Werk:Über Kreisquadratur

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Gründet auf dem Werk „De circuli quadratura“ Nikolaus von Kues
12. Juli 1450 n. Chr. hrsg.  
Übersetzung
Liste Werke von Klaus Feldmann 

11. Mai 2026 n. Chr. erst.  
8:00 Uhr
unüberarbeitet
ungeprüft

Meiner Verlag: Von der Quadratur des Kreises

Urschrift: De circuli quadratura

Gespräch:Über Kreisquadratur des Cusanus

1.

1. Asseris te in varietate scribentium de circuli quadratura involutum et a me nunc otio dato exigis, ut scibilis illius sufficientiam tradam.
   • Du versicherst / behauptest, daß du in der varietas der Schreibenden über die quadratura circuli involviert / verwickelt seist, und verlangst nun von mir, nachdem otium gegeben ist, daß ich die sufficientia jenes scibile überliefere / darlege.
   • Du erklärst, daß du in die Verschiedenheit der Schreiber über die Kreisquadaratur verwickelt seist, und verlangst nun von mir, da Muße gegeben ist, daß ich die hinreichende Darlegung dieses Wissbaren gebe.
2. Accipe per propositionem, quid sentiam.
   1. Nimm durch / mittels einer propositio auf, was ich empfinde / meine / urteile.
3. Hoc tamen me fecisse sic tui causa recipito, ut per huius assimilationem mathematicis relictis facilius ad theologiam te transferre queas.
   • Dies aber nimm so auf, daß ich es um deinetwillen getan habe, damit du durch dessen assimilatio, nachdem das Mathematische zurückgelassen ist, leichter zur Theologie dich hinübertragen kannst.
   • Nimm durch einen Satz auf, was ich meine. Dies jedoch fasse so auf, daß ich es um deinetwillen getan habe, damit du dich durch dessen Assimilation, nachdem das Mathematische zurückgelassen ist, leichter zur Theologie hinübertragen kannst.

Propositio

• Propositio

2.

1. Si datae peripheriae trigoni est dabilis aequalis peripheria circuli, tunc illius circuli semidiameter in quinta sui parte excedit lineam ductam de centro trigoni ad punctum unum alicuius lateris ab angulo per quartam partem lateris distantis.
   • Wenn zur gegebenen peripheria eines Trigons eine äquale peripheria eines Kreises dabilis ist, dann übertrifft der semidiameter jenes Kreises um seinen fünften Teil die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt eines beliebigen / gewissen Seitenteils geführt ist, der vom Winkel um den vierten Teil der Seite entfernt ist.
   • Wenn zu dem gegebenen Umfang eines Trigons ein äqualer Kreisumfang gebbar ist, dann übertrifft der Semidiameter jenes Kreises um den fünften Teil seiner selbst die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt einer Seite gezogen ist, der vom Winkel um ein Viertel der Seite entfernt ist.
   • Wenn zu der gegebenen Peripherie (Umfang) eines Trigons eine äquale Peripherie (ein entsprechendgleicher Umfang) eines Kreises gebbar ist, dann übertrifft der Halbmesser jenes Kreises um den fünften Teil seiner selbst die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt einer Seite gezogen ist, der vom Winkel um den vierten Teil der Seite entfernt ist.

3.

1. Sunt qui circuli quadraturam admittunt.
   • Es gibt solche, die die Kreisquadratur zulassen.
2. Et hi habent necessario admittere circulorum peripherias aequari posse peripheriis polygoniarum figurarum, cum circulus aequetur quadrangulo, cuius minus latus est semidiameter et maius semicircumferentia.
   • Und diese haben notwendig zuzulassen, daß die Peripherien der Kreise den Peripherien polygonaler Figuren äquiert werden können, da der Kreis einem Quadrangulum äquiert wird, dessen kleinere Seite der Semidiameter ist und dessen größere die Semicircumferentia.
   • Und diese müssen notwendig zulassen, daß die Peripherien der Kreise den Peripherien polygonaler Figuren äquiert werden können, da der Kreis einem Quadrangulum äquiert wird, dessen kleinere Seite der Semidiameter und dessen größere Seite die Semicircumferentia, also der halbe Kreisumfang, ist.
     • Mit Kommentar:
       • Quadrangulum wird nicht unmittelbar mit „Rechteck“ ersetzt, obwohl die Seitenangaben zeigen, daß Cusanus hier sachlich ein Rechteck aus Semidiameter und halbem Kreisumfang meint. Semicircumferentiawird als „halber Kreisumfang“ erläutert, nicht als „Halbkreisumfang“, um die Verwechslung mit dem Umfang eines Halbkreises zu vermeