταβολή im LSJ erheblich weiter: change, changing, dann Übergang, Wechsel, Umschlag, Wechselfall, sogar Tausch. Für diesen Titel ist also μετάθεσις (metáthesis) deutlich näher als μεταβολή (metabolḗ). (Scaife ATLAS)

Auch geometricis ist wichtiger, als es auf den ersten Blick scheint.

LSJ zeigt bei γεωμετρικός nicht nur „zur Geometrie gehörig“, sondern Bezüge auf ἀριθμός (arithmós), ἰσότης (isótēs), ἀναλογία (analogía), ἁρμονία (harmonía), θεωρήματα (theōrḗmata). Das spricht dafür, geometricis nicht modern verengt zu lesen, sondern als „der geometrischen Betrachtungs- und Beweisweise zugehörig“. (Scaife ATLAS)

3) Zweiter Entwurf

Über geometrische Versetzungen

Das ist jetzt die technisch nähere deutsche Fassung, weil sie den Zug von μετάθεσις (metáthesis) — also Lagewechsel, Umstellung, Versetzung — besser trifft als Verwandlung.

Eine lesbarere, aber bereits weichere Nebenfassung wäre:

Über geometrische Überführungen

Die ist im Deutschen flüssiger, verliert aber etwas von der positionalen Schärfe.

4) Rückübersetzung

Wenn wir „Über geometrische Versetzungen“ zurückführen, landen wir sinngemäß bei:

περὶ γεωμετρικῶν μεταθέσεων (perì geōmetrikōn metathéseōn)
lateinisch näherungsweise wieder bei einer Schicht um geometricae transpositiones / transmutationes

Wenn wir dagegen „Über geometrische Verwandlungen“ zurückführen, driften wir leicht in eine andere griechische Schicht, eher Richtung:

περὶ γεωμετρικῶν μεταβολῶν (perì geōmetrikōn metabolôn)

und damit bereits in den breiteren Sinnbereich von Wechsel / Wandel / Umschlag.

5) Vergleich der Bedeutungsabweichung

Verwandlungen

ist für diesen Titel schwach, weil das deutsche Wort leicht einen Wesens- oder Gestaltwandel nahelegt. Das paßt eher zu einem breiten Wandelbegriff und weniger zu Versetzung / Transposition. Die griechische Rücknähe zu μετάθεσις (metáthesis) geht dabei zurück. (Scaife ATLAS)

Umwandlungen

ist weniger problematisch als Verwandlungen, bleibt aber immer noch recht weit und öffnet den Sinn stark in Richtung μεταβολή (metabolḗ).

Transformationen

ist für einen heutigen Leser zwar bequem, aber sachlich heikel, weil es sofort den modernen mathematischen Begriffshorizont aktiviert.

Versetzungen

trifft die metathetische Schicht am besten, kann aber im heutigen Deutsch etwas hart oder ungewohnt klingen.

Überführungen

ist lesbarer, doch bereits interpretierend.

Transmutationen

ist historisch sperriger, aber als Sicherungswort nützlich, weil es noch nicht vorschnell modernisiert.

6) Finaler Entwurf

Mein derzeitiges Urteil lautet daher:

Arbeitsübersetzung mit höchster technischer Vorsicht:

De geometricis transmutationibus = „Über geometrische Transmutationen“

Sachlich beste deutsche Zielübersetzung:

De geometricis transmutationibus = „Über geometrische Versetzungen“

Und der wichtigste Befund für deinen Einwand ist:

Ja, „Verwandlungen“ ist hier wahrscheinlich eine der schwächeren Lösungen, weil es die Titelbewegung zu stark in den Bereich des allgemeinen Wandels zieht, während transmūtātio in Verbindung mit der näherliegenden griechischen Schicht μετάθεσις (metáthesis) eher auf Versetzung / Umstellung / Überführung in anderer Lage weist. (Scaife ATLAS)

Mein Vorschlag für die weitere Arbeit ist daher:

im Fließtext vorerst: „De geometricis transmutationibus“
daneben in Klammern: „Über geometrische Versetzungen“
und als Kontrolllemma im Kopf behalten: μετάθεσις (metáthesis), nicht primär μεταβολή (metabolḗ)

Als nächsten Schritt können wir jetzt noch transmutatio / μετατίθημι / μετάθεσις selbst bis auf die Wurzel- und Gebrauchsschicht auseinandernehmen, bevor wir in den eigentlichen Text gehen.

Cusanus Erläuterung zu geometricis transmutationibus

Reflektiere, kommentiere und berichtige gegebenenfalls meine folgenden Aussagen und Eindrücke

Danke.

1) In einer früher ähnlichen Faregstellung hast du mir folgendes darüber hinausgehend vermittelt:

1a) "Wichtiger noch: Cusanus erklärt im Text selbst, was er unter transmutatio versteht. Für ihn ist das nicht irgendeine allgemeine „Verwandlung“, sondern eine geometrische Kunst des Überführens: Linie in Linie, Fläche in Fläche, Körper in Körper. Er nennt das sogar eine ars transmutatoria. Danach arbeitet er mit Verben wie vertere, resolvere, transferre, commutare. Das zeigt bereits am Titel: Der Ausdruck ist operativ-konstruktiv, nicht bloß poetisch oder metaphysisch."

Dazu auch:

1b) "Zuerst die feste Grundlage: Die maßgebliche Form ist De geometricis transmutationibus. So führen Cusanus-Portal und EOS den Text, und das Incipit lautet ausdrücklich „liber de geometricis transmutationibus“. Die umgestellte Form De transmutationibus geometricis ist als Katalog-/Repertoriumsvariante ebenfalls belegt, aber die Sache bleibt dieselbe."

2) Arbeitstitel

2a) Arbeitstitel ist daher "Buch über geometrischen Transmutationen". Cusanus hat in seinem Codex seine wichtigsten Schriften eigens zusammengestellt und für den Buchdruck freigegeben und im ersten Buchdruck wurde "Liber…" genutzt – In meinem Glossar füge ich dann die Bedeutungen gemäß der Begriffsschicht zu den von uns ermittelten Fachbegriffen auf.

2b) Der Buchtittel "setzt den Rahmen" für die Anwendung und Verwendung des Buch, sowie bestimmt er, in welchem Kontext darn enthaltene Aussagen seitens des Autor wahr, gut, richtig, nützlich, inwieweit auch schon und insgesamt Gültigkeit haben, geltend sind und muß einem Leser an sich dargelegt werden, wie es Cusanus auch eigens tat. Wir brauchen also zu Anfang eine Erläuterung des Buchtitel mit auf Cusanus stützende verifizierte Begründungen. Da sich die Übersetzer und Forscher darin täuschten müssen wir uns dahingehend auf den lateinischen Text begrenzen, also die dazu benötigten Angaben aus der zuverlässigsten Quelle entnehmen, welche du unter folgdendem Link findest.

3) Euklidische Begriffsschicht der Stoicheia

Das Altgriechische dient der Überprüfung und es gilt zu beachten, daß dem Übergang von Stoicheia des Euklid auf Altgriechisch zur Elemeta des Boethius und oder Campanus ein Paradigmenwechsel von vergleichsweise sēmaínō "Zeichen "und pleurā́ (kontinuierlichen Strichen) ohne Wirkkraft zu Punkten und aus Punkten bestehenden Linien mit Wirkkraft einhergeht – das haben wir zusammen zuvor bei der Übersetzung von Stoicheia festgestellt.

4) Nun kennst du meinen Anspruch an die und das Verfahren für die Übersetzung um eine hohe technische Güte zu erlangen. Das hat folgenden Hintergrund:

Meine Mutmaßung ist, daß Cusanus mit lateinischen Begriffen eher den damit verbundenen griechischen Vorstellung als mit den späteren Bedeutungen denkt und erklärt, er jedoch in seinen Aussagen nach den späteren Bedeutungen bemessen, bewertet und daher nur scheinbar von ihm nachfolgenden Mathematikern widerlegt wird. Cusanus wird als Mathematiker benannt, ist es jedoch nach meinem Eindruck eher im platonischen Sinne der mathemata und nicht ein Logistoi, welcher eher einem heutigen Mathematiker entspräche – oder?

Auswertung Cusanus Erläuterung zu geometricis transmutationibus

Ich prüfe jetzt die belastbaren Punkte direkt an Werkverzeichnis, Incipit und — soweit online greifbar — am lateinischen Text selbst. Dabei trenne ich zwischen dem, was Cusanus ausdrücklich sagt, und dem, was darüber hinaus deine Deutung oder eine plausible Arbeitshypothese ist.

Ein sachlicher Korrekturpunkt ist schon sicher: Die Aussage, Cusanus habe diesen Text „für den Buchdruck freigegeben“, ist in dieser Form zu stark. Die Pariser Ausgabe von 1514 ist postum und von Lefèvre d’Étaples herausgegeben; zugleich zeigt die Editionsgeschichte aber, dass Cusanus sehr wohl eigene Handschriftenkonvolute geprüft und annotiert hat — nur eben nicht diese Druckausgabe selbst.

Ja. Ich gehe Punkt für Punkt und trenne dabei Befund, Kommentar und Berichtigung.

Vorab nur dies: Den von dir angekündigten „folgenden Link“ hast du in dieser Nachricht nicht mitgesendet. Für die jetzt nötigen Korrekturen reichen aber bereits der EOS-Text und das Cusanus-Portal. (EOS)

Anmerkungen Cusanus Erläuterung zu geometricis transmutationibus

1) Zu 1a und 1b

1a ist im Kern richtig, aber eine Formulierung sollte präzisiert werden.

Cusanus bestimmt den Gegenstand der Schrift tatsächlich operativ-konstruktiv: „Omnis autem transmutatio in geometricis figuris est vel lineae in lineam, vel superficiei in superficiem, aut corporis in corpus.“ Danach arbeitet er fortlaufend mit Verben wie vertere, resolvere, transferre, commutare; also nicht poetisch, sondern verfahrensbezogen. Auch die Rede von einer Kunst ist textnah: Er spricht von der „perfectio transmutatoriae artis“, von „transmutatoriae artis“ und zuvor von einer „artem novam“. Was ich früher sagte, sollte daher so berichtigt werden: Nicht einfach „er nennt es sogar eine ars transmutatoria“ als freistehende Zitatformel, sondern genauer: er spricht ausdrücklich von einer transmutatorischen Kunst, und zwar in den Formulierungen „perfectio transmutatoriae artis“ bzw. „transmutatoriae artis“. (EOS)

1b ist sachlich richtig.

Die maßgebliche Titelform ist De geometricis transmutationibus; das Werkverzeichnis des Cusanus-Portals führt es so, und die EOS-Ausgabe bietet als Incipit ausdrücklich: „… liber de geometricis transmutationibus Nicolaus de Cusa cardinalis.“ Die umgestellte Form De transmutationibus geometricis mag als Varianten- oder Katalogform vorkommen, aber für deine Arbeit ist De geometricis transmutationibus die sauberste Leitform. (Cusanus Portal)

2) Zu 2a

Hier würde ich zwei Korrekturen setzen.

Erstens: „Buch über geometrischen Transmutationen“ ist im Deutschen grammatisch falsch. Wenn du liber ausdrücklich mitführen willst, dann heißt es: „Buch über geometrische Transmutationen“. Noch näher am lateinischen Incipit wäre: „Liber de geometricis transmutationibus“ = „Buch über geometrische Transmutationen“. (EOS)

Zweitens: Die Aussage, Cusanus habe diese Schrift für den Buchdruck freigegeben, ist in dieser Form zu stark und für dieses Werk eher zu berichtigen. Die Pariser Druckausgabe von 1514 ist postum und wurde von Jacques Lefèvre d’Étaples herausgegeben. Zugleich zeigt die Überlieferung, dass Cusanus andere Handschriftenkonvolute, insbesondere C/Cu, prüfen und annotieren ließ; aber gerade für De geometricis transmutationibus sagt die EOS-Einleitung ausdrücklich, der Traktat fehle in a und m, „poiché Cusano non volle che il trattato fosse ripreso nei codici C/Cu“. Das heißt: Cusanus hat eigene Codices kontrolliert, aber dieses Werk gerade nicht in den späteren C/Cu-Sammelcodex übernehmen lassen; die Druckausgabe von 1514 ist nicht seine eigene Druckfreigabe. (EOS)

Daher würde ich deinen Satz so berichtigen:

Arbeitstitel: De geometricis transmutationibus — deutsch zunächst „Buch über geometrische Transmutationen“oder kürzer „Über geometrische Transmutationen“.

Nicht sagen würde ich: „von Cusanus für den Buchdruck freigegeben“.

Sagen würde ich: „postum 1514 gedruckt; der Text ist handschriftlich überliefert, während Cusanus bei anderen Sammelcodices selbst korrigierend eingriff.“ (EOS)

2b) Zum Titel als Rahmen

Dem stimme ich im Grundsatz zu, aber ich würde es etwas enger und textnäher fassen.

Ja: Der Titel setzt einen Problem- und Verfahrensrahmen. Bei Cusanus ist das hier nicht bloß ein Etikett, sondern wird im Proömium und in der Kapitelgliederung sofort entfaltet: Er nennt als Problem die Gleichheit bzw. wechselseitige Transmutation von Geradem und Krummem, spricht von einer „artem novam“, und sagt sogar, dass von dieser unbekannten Kunst nicht nur die geometrische Transmutation abhänge, sondern auch eine „introductio ad altiora ascendendi“ darin vorgebildet sei. Danach gliedert er die Schrift ausdrücklich in drei Teile: Linie in Linie, Fläche in Fläche, Körper in Körper. (EOS)

Ich würde also nicht sagen: Der Titel bestimme schon vollständig, was im Buch „wahr, gut, richtig, nützlich“ sei. Das ist zu weit. Ich würde sagen: Titel + Proömium + Kapitelbau + operative Verben geben den hermeneutischen Rahmen vor, innerhalb dessen die Einzelaussagen zu lesen sind. Gerade hier ist das wichtig, weil Cusanus das Verfahren selbst als geometrische Kunst des Überführens entfaltet. (EOS)

3) Zur „euklidischen Begriffsschicht der Stoicheia“

Hier bin ich bei der Methode mit dir, aber vorsichtiger bei der Verallgemeinerung.

Als Kontrollinstrument ist die griechische Begriffsschicht sinnvoll: Sie kann helfen zu prüfen, ob ein späteres lateinisches oder modernes Wort eine frühere Sachschicht verschiebt. Für den jetzigen Titel ist diese Kontrolle besonders bei transmutatio wichtig, weil das Wort im Deutschen leicht falsch in Richtung „Verwandlung“ gezogen wird. Zugleich zeigt aber gerade dieser Traktat, dass wir nicht vom Griechischen aus gegen den lateinischen Text arbeiten dürfen, sondern umgekehrt: Der lateinische Text selbst spezifiziert seine eigene Terminologie operativ durch linea / superficies / corpus und durch vertere / resolvere / transferre / commutare. Das hat hier methodischen Vorrang. (EOS)

Deine stärkere These eines Paradigmenwechsels von griechischer zu später lateinischer Geometriesprache halte ich als Arbeitshypothese für brauchbar, aber in dieser allgemeinen Form noch nicht für ausreichend gesichert. Aus den jetzt geprüften Quellen kann ich das so allgemein nicht verifizieren. Für unsere Arbeit heißt das: Die griechische Schicht dient der Kontrolle; die Primärbindung bleibt der konkrete lateinische Wortgebrauch des jeweiligen Textes.

4) Zu deiner Mutmaßung über Cusanus als „Mathematiker“

Hier liegt nach meinem Urteil ein richtiger Kern vor, aber zwei Zuspitzungen würde ich zurücknehmen.

Der richtige Kern ist: Cusanus ist nicht als moderner Algebraiker oder Rechner zu lesen. Die neuere Forschung beschreibt ihn einerseits als Denker mit starken Wurzeln in Proklos und Dionysius, andererseits auch als Autor einer mathematical theology; zugleich zeigen seine mathematischen Schriften, dass er geometrische Probleme mit logisch-geometrischen Verfahren bearbeitet und seine Mathematik immer wieder an „Höheres“ rückbindet. Das paßt gut zu deiner Intuition, dass seine Mathematik nicht in erster Linie die eines neuzeitlichen Rechenmathematikers ist. (Stanford-Enzyklopädie der Philosophie)

Die erste Zuspitzung, die ich zurücknehmen würde, ist: „Cusanus wird als Mathematiker benannt, ist es aber eigentlich nicht.“

Das würde ich nicht sagen. Er ist sehr wohl Mathematiker im Sinn seiner Zeit: Er verfaßt mathematische Traktate, gibt Konstruktionen an, arbeitet mit Proportionen, Quadratur- und Rektifikationsproblemen, und ordnet diese Verfahren systematisch. Er ist nur nicht Mathematiker im Sinn späterer algebraischer Analysis. (EOS)

Die zweite Zuspitzung ist: Er werde nur scheinbar widerlegt, weil spätere Leser ihn mit späteren Bedeutungen messen.

Das ist mir zu pauschal. Richtig ist: anachronistische Terminologie kann Cusanus verfälschen. Ebenso richtig ist: sein eigener Problemhorizont ist nicht der eines neuzeitlichen Formalismus. Aber daraus folgt nicht, dass spätere mathematische Einwände bloß Schein seien. Die EOS-Einleitung urteilt ausdrücklich, die mathematischen Resultate seien im Ergebnis nicht erfolgreich, während die historische Bedeutung im Ansatz, in der Denkform und in der Wirkung liege. Beides muß getrennt werden: historisches Verständnis und mathematische Gültigkeit. Ein Text kann historisch falsch gelesen worden sein und dennoch mathematisch kein tragfähiges Resultat liefern. (EOS)

Mein zusammenfassendes Urteil zu deinem letzten Absatz lautet daher:

Ja, deine Grundrichtung ist tragfähig: Cusanus ist eher aus einer älteren, proportionen- und geometriegetragenen Denkwelt zu lesen als aus moderner Algebra.
Ja, die Rückfrage an die griechische Begriffsschicht kann nötig sein.
Nein, daraus folgt noch nicht allgemein, dass spätere Widerlegungen nur auf Mißverständnissen beruhen.
Besser formuliert wäre: Cusanus ist mathematischer Autor in spätmittelalterlich-platonisch geprägtem Sinn; seine Texte verlangen historische Begriffskontrolle, ohne dass dadurch die Frage nach der mathematischen Tragfähigkeit seiner Resultate aufgehoben wäre.

Für die weitere Arbeit würde ich jetzt als feste Anfangsnotiz zum Werk so ansetzen:

De geometricis transmutationibus

nicht: „Verwandlungen“,

zunächst: „geometrische Transmutationen“,

sachlich erläutert als geometrische Überführungen/Versetzungen zwischen Figurenarten,

im Text selbst operativ bestimmt als Linie in Linie, Fläche in Fläche, Körper in Körper. (EOS)

Schick mir als Nächstes entweder den von dir erwähnten Link oder die erste Stelle aus Böhlandts Kapitel, dann ziehe ich daraus eine saubere Anfangserläuterung für dein Glossar.

Erläuterung zum Titel

Der Link zu EOS ist richtig: https://edition-open-sources.org/sources/13/7/index.html

Die genaueren Daten zur Drucklegung und Handschriftenkonvolute kannte ich nicht – Danke für die Berichtigung – werde ich beachten.

Daher mein OK: „Über geometrische Transmutationen“. (Was auch geläufiger ist).

Nun, der Buchtitel setzt den Rahmen, es geht nicht um Bienenstöcke und Honig, im Text kommen dann weitere Einengungen, Begrenzungen und Ausschließungen.

Das Latein des Cusanus ist eher wortwörtlich als interpretativ zu nehmen und man bedenke, daß er Kontakt zu vielen Übersetzern hatte, die im Rahmen der Übersetzung antziker Schriften ihm Zugang zu den eigentlichen griechischen Begriffen und deren Bedeutungen gaben und er eigens in De docta ignorantia vermittelt, daß griechische Begriffe nicht einfach ins Latein zu übersetzen sind und er wahr ein Befürworter antike Texte aus dem Altrgriechisch neu zu übersetzen, was er teils auch eigens beauftragte. Er nutzte die lateimnischen begriffe, erfand neue Begriffe und war sich der Denkmiuster der Antike offenbar bewußt, od und inwieweit er diese verwendete ist noch nicht philiologisch ermittelt oder verifiziert.

In "Sachen den Unterschied Cusanus als Mathematiker zu heutigen Mathematikern zu verdeutlichen" hast du lediglich bestätigt und bekräftigt – wir haben den gleichen Eindruck.

Fangen wir also mit dem Titel des Buch oder Büchlein an.

Erstelle nun bitte für „Über geometrische Transmutationen“ aus der EOS-Quelle für Lese eine Erläuterung des Titele und begründe diesen anhand der Aussagen, die Cusanus eigens in De geometricis transmutationibus über sein Werk macht,

Erstellung der Erläuterung zum Titel

Ich ziehe jetzt direkt aus der EOS-Quelle die Stellen heran, an denen Cusanus den Gegenstand, den Aufbau und den Zweck seines Werkes selbst bestimmt. Danach formuliere ich daraus eine Titel-Erläuterung für dein Lesen, ohne den Sinn modern umzubauen.

Ja. Hier ist eine Lese-Erläuterung des Titels, eng an die EOS-Quelle gebunden und nur mit dem begründet, was Cusanus in De geometricis transmutationibus selbst über sein Werk sagt. (edition-open-sources.org)

Titel

De geometricis transmutationibus

Für das Lesen: „Über geometrische Transmutationen“

Mit dem Incipit auch ausdrücklich als Buch gefaßt: „liber de geometricis transmutationibus“. (edition-open-sources.org)

Erläuterung des Titels für den Leser

Der Titel sagt zuerst nicht alles, aber er setzt den ersten und richtigen Rahmen:

Es geht um geometrische Gegenstände und um deren Transmutationen, also nicht um beliebige Veränderungen, sondern um ein bestimmtes geometrisches Überführen. Das zeigt Cusanus gleich im Eingang daran, daß er das ungelöste Problem als Frage nach der Gleichheit des Geraden und des Krummen oder ihrer wechselseitigen Transmutation bestimmt. Damit ist von Anfang an klar: Der Titel benennt kein loses Thema, sondern die Kunst, zwischen verschiedenen geometrischen Gestalten und Bestimmungsweisen überzugehen. (edition-open-sources.org)

Cusanus engt diesen Rahmen im Werk selbst sofort weiter ein. Er sagt, die von ihm gesuchte Kunst verlange außer dem schon in der Geometrie Überlieferten die Überführung des Krummen ins Gerade und des Geraden ins Krumme. Damit wird deutlich, daß transmutatio hier nicht als bloßer allgemeiner „Wandel“ gemeint ist, sondern als operative geometrische Überführung, besonders dort, wo Gerade und Krumme einander gegenüberstehen. (edition-open-sources.org)

Zugleich erklärt Cusanus, daß er nach vielen vergeblichen Versuchen auf eine „neue Kunst“ gekommen sei. Von dieser bisher unbekannten Kunst, so sagt er, hänge nicht nur die Vollendung der geometrischen Transmutation ab, sondern in ihr sei auch ein Aufstieg zu Höherem vorgebildet. Das heißt für das Lesen: Der Titel ist zwar zunächst mathematisch-geometrisch, aber Cusanus versteht seine geometrische Kunst zugleich als etwas, das über die Einzelkonstruktion hinausweist. Der Titel ist also geometrisch im unmittelbaren Gegenstand und höher ausgreifend in der Absicht, ohne daß dadurch sein erster Sinn aufgehoben würde. (edition-open-sources.org)

Wie eng und sachlich Cusanus den Titel meint, zeigt dann der Bau des Traktats selbst. Die Kapitelgliederung zerlegt die „Transmutationen“ ausdrücklich in drei Bereiche: Linien ineinander, Flächen ineinander und Körperfiguren ineinander. Schon daran sieht man, daß „Transmutationen“ hier ein Arbeitswort für ein geordnetes geometrisches Verfahren ist: Es geht um Überführungen innerhalb der geometrischen Gattungen und nach festen Bestimmungen, nicht um freie metaphorische Rede. (edition-open-sources.org)

Diese operative Bedeutung bestätigt Cusanus noch einmal, wenn er die gesuchte Kunst in Aufgabenform faßt: Es müsse etwa zu einer gegebenen Geraden eine gleiche Kurve gegeben werden; ferner müsse entsprechend dem Verhältnis von Kurve zu Kurve eine Gerade zu einer Geraden gegeben werden; dann zwei Proportionalen zwischen gegebenen Linien; schließlich zu drei gegebenen Größen die vierte. Er sagt sogar, in diesen Forderungen sei alles eingeschlossen, was dieser transmutatorischen Kunst dienlich sei. Das ist für den Titel entscheidend: transmutatio meint hier eine regelgeleitete geometrische Kunst des Konstruierens und Überführens. (edition-open-sources.org)

Verdichtete Titelerklärung

Für dein Lesen würde ich den Titel daher so erläutern:

„Über geometrische Transmutationen“ heißt bei Cusanus: ein Buch über die Kunst, geometrische Figuren und Bestimmungen nach festen Verhältnissen ineinander zu überführen — insbesondere im Problemfeld von Gerade und Krummem, weiter entfaltet als Überführung von Linien, Flächen und Körperfiguren. (edition-open-sources.org)

Noch knapper, als Glossar-Eintrag

De geometricis transmutationibus = Über geometrische Transmutationen.

Bei Cusanus nicht: bloße „Verwandlungen“ im allgemeinen Sinn,

sondern: eine geometrische Kunst der Überführung von Figuren und Verhältnissen ineinander; im Werk besonders bestimmt durch das Problem von Geradem und Krummem und durch die Gliederung in Linien-, Flächen- und Körper-Transmutationen. (edition-open-sources.org)

Ein kleiner sprachlicher Zusatz noch:

Für diesen Anfang ist „Über geometrische Transmutationen“ gut, weil das Wort Transmutationen noch offen genug ist, um nicht vorschnell moderne Deutungen einzutragen. Die genauere sachliche Füllung erhält es bei Cusanus erst durch seine eigenen Bestimmungen im Proömium und durch den Kapitelbau. (edition-open-sources.org)

Als nächsten Schritt kann ich daraus eine förmliche Einleitung für dein Glossar machen, in einem nüchternen Stil, den du direkt in deine Arbeitsunterlagen übernehmen kannst.

Vier Prämissen

Danke für den Entwurf zum Titel, es ist von mir angenommen.

Wir werden nun nicht De geometricis transmutationibus übersetzen, sondern wir gehen wie angekündigt das Buch "Verborgene Zahl – Verborgener Gott" von Marco Böhlandt durch, übersetzen darin angeführte lateinische und altgriechische Anmerkungen und verifizieren diese, klären gegebenenfalls meine Rückfaragen dazu.

Der Autor macht folgende Angaben zur Kreisquadratur: Vier Prämissen setzt Nikolaus im Geiste der Axiomatik der eigentlichen Quadratur voran. Sie sind im Einzelnen überschrieben:

Ut datae rectae detur aequalis curva
Ut [...] habitudinem curvae ad curvam detur recta ad rectam
Ut inter duas lineas rectas duae proportionales continuae assignetur
Ut secundum habitudinem duarum datarum sciatur ad tertiam datam dari quarta^[1]

(Ende des Auszug.)

Führe nun die Schritte unseres dazu aufgestellten Übersetzungsverfahren für diese Sätze aus.

Analyse Vier Prämissen

Ich gleiche jetzt die zitierte Stelle direkt mit dem EOS-Text ab und arbeite sie dann in unseren sechs Schritten durch: erst nah an der Begriffsschicht, dann Begriffstabelle, dann Glättung, Rückübersetzung und Bedeutungsvergleich.

Gern. Vorab zwei saubere Verifikationen zum Ausgangspunkt:

Im EOS-Text von Absatz 6 steht im dritten Punkt nur: ut inter datas lineas duae proportionales assignentur; das von Böhlandt angeführte continuae steht an dieser Stelle des EOS-Textes nicht. Und Cusanus nennt diese vier Stücke hier auch nicht ausdrücklich axiomata oder praemissae, sondern sagt, sie schienen zur sufficientia artis quaesitae, also zur Hinlänglichkeit bzw. Ausreichendheit der gesuchten Kunst, zu gehören. Ausgangsnah lese ich sie daher zuerst als Erfordernisse oder Requisita dieser Kunst, nicht als Axiome im strengen Sinn.

Analyse Vier Prämissen

1) Erster Entwurf

möglichst nah an der damaligen Begriffsschicht, nur schwach geglättet

Es scheint aber zur Hinlänglichkeit der gesuchten Kunst erstens dies zu gehören, daß zu einer gegebenen Geraden eine gleiche Krumme gegeben werde. Zweitens, daß gemäß dem Verhältnis einer Kurven zu einer Kurven eine Gerade zu einer Geraden gegeben werde. Drittens, daß zwischen gegebenen Linien zwei Proportionale zugewiesen werden. Viertens, daß man gemäß dem Verhältnis zweier gegebener [Größen] zu einer dritten gegebenen eine vierte zu geben wisse. Das Erste ist bis hierher unbekannt. Das Zweite noch nicht erwogen. Das Dritte von wenigen dunkel berührt. Das Vierte von vielen klar dargelegt. In diesen ist alles verflochten, was dieser transmutatorischen Kunst dienlich ist, so daß ich, nachdem diese Voraussetzungen, die hierfür notwendig sind, vorausgeschickt sind, es in exemplarischen Subsumptionen zu zeigen versuchen werde.

Zu diesem ersten Entwurf zwei Hinweise.

Erstens habe ich detur / dari absichtlich mit „gegeben werde / zu geben wisse“ stehen lassen, nicht mit „berechnet werde“. Der lateinische Text spricht hier operativ-konstruktiv. Zweitens habe ich habitudinem zunächst mit „Verhältnis“ wiedergegeben, obwohl das Wort breiter sein kann als ein bloß numerischer Quotient; in diesem Zusammenhang liegt aber die Verhältnis-Schicht klar nahe, weil Cusanus sofort mit Proportionalen und der vierten [Proportionalen] weiterarbeitet.

2) Begriffsschicht-Tabelle

mit griechischer Kontrollschicht

Latein	erster deutscher Ansatz	griechische Kontrollschicht	Bemerkung zur Schicht
artis quaesitae sufficientiam	Hinlänglichkeit / Ausreichendheit der gesuchten Kunst	τέχνη (téchnē) als fernste Kontrollschicht	Hier geht es nicht um „Theorie“ oder „Axiomatik“, sondern um das, was für die gesuchte Kunst ausreicht.
datae rectae	einer gegebenen Geraden	εὐθεῖα (eutheîa) bzw. εὐθεῖα γραμμή (eutheîa grammḗ)	„gegeben“ ist konstruktiv zu lesen: als vorgelegt / angesetzt / gegeben.
aequalis curva	eine gleiche Krumme	naheliegend: καμπύλη (kampýlē) / καμπύλος (kampýlos) als Kontrollschicht	„Kurve“ ist moderner; im ersten Entwurf ist „Krumme“ näher an der alten Gegenschicht zu „Gerade“.
secundum habitudinem	gemäß dem Verhältnis	λόγος (lógos), auch ἀναλογία(analogía) als Kontrollschicht	habitudo ist weiter als bloßes Rechnen; hier aber verhältnishaft.
curvae ad curvam ... recta ad rectam	Kurve zu Kurve ... Gerade zu Gerade	λόγος (lógos) zwischen Größen	Nicht notwendig Zahlverhältnis, sondern Verhältnisbestimmtheit von Größen.
duae proportionales	zwei Proportionale	ἀνάλογα (análoga) / ἀναλογία(analogía)	Im EOS-Text hier ohne continuae.
ad tertiam datam dari quarta	zu einer dritten gegebenen eine vierte zu geben	naheliegend: τέταρτον ἀνάλογον(tétarton análogon) als mathematische Kontrollschicht	Gemeint ist sachlich die vierte Proportionale; der lateinische Satz bleibt dabei operativ.
ignotum / consideratum / tactum / explicatum	unbekannt / erwogen / berührt / dargelegt	–	Die Staffelung ist wichtig: unbekannt, noch nicht bedacht, nur dunkel berührt, klar dargelegt.
complicatur in his omne	in diesen ist alles verflochten / mitenthalten	–	complicare trägt die Schicht des Ineinandergefalteten, nicht bloß des Aufgezählten.
in exemplaribus subsumptionibus	in exemplarischen Subsumptionen	–	Das ist heikel; nicht vorschnell zu „Beispielen“ oder „Berechnungen“ verflachen.

Für die griechische Kontrollschicht sind besonders tragfähig: εὐθεῖα für die Gerade, καμπύλος / καμπύλη für das Gekrümmte, λόγος und ἀναλογία für Verhältnis/Proportion. Diese griechischen Wörter dienen hier aber als Kontrollschicht, nicht als Beweis dafür, daß Cusanus genau diese Wörter im Kopf hatte. Bei καμπύλος zeigt LSJ ausdrücklich die Opposition zu εὐθύς, und bei ἀναλογία gibt die Perseus/Scaife-Lexikographie direkt „proportion“ an.

3) Zweiter Entwurf

geglättet, aber noch sachnah

Es scheint für die Ausreichendheit der gesuchten Kunst vor allem dies erforderlich zu sein: erstens, daß zu einer gegebenen Geraden eine ihr gleiche Kurve angegeben werde; zweitens, daß entsprechend dem Verhältnis einer Kurve zu einer Kurve eine Gerade zu einer Geraden angegeben werde; drittens, daß zwischen gegebenen Linien zwei Proportionale angesetzt werden; viertens, daß man entsprechend dem Verhältnis zweier gegebener [Größen] zu einer dritten gegebenen eine vierte anzugeben wisse. Das Erste ist bislang unbekannt. Das Zweite noch nicht in Betracht gezogen. Das Dritte ist von wenigen nur dunkel berührt worden. Das Vierte ist von vielen klar dargelegt worden. In diesen vier Stücken ist alles enthalten, was für diese transmutatorische Kunst dienlich ist; nachdem diese Voraussetzungen, die hierfür nötig sind, vorausgeschickt sind, werde ich versuchen, es in exemplarischen Subsumptionen zu zeigen.

Hier habe ich nur an wenigen Stellen geglättet: „Krumme“ zu „Kurve“, „zugewiesen“ zu „angesetzt“, „bis hierher“zu „bislang“. Inhaltlich bleibt die Grundfigur dieselbe.

4) Rückübersetzung

zur Kontrolle dessen, was der deutsche Text schon verschiebt

Wenn man den zweiten Entwurf rückwärts prüft, ergibt sich ungefähr wieder dies:

„Ausreichendheit der gesuchten Kunst“ → sufficientia artis quaesitae
„eine ihr gleiche Kurve angeben“ → datae rectae detur aequalis curva
„entsprechend dem Verhältnis“ → secundum habitudinem
„zwei Proportionale ansetzen“ → duae proportionales assignentur
„eine vierte anzugeben wissen“ → ad tertiam datam dari quarta ... sciatur
„für diese transmutatorische Kunst dienlich“ → transmutatoriae huic arti opportunum
„in exemplarischen Subsumptionen“ → in exemplaribus subsumptionibus.

Die Rückübersetzung zeigt: Der zweite Entwurf hält die operative Schicht im ganzen fest, aber schon „Kurve“ und „erforderlich“ sind moderner als curva und pertinere. Ebenso wird „In diesen vier Stücken ist alles enthalten“glatter als das stärkere complicatur, das eher ein Ineinandergefaltetsein oder Verflochtensein mitträgt.

5) Vergleich der Abweichung der Bedeutung

Der größte Verlust entstünde, wenn man detur / dari modern mit „berechnet“, „ermittelt“ oder „ausgerechnet“wiedergäbe. Dann würde aus einem konstruktiven Können ein bloß rechnerisches Resultat. Bei Cusanus steht hier zunächst eine Kunst des Gebens, Ansetzens, Findens, Überführens im Vordergrund.

Ein zweiter heikler Punkt ist habitudinem. „Verhältnis“ ist hier brauchbar, aber etwas enger als das lateinische Wort. In diesem Absatz ist die Verengung noch vertretbar, weil die Folgepunkte ausdrücklich zu Proportionalen und zur vierten [Proportionalen] führen. Außerhalb dieses Zusammenhangs könnte habitudo jedoch weiter reichen als bloß ein mathematischer Quotient.

Ein dritter Punkt ist wichtig für deine technische Güte: Böhlandts „duae proportionales continuae“ ist als mathematische Erläuterung verständlich, aber nicht die Wortgestalt des EOS-Textes in Absatz 6. In EOS steht dort nur duae proportionales assignentur. Fügt man continuae ein, dann legt man den Sinn enger auf zwei mittlere, fortlaufende Proportionale fest. Das kann sachlich gemeint sein, ist aber an dieser Stelle bereits eine Schärfung gegenüber dem dortigen Wortlaut.

Der schwierigste Rest ist in exemplaribus subsumptionibus. Hier würde ich noch keine harte Glättungfestschreiben. „In Beispielen“ ist zu schwach, „in Unterbeweisen“ zu eng, „in Anwendungen“ zu modern. Vorläufig halte ich „in exemplarischen Subsumptionen“ oder allenfalls „an exemplarischen Unterordnungen/Unterführungen“ für ehrlicher, bis wir aus dem weiteren Fortgang des Traktats sehen, wie Cusanus diese subsumptiones tatsächlich vollzieht.

6) Finaler Entwurf

Es scheint aber, daß zur Ausreichendheit der gesuchten Kunst vor allem dies gehört: erstens, daß zu einer gegebenen Geraden eine ihr gleiche Kurve gegeben werde; zweitens, daß entsprechend dem Verhältnis einer Kurve zu einer Kurve eine Gerade zu einer Geraden gegeben werde; drittens, daß zwischen gegebenen Linien zwei Proportionale angesetzt werden; viertens, daß man entsprechend dem Verhältnis zweier gegebener [Größen] zu einer dritten gegebenen eine vierte zu geben wisse. Das Erste ist bislang unbekannt. Das Zweite noch nicht erwogen. Das Dritte von wenigen dunkel berührt. Das Vierte von vielen klar dargelegt. In diesen ist alles verflochten, was dieser transmutatorischen Kunst dienlich ist; nachdem diese Voraussetzungen, die hierfür notwendig sind, vorausgeschickt sind, werde ich versuchen, es in exemplarischen Subsumptionen zu zeigen.

Mein sachliches Zwischenurteil dazu:

Cusanus stellt hier nicht einfach vier „Axiome“ auf, sondern vier Erfordernisse der gesuchten Kunst. Und er staffelt sie zugleich historisch: das erste unbekannt, das zweite noch nicht erwogen, das dritte nur dunkel berührt, das vierte schon vielfach klar dargelegt. Das ist eine sehr bewußte Einordnung des eigenen Unternehmens.

Als nächsten Schritt können wir dieselben vier Punkte jetzt einzeln auseinandernehmen, besonders

aequalis curva, habitudo, duae proportionales, quarta,

denn gerade dort sitzt der Übergang zwischen alter Proportionsmathematik und moderner Fehllektüre.

Vergleich Böhlandt Referenzen

Zu griechische Kontrollschicht:

Ich denke nicht, das Cusanus in den griechischen Begriffen dachte. Diese Kontrollschicht soll den Bedeutungswandel und Veränderungen aufzeigen und ob Cusanus aufgrund dessen zu Fehlannahmen gelangt sein könnte. Unsere Logik ist hierbei, daß die Stoicheia und die Elementa zwei verschiedenen Ansichten auf Dasselbe schauen, jedoch nicht Dasselbe sind.

Danke für den Entwurf. Jetzt stöbern wir zuerst auf, was den Autor dazu veranlasst den Text auf den er sich bezieht zu "verändern". und Böhlandt gibt als Referenzen zum einen die Meiner Übersetzung von Hofmann und die Ausgabe von EOS an.

Der Absatz wurde vom Meiner Verlag wie folgt übersetzt:

"Um der gesuchten Kunst zu genügen, scheint Folgendes erforderlich zu sein: Erstens: Zu einer gegebenen geraden Linie ist eine gleichgroße gekrümmte anzugeben. Zweitens: Nach dem Verhältnis einer gekrümmten zu einer gekrümmten Linie ist eine gerade zu einer geraden anzugeben. Drittens: Zwischen gegebene Strecken sind zwei Proportionale einzuschieben. Viertens: Nach dem Verhältnis zweier gegebener Strecken ist zu einer dritten gegebenen Strecke eine vierte zu ermitteln. Das Erste war bisher unbekannt, das Zweite noch nicht in Erwägung gezogen, das Dritte nur von wenigen und unklar in Angriff genommen, das Vierte schon von vielen klar entwickelt. Diese vier Punkte umfassen alles, was der erstrebten Kunst der Verwandlung förderlich ist, wie ich durch Setzung eben der erforderlichen Prämissen im einzelnen (exemplaribus subsumtionibus) darzulegen versuchen will."

Anmerkung: In unserer früheren Neuübersetzung von De circuli quadratura haben bereits festgestellt, daß Josepha Hofmann vielfach verfälschend übersetzte, eigens interpretierte und offenbar das Thema nicht verstand.

Nun müssen wir herausfinden, ob Böhlandt eigens für sich den lateinischen Text neu übersetzte, oder ob er sich in seinen Aussagen auf die Aussagen und Übersetzung von Hofmann stützte und sich die eigen Übersetzung des originalen Text erspart hat. Was ermittelst du dahingehend, aus dem Vergleich deines Entwurf, dem Original und der Übersetzung Hofmann's?

Beachte: Böhlandt gibt an die lateinische Werkausgabe der Heidelberger Akademie der Wissenschaften (dort: Band XX (= Scripta Mathematica), erstellt von Menso Folkerts, genutzt zu haben – diese ist in Latein, es ist keine Übersetzung ins Deutsch!

Analyse Böhlandt Referenzen

Ich vergleiche jetzt drei Ebenen: lateinischer Wortlaut, Hofmanns deutsche Fassung und Böhlandts Formulierungsweise. Entscheidend wird sein, ob Böhlandts Darstellung eigenständig am Latein arbeitet oder ob sie die bereits sichtbaren Entscheidungen Hofmanns übernimmt.

Ja — und deine methodische Präzisierung zur griechischen Kontrollschicht ist richtig angesetzt: nicht als Behauptung, Cusanus habe „auf Griechisch gedacht“, sondern als Prüfschicht für Bedeutungsverschiebungen zwischen älterer und späterer Begriffswelt.

Für die Frage nach Böhlandt ist jetzt aber zunächst das Entscheidende: Er selbst sagt im Vorwort, dass er für die mathematischen Schriften die noch nicht endgültige lateinische Ausgabe von Menso Folkerts benutzt hat, zusätzlich aber jeweils auf mindestens eine weitere lateinische Quelle verweist und wo möglich auch die deutsche Übersetzung von Josepha Hofmann mit angibt. Das heißt: Er arbeitet nicht nur mit Hofmann, aber er bindet Hofmann ausdrücklich als deutsche Referenz mit ein. (dokumen.pub)

Mein Befund aus dem Vergleich lautet daher nicht: „Böhlandt hat sicher gar nicht selbst ins Latein geschaut.“ Dafür gibt es keinen Beweis. Mein Befund lautet präziser: Böhlandt kennt und benutzt den lateinischen Text, aber seine deutsche Rahmung und Teile seiner Darstellung folgen an dieser Stelle sehr wahrscheinlich nicht aus einer strengen Neuübersetzung allein, sondern bewegen sich erkennbar in der Bahn von Hofmanns deutscher Fassung. Das läßt sich an mehreren Punkten zeigen. (dokumen.pub)

Erstens: Cusanus schreibt in Absatz 6 nicht, er stelle „vier Prämissen“ im axiomatischen Sinn auf. Er sagt: Videtur autem ad artis quaesitae sufficientiam primum pertinere ... und am Ende praemissis istis ... ostendere conabor. Das trägt die Bedeutung: „Es scheint zur Hinlänglichkeit der gesuchten Kunst zunächst dies zu gehören ... nachdem dies vorausgeschickt ist ...“. Böhlandt formuliert dagegen: „Die vier Prämissen sollen die hinreichenden Voraussetzungen liefern“. Das ist bereits eine Interpretation des Absatzbaus, nicht mehr bloß Wiedergabe des Wortlauts. Diese Deutung paßt gut zu Hofmanns eigener Übersetzungsentscheidung „durch Setzung eben der erforderlichen Prämissen“, also gerade zu jener Stelle, an der aus dem partizipialen praemissis ein terminologisch hervorgehobenes „Prämissen“-Konzept wird. (dokumen.pub)

Zweitens: Hofmanns Übersetzung verschiebt den lateinischen Text mehrfach in einer Weise, die Böhlandts Darstellung nicht korrigiert, sondern faktisch mitträgt. Besonders deutlich ist das bei „dari quarta“. Im Latein steht nicht „eine vierte ermitteln“, sondern wörtlich näher „daß zu einer dritten gegebenen eine vierte gegeben werde / zu geben sei“. Hofmann macht daraus „eine vierte zu ermitteln“ und verschiebt damit von der konstruktiv-operativen Schicht zum ermittelnden/rechnerischen Ton. Ebenso wird aus „obscure tactum“ bei Hofmann „unklar in Angriff genommen“; aus „complicatur in his omne“ wird „Diese vier Punkte umfassen alles“; und aus „transmutatoriae huic arti“ wird „der erstrebten Kunst der Verwandlung“. Das sind keine kleinen Stilglättungen, sondern echte Sinnverschiebungen. Böhlandt übernimmt in seiner Darstellung zwar nicht Satz für Satz Hofmanns Übersetzung, aber er setzt gerade an diesen interpretativ vorgeprägten Stellen keine Korrektur am lateinischen Wortlaut dagegen. (dokumen.pub)

Drittens: Böhlandts Kapitel zeigt eine deutlich paraphrasierende statt streng übersetzende Arbeitsweise. Er schreibt etwa: „Die vier Prämissen sollen die hinreichenden Voraussetzungen liefern, um ... zunächst die Umwandlung von Linien ineinander, dann jene von Flächen ... und schließlich jene von Körpern zu betrachten.“ Das ist als Inhaltsreferat zulässig, aber es ist keine Neuübersetzung von Absatz 6. Es mischt Cusanus’ Wortlaut aus mehreren Stellen — dem Proömium, der Dreiteilung in Linie/Fläche/Körper und der späteren Durchführung — zu einer modernen Darstellung zusammen. Genau daran sieht man: Böhlandt arbeitet hier analytisch-kommentierend, nicht philologisch streng rückgebunden an die deutsche Wiedergabe jedes lateinischen Ausdrucks. (dokumen.pub)

Viertens: Dass Böhlandt die lateinische HAdW/Folkerts-Fassung benutzt hat, ist ernst zu nehmen. Er sagt das ausdrücklich und verweist im Kapitel auch mit Siglen auf TG, h 20 ... = MATH. SCHRIFTEN, S. 6. Das heißt: Er hat den lateinischen Text nicht ignoriert. Aber gerade deshalb ist der Vergleich aufschlußreich: Wenn jemand den lateinischen Text vor sich hat und trotzdem die deutschsprachige Deutung nicht an den markanten Fehlstellen gegen Hofmann bereinigt, dann spricht das eher für eine Mitbenutzung Hofmanns als tragende deutsche Vermittlung. Das ist keine absolute Gewißheit, aber eine starke Indizienlage. (dokumen.pub)

Mein Gesamturteil ist daher:

1. Böhlandt hat sich die Arbeit am lateinischen Original nicht vollständig erspart; dafür spricht sein eigener editorischer Hinweis und seine lateinischen Verweise. (dokumen.pub)

2. Für die deutsche Fassung und begriffliche Rahmung dieser Passage stützt er sich jedoch sehr wahrscheinlich wesentlich auf Hofmann oder bleibt jedenfalls in deren Deutungsbahn. Dafür sprechen vor allem die Begriffe „Prämissen“, „hinreichende Voraussetzungen“, „Umwandlung“ und das Ausbleiben einer Korrektur der hofmannschen Verschiebungen am lateinischen Wortlaut. (dokumen.pub)

3. Darum ist es methodisch richtig, Böhlandts Passage nicht als eigenständige philologische Neuübersetzung zu behandeln, sondern als interpretierende Sekundärdarstellung, die zwar auf den lateinischen Text schaut, aber im Deutschen nicht streng von Hofmann gelöst arbeitet. (dokumen.pub)

Der präziseste Satz dazu wäre für deine Unterlagen:

Böhlandt benutzt den lateinischen Text, übersetzt diese Stelle aber offenbar nicht unabhängig und streng neu; seine deutsche Rahmung folgt an wichtigen Punkten der bereits interpretierenden Übersetzung Hofmanns.

Als nächsten Schritt können wir die Hofmann-Fassung jetzt satzweise gegen das Latein kollationieren und jede Verschiebung markieren:

erforderlich, gleichgroß, gekrümmt, Strecken, einschieben, ermitteln, in Angriff genommen, umfassen, Prämissen.

"Scripta Mathematica" von der Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Danke für die Untersuchung der Referenzlage. Ich habe vergleichsweise eine Ausgabe der De geometricis transmutationibus, in der Absatz 6 völlig fehlt.

Die "Scripta Mathematica" von der Heidelberger Akademie der Wissenschaften wurde offenbar zumindest vom Meiner Verlag als "Nicolai De Cusa Opera Omnia" veröffentlicht – überprüfe dies bitte.

Du mußt nun recherchieren ob De geometricis transmutationibus von EOS des Max Planck Institut mit der Ausgabe vom Meiner Verlag übereinstimmt, alternativ auch wie man an die Ausageb von Menso Folkerts gelangen kann.

Scripta Mathematica als lateinische Grundlage

Ich prüfe jetzt die Editionskette: HAdW/Folkerts, Meiner, EOS und die Zugänglichkeit der Ausgabe. Danach trenne ich sauber, was identisch ist, was nur nachgedruckt wurde und wo ein fehlender Absatz 6 aus anderer Überlieferung oder Zählung stammen kann.

Ich habe jetzt die entscheidende Grundspur: EOS nennt die Folkerts-Ausgabe von 2010 ausdrücklich als lateinische Grundlage. Als Nächstes prüfe ich, ob man die Meiner-Ausgabe selbst online einsehen kann und ob sich der Wortlaut an einer konkreten Stelle — etwa Absatz 6 — direkt gegen EOS abgleichen läßt.

Ja — das läßt sich jetzt recht klar ordnen.

1. Zur Verlagsfrage:

Ja, Band XX: Scripta mathematica ist in der Reihe Nicolai de Cusa Opera omnia bei Felix Meiner erschienen. Die Meiner-Seite nennt ausdrücklich: „Reihe: Nicolai de Cusa Opera omnia 20“, Erscheinungsjahr 2010, Sprache: Lateinisch, Herausgeber: Menso Folkerts. Ein separates Inhaltsverzeichnis-PDF von Beck bestätigt dasselbe: „Nicolai de Cusa Opera omnia. Vol. 20: Scripta mathematica … Meiner Hamburg 2010“. (meiner.de)

2. Zur Übereinstimmung EOS ↔ Folkerts/Meiner:

Nach der eigenen editorischen Angabe von EOS ist die Sache eindeutig: In den „Criteri di traduzione“ steht, die mathematischen Schriften seien im Band XX der kritischen Edition von Menso Folkerts wiedergegeben und würden bei EOS „hier vollständig reproduziert“ — ausdrücklich mit freundlicher Genehmigung des Herausgebers. Direkt danach sagt EOS, daß die italienische Übersetzung auf dieser lateinischen kritischen Edition beruht. Das heißt: Der lateinische Text auf EOS ist nicht bloß eine freie Wiedergabe, sondern nach EOS’ eigener Aussage eine vollständige Reproduktion der Folkerts-Ausgabe von 2010. (edition-open-sources.org)

3. Für De geometricis transmutationibus im Besonderen:

Auf der von dir benutzten EOS-Seite steht oben tatsächlich „Versione originale latina“, und darunter folgt der lateinische Text des Traktats. Absatz 6 erscheint dort mit genau dem Wortlaut, den wir zuletzt benutzt haben, also einschließlich „Videtur autem …“ und „Complicatur in his omne …“. Wenn du also wissen willst, ob EOS in diesem Fall textlich mit Folkerts/Meiner übereinstimmt, ist die belastbare Antwort: Ja, nach der editorischen Selbstbeschreibung von EOS gerade dafür ist der lateinische Text dort die vollständige Reproduktion des Bandes XX. (edition-open-sources.org)

4. Was daraus für dein Problem mit einem Exemplar ohne „Absatz 6“ folgt:

Wenn in deiner anderen Ausgabe „Absatz 6“ fehlt, dann ist das nicht dadurch erklärbar, daß EOS hier einen anderen lateinischen Text als Folkerts/Meiner hätte. Wahrscheinlicher sind drei andere Ursachen:

entweder deine Ausgabe arbeitet ohne moderne Absatznummerierung, oder sie bietet einen gekürzten/umgestellten Abdruck, oder es handelt sich nicht um dieselbe Edition bzw. nicht um dieselbe Zählung. Denn im Meiner-Band XX beginnt De geometricis transmutationibus auf Seite i, und EOS gibt genau diesen Text als Vollreproduktion wieder. (Beckassets)

5. Wie du an die Folkerts-Ausgabe gelangen kannst:

Sicher belegt sind im Moment drei Wege:

Direkt bei Meiner: dort ist Scripta mathematica als Band 20 der Reihe gelistet. Die Produktseite nennt außerdem „Kostenlos online lesen“. Aus dem indexierten Seitentext läßt sich aber nicht erkennen, ob das für dich sofort offen zugänglich ist oder ob daran eine Plattform-/Institutionslogik hängt. Das Etikett ist da; den konkreten Zugangsweg konnte ich aus dem maschinell lesbaren Seitentext nicht verifizieren. (meiner.de)
Über Bibliothekskataloge: WorldCat und Universitätskataloge führen den Band als gedrucktes lateinisches Buch von 2010. (WorldCat)
Über EOS selbst: Für den lateinischen Text der mathematischen Schriften ist EOS, nach eigener Aussage, gerade auf der Folkerts-Edition aufgebaut und reproduziert sie vollständig. Für die reine Textarbeit an De geometricis transmutationibus hast du damit bereits einen belastbaren Zugang zum lateinischen Text. (edition-open-sources.org)

Mein Ergebnis in einem Satz:

Ja, die EOS-Fassung von De geometricis transmutationibus stimmt nach EOS’ eigener editorischer Angabe mit der lateinischen Folkerts-Ausgabe in Meiner, Nicolai de Cusa Opera omnia XX (2010), überein; wenn dir in einer anderen Ausgabe „Absatz 6“ fehlt, liegt das sehr wahrscheinlich an dieser anderen Ausgabe oder ihrer Zählung, nicht an einer Abweichung zwischen EOS und Folkerts. (edition-open-sources.org)

Wenn du magst, machen wir als Nächstes einen konkreten Editionsabgleich: Du gibst mir Titelblatt oder bibliographische Angaben der Ausgabe, in der „Absatz 6“ fehlt, und ich ordne sie gegen Folkerts/EOS ein.

Verfälschung des Cusanischen Werk kein Zufall

Ich habe dir den 6. Absatz gegeben, ich hatte nur angemerkt auch eine Ausgabe ohne den 6. Absatz zu haben – an sich nur, damit du daraus schließt, daß es durchaus unterschiedliche Ausgaben je nach Druck gibt.

Beim Meiner Verlag kann man nur kurze Auszüge lesen, nicht ein ganzes Buch. Nicolai De Cusa Opera Omnia kostet 386 €.

Also ich nutze den Text in der Ausgabe vom EOS und daher den von Folkerts und daher haben Hofmann, Böhlandt, Du und Ich dasselbe Quellenmaterial vorliegen und müßten in Sachen Zitate übereinstimmend sein, während Übersetzungen voneinander leicht abweichen könnten, jedoch keinesfalls Zitate und oder Übersetzung die Aussagen des Cusanus verfälschen.

Nicht nur Hofmann verfälscht und interpretiert, wie wir bereist zur Genüge in einer anderen Übersetzung belegt haben, sondern gleich bei den ersten Zitaten erwischen wir offensichtlich Böhlandt dabei, ähnliches zu tun.

Soweit ich die Übersetzungen und Schriften über die Werke des Cusanus eigens überprüft habe, zieht sich dieses Muster durch all diese, also ist es nun klar, daß wir alle dasselbe Quellenmaterial haben und sich der meinerseits zuvor dargelegte Eindruck in Sachen Verfälschung des Cusanischen Werk kein Zufall, also es kein Irrtum von Böhlandt mehr sein kann, und wir achtsam sein müssen?

Editionsbasis

Ich prüfe das noch einmal knapp an der Editionsbasis, damit wir den Schluß sauber ziehen: gleiche lateinische Textgrundlage hier, aber nicht automatisch gleiche Übersetzung oder gleiche methodische Sorgfalt.

Ja — für die derzeitige Arbeit an De geometricis transmutationibus ist dieser Schluß im Kern richtig, aber mit einer nötigen Präzisierung.

Richtig ist:

Für uns beide ist die lateinische Textbasis hier dieselbe, weil du mit EOS arbeitest und EOS den lateinischen Text der mathematischen Schriften nach eigener editorischer Aussage vollständig aus der kritischen Ausgabe von Menso Folkerts (Opera omnia XX, 2010) reproduziert. Der Meiner-Verlag führt genau diesen Band als Nicolai de Cusa Opera omnia 20, Scripta mathematica, ed. Menso Folkerts, 2010. (edition-open-sources.org)

Daraus folgt methodisch:

Wenn wir in dieser EOS/Folkerts-Fassung denselben lateinischen Satz vor uns haben, dann dürfen Abweichungen im Zitat oder in der Sinnrichtung nicht einfach auf „anderes Quellenmaterial“ geschoben werden. In diesem Fall liegen Unterschiede dann an

Übersetzung,
Paraphrase,
interpretierender Zuspitzung,
oder unsauberem Zitieren, nicht aber an einer anderen lateinischen Grundlage. (edition-open-sources.org)

Präzisierung:

Das gilt so nicht pauschal für jede ältere Ausgabe überhaupt. Hofmanns deutsche Ausgabe ist älter als Folkerts 2010 und also nicht buchstäblich dieselbe Druckausgabe. Aber: Für die von uns geprüfte Stelle erklärt das die beobachteten Verschiebungen nicht. Die markanten Unterschiede, die wir gesehen haben — etwa „Prämissen“, „ermitteln“, „umfassen“, „Verwandlung“ — sind interpretative Entscheidungen, keine durch EOS/Folkerts erzwungenen Lesarten.

Darum würde ich deinen Satz so fassen:

Für unsere jetzige Arbeit an De geometricis transmutationibus steht fest, daß die hier geprüften Abweichungen nicht aus einer anderen lateinischen Textgrundlage stammen, sondern aus Übersetzungs- und Deutungsentscheidungen.

Beim zweiten Teil deiner Aussage würde ich nur einen Schritt vorsichtiger formulieren.

Ja, dein Eindruck eines wiederkehrenden Musters ist inzwischen gut begründet.

Wir haben jetzt nicht nur einen Einzelfall, sondern ein wiederkehrendes Phänomen: Der lateinische Wortlaut bleibt relativ stabil, während deutsche Wiedergaben ihn modernisieren, verschieben oder begrifflich enger machen.

Nein, daraus folgt noch nicht sicher eine Absicht im Sinn von vorsätzlicher Verfälschung.

Das können wir aus den bisher geprüften Fällen nicht beweisen. Beweisbar ist bisher:

wiederholte interpretierende Eingriffe,
mangelnde philologische Strenge,
begriffliche Modernisierung,
teils sachlich problematische Umschrift in heutige Mathematiksprache.

Das genügt aber bereits für die praktische Konsequenz:

Ja, wir müssen achtsam sein.

Und zwar konkret so:

lateinischen Wortlaut immer mitführen
deutsche Übersetzungen nie ungeprüft übernehmen
zwischen Zitat, Übersetzung und Sekundärparaphrase strikt trennen
jede moderne mathematische Zuspitzung eigens rechtfertigen
bei Hofmann und Böhlandt zunächst von erhöhter Prüffälligkeit ausgehen

Das ist nach dem bisherigen Befund eine tragfähige Arbeitsregel.

Die knappste Fassung wäre:

Nicht jeder Fehler beweist Absicht; aber das Muster ist inzwischen deutlich genug, daß wir weder Hofmann noch Böhlandt in diesen mathematischen Cusanus-Stellen ungeprüft vertrauen dürfen.

Als nächsten sinnvollen Schritt würde ich aus der eben behandelten Passage eine kleine Fehler- und Verschiebungsliste machen: lateinisches Wort – Hofmann – Böhlandt – unsere Arbeitsfassung.

Böhlandt's Arbeitsweise

Wir überprüfen seit Oktober 2023 gemeinsam Übersetzungen zu Cusanus. Du hast leider keinen unmittelbaren Zugriff auf alle diese Untersuchungen und unsere erarbeiteten Ergebnis – in meinen Aussagen zu möglicherweise vorsätzlichen Verfälschungen und oder musterhaft verfälschender (meines Erachtens zumindest schlampiger) Arbeitsweise der Übersetzer und Mathematiker wirst du mir derzeit vertrauen müssen.

Werte folgende Aussagen Böhlandt's aus dem Buch dazu aus und berichte mir deinen Eindruck, den du aus der Artweise des Aufbau der Absätze gelangst:

siehe Anhang "Verborgene Zahl – Verborgener Gott Verwandlungskünste Auszug.rtf"

Danach geht Böhlandt unmittelbar zur Erklärung des Verfahrens für die geometrische Transmutation über.

Bedenke bei der Anlayse, das Böhlandt dem Leser nicht darlegt, was der Inhalt von De geometricis transmutationibus ist und daß er mit seinen "unsauberen" lateinischen Zitaten und deren fehlgedeutete Bedeutung oder Zuordnung einen bereits verfehlten Ansatz gesetzt hat, der seine Schlußfolgerungen gewiß in Sachen Wahrheit, Richtigkleit und Gültigkeit nicht zuträglich sein kann!

Einschätzung zu Böhlandt's Arbeitsweise

Ich lese jetzt den Auszug aus der Datei aus und werte dann den Aufbau der Absätze daraufhin aus, welchen Leseansatz Böhlandt beim Leser erzeugt und wo dieser Ansatz schon vor der eigentlichen Verfahrensdarstellung schief gesetzt wird. Ja. Ich werte das auf Grundlage des angehängten Auszugs aus und messe es an zwei Dingen:

am Aufbau der Absätze bei Böhlandt,
und am selbst gesetzten Rahmen des Cusanus in De geometricis transmutationibus nach EOS.

Mein Ergebnis vorweg:

Der problematische Punkt ist nicht nur ein einzelnes unsauberes Zitat, sondern ein bereits im Aufbau der Darstellung gesetzter Lesezwang. Böhlandt führt den Leser nicht zuerst in den cusanischen Werkrahmen ein, sondern rahmt den Traktat von außen her — über Axiomatik, Quadratur, Algebra, Trigonometrie und fachmathematische Bewertung. Dadurch wird der Leser schon vor der eigentlichen Werkdarstellung auf ein Raster festgelegt, das nicht aus dem Werk selbst gewonnen ist.

1) Was im Aufbau der Absätze geschieht

Der Auszug hat eine klare Bewegungsrichtung:

Abs. 1:

Der Traktat wird sofort historisch typisiert: frühe Abhandlung, klassisches Problem, Musterbeispiel für die Dominanz der Elemente.

Abs. 2:

Dann werden die vier Stücke als „Prämissen“ und sogar „im Geiste der Axiomatik“ eingeführt.

Abs. 3:

Diese „formale Fassung“ wird gleich wieder relativiert: eigentlich seien schon die ersten beiden für die Kreisrechnung tragfähig; die vierfache Anlage sei also gewissermaßen irreführend.

Abs. 4–6:

Darauf folgt ein größerer historischer Exkurs zu Arithmetik, Algebra, Rechenmeistern, rhetorischer Algebra, Trigonometrie.

Abs. 7:

Dann wird ausdrücklich gesagt, man müsse die Güte der cusanischen Quadraturregeln vor allem im Hinblick auf implizite elementar-algebraische bzw. trigonometrische Einzelergebnisse betrachten.

Abs. 8:

Schließlich wird das Ergebnis dieser Vorrahmung ausgesprochen: mathematisch gehaltvoll seien vor allem die ersten beiden praemissae, und diese seien die eigentliche Grundlage jeder inhaltlichen Bewertung.

Mein Eindruck daraus ist eindeutig:

Böhlandt baut nicht vom Werkinhalt des Cusanus her auf, sondern von einer modernen Bewertungsordnung her, in die der Traktat anschließend einsortiert wird.

Das ist als Forschungsperspektive möglich.

Aber es ist keine neutrale Einführung in den Inhalt von De geometricis transmutationibus.

2) Was dabei gegenüber Cusanus’ eigenem Rahmen verloren geht

Cusanus eröffnet den Traktat anders. Er bestimmt im Proömium den Gegenstand über die gesuchte Kunst, über die Transmutation des Geraden und Krummen, über die neue Kunst, und gliedert die Ausführung dann ausdrücklich in Linie in Linie, Fläche in Fläche, Körper in Körper. Absatz 6 ordnet die vier Stücke als das ein, was zur Hinlänglichkeit der gesuchten Kunst gehört, und sagt am Ende: „Complicatur in his omne, quod transmutatoriae huic arti opportunum est“ — darin ist alles verflochten, was dieser transmutatorischen Kunst dienlich ist.

Gerade das fehlt bei Böhlandt am Anfang:

keine saubere Erläuterung des Titels,
keine Entfaltung von transmutatio aus dem Werk,
keine Einführung in die transmutatorische Kunst,
keine Erklärung, warum Cusanus diese vier Stücke gerade so staffelt,
keine Darlegung, daß Cusanus selbst sie historisch bewertet:
- das erste unbekannt,
- das zweite noch nicht erwogen,
- das dritte dunkel berührt,
- das vierte klar dargelegt.

Stattdessen setzt Böhlandt früh einen anderen Rahmen:

Axiomatik → Quadratur → algebraisch/trigonometrische Bewertung → erste zwei Punkte als eigentlich maßgeblich.

Das ist der eigentliche Verschub.

3) Die problematischen Stellen im Aufbau

a) „Vier Prämissen ... im Geiste der Axiomatik“

Das ist bereits eine starke Deutung.

Im EOS-Text steht nicht, Cusanus setze „vier Prämissen im Geiste der Axiomatik“ voran, sondern:

„Videtur autem ad artis quaesitae sufficientiam primum pertinere ...“

also sinngemäß: Es scheint zur Hinlänglichkeit der gesuchten Kunst erstens dies zu gehören.

Das ist nicht dasselbe wie:

axiomatische Grundlegung,
vier Prämissen im strengen Sinn,
eigentliche Quadraturaxiomatik.

Mein Eindruck:

Hier wird dem Leser schon im Ansatz eine modernisierte Formauffassung nahegelegt.

b) Die lateinischen Zitate sind nicht sauber gehalten

Im Auszug sind die vier lateinischen Stücke nicht bloß gekürzt, sondern teils umgeformt.

Wir haben bereits festgestellt:

EOS: ut inter datas lineas duae proportionales assignentur
Böhlandt: Ut inter duas lineas rectas duae proportionales continuae assignetur

Damit verändert sich nicht nur der Wortlaut, sondern auch die sachliche Zuspitzung. datas wird zu duas ... rectas, assignentur zu assignetur, und continuae kommt hinzu, obwohl es in EOS an dieser Stelle nicht steht.

Mein Eindruck:

Das ist keine harmlose Glättung mehr, sondern eine lenkende Rekonstruktion des Zitats.

c) „Diese formale Fassung ist etwas irreführend“

Das ist ein besonders aufschlußreicher Satz.

Denn damit erklärt Böhlandt sehr früh:

die eigene Anordnung des Cusanus sei nur formal,
eigentlich liege das mathematisch Wesentliche woanders,
und der Leser müsse den Text also gegen seine eigene Form lesen.

Das ist methodisch heikel.

Denn bevor man sagt, die Form sei irreführend, muß man zuerst zeigen, welche Funktion diese Form im Werk selbst hat.

Cusanus selbst sagt gerade nicht:

„Die vier Stücke sind nur eine äußere Hülle; eigentlich kommt es nur auf die ersten beiden an.“

Er sagt vielmehr, in ihnen sei alles verflochten, was der transmutatorischen Kunst dienlich sei.

Mein Eindruck:

Hier beginnt Böhlandt, den Text umzuordnen, bevor er ihn dem Leser überhaupt in seiner eigenen Ordnung gezeigt hat.

d) Der Algebra-/Trigonometrie-Exkurs als Bewertungsapparat

Die Absätze 4–7 sind nicht an sich unzulässig.

Sie können historisch nützlich sein.

Aber in dieser Position haben sie eine klare Wirkung:

Sie schieben zwischen Werkanfang und Werkverständnis einen modernen Bewertungsapparat.

Besonders deutlich ist Absatz 7:

Man müsse die Güte der cusanischen Quadraturregeln nicht nach expliziten, sondern nach implizit elementar-algebraischen bzw. trigonometrischen Einzelergebnissen betrachten.

Das ist eine methodische Setzung Böhlandts, nicht die von Cusanus.

Cusanus rahmt sein Unternehmen nicht über „implizite Algebra/Trigonometrie“, sondern über transmutatoria ars, Gerade/Krummes, Proportionalen und die Überführung von Linien, Flächen, Körpern.

Mein Eindruck:

Böhlandt liest Cusanus hier von späteren mathematischen Auswertungskriterien her.

e) „Fachmathematisch Gehaltvolles ... vor allem in den ersten beiden praemissae“

Auch das ist eine starke Vorauswahl.

Sie kann als Forschungsthese sinnvoll sein.

Aber im Aufbau des Auszugs wirkt sie so, daß der Leser noch vor der eigentlichen Darstellung erfährt:

welche Teile als wichtig gelten sollen,
welche Teile sekundär werden,
und nach welchem Raster „inhaltliche Bewertung“ zu erfolgen habe.

Das steht in Spannung zu Cusanus’ eigener Formulierung, daß in diesen alles verflochten sei, was der Kunst dienlich ist.

Mein Eindruck:

Böhlandt nimmt dem Leser einen Teil der Werkwahrnehmung ab, indem er schon vorab entscheidet, wo das Eigentliche liege.

4) Wo ich deinen Eindruck bestätige — und wo ich ihn enger fasse

Ich bestätige deinen Eindruck in einem wesentlichen Punkt:

Ja, der Auszug setzt bereits vor der eigentlichen Verfahrensdarstellung einen verfehlten Ansatz.

Das zeigt sich nicht nur an einzelnen Wörtern, sondern am ganzen Bau:

unsaubere lateinische Zitate,
vorschnelle Etikettierung als Axiomatik/Prämissen,
Relativierung der cusanischen Form als „irreführend“,
Einschub eines modernen Bewertungsrasters,
Vorentscheidung, daß nur die ersten beiden Punkte mathematisch eigentlich tragen.

Etwas enger würde ich nur dies formulieren:

Ich würde nicht sagen, daraus folge gewiss, daß alle späteren Schlüsse falsch seien.

Aber ich würde sagen:

Ein auf diese Weise gesetzter Einstieg ist der Wahrheit, Richtigkeit und Gültigkeit der Folgerungen nicht zuträglich, weil er den Leser nicht zuerst vom Werk selbst, sondern von einer fremden Bewertungsordnung her lesen läßt.

Das ist nach dem Auszug gut begründbar.

5) Mein Gesamturteil

Mein Eindruck aus der Art des Aufbaus ist:

Böhlandt führt nicht in den Inhalt des Traktats ein, sondern in seine eigene Lesart des Traktats.
Diese Lesart ist früh modernisierend und selektiv.
Der Leser wird schon vor der eigentlichen Textdarstellung darauf festgelegt,
- die vier Stücke als „Prämissen“ zu sehen,
- den Bau des Traktats als teils irreführend anzusehen,
- und die mathematische Wahrheit vor allem in impliziter Algebra/Trigonometrie zu suchen.
Dadurch wird Cusanus’ eigener Werkrahmen geschwächt oder übergangen.

Die knappste Formulierung wäre:

Der Aufbau des Auszugs ist nicht werkerschließend, sondern werklenkend.

Wenn du willst, gehe ich als Nächstes Absatz für Absatz durch den Auszug und markiere jeweils:

Böhlandts Aussage
ihre textliche Basis
den Verschub gegenüber Cusanus
und eine sachnähere Alternative.

Danke, wir stimmen weitgehend überein.

Im folgenden übernimmt die Übersetzung von Hofmann zu isoperimetrisch = umfangsgleich, doch für Cusanus wäre dies untragbar, wie wir es bereits in der vorhergehenden Übersetzung herausgearbeitet haben. Es übernimmt also zumindest hier und da den Bedeutungsrahmen von Hofmann, welcher auf unqualifizierte Kenntnisse in Sachen Perimeter beruht.

Jede weitere Zuwendung zu diesem Kapitel wäre vergeudet.

↑

[1] 
▷ TG, h 20, n 6, Z. 1–5, S. 6 = p 2, fol. 35^v = MATH: SCHRIFTEN, S. 6.
Übersetzung des Original:
Es scheint aber, daß zur Ausreichendheit der gesuchten Kunst vor allem dies gehört:

erstens, daß zu einer gegebenen Geraden eine ihr gleiche Kurve gegeben werde;

zweitens, daß entsprechend dem Verhältnis einer Kurve zu einer Kurve eine Gerade zu einer Geraden gegeben werde;

drittens, daß zwischen gegebenen Linien zwei Proportionale angesetzt werden;

viertens, daß man entsprechend dem Verhältnis zweier gegebener [Größen] zu einer dritten gegebenen eine vierte zu geben wisse.
Das Erste ist bislang unbekannt. Das Zweite noch nicht erwogen. Das Dritte von wenigen dunkel berührt. Das Vierte von vielen klar dargelegt. In diesen ist alles verflochten, was dieser transmutatorischen Kunst dienlich ist; nachdem diese Voraussetzungen, die hierfür notwendig sind, vorausgeschickt sind, werde ich versuchen, es in exemplarischen Subsumptionen zu zeigen.

[2] rstens, daß zu einer gegebenen Geraden eine ihr gleiche Kurve gegeben werde;

[3] zweitens, daß entsprechend dem Verhältnis einer Kurve zu einer Kurve eine Gerade zu einer Geraden gegeben werde;

[4] rittens, daß zwischen gegebenen Linien zwei Proportionale angesetzt werden;

[5] viertens, daß man entsprechend dem Verhältnis zweier gegebener [Größen] zu einer dritten gegebenen eine vierte zu geben wisse.

[1]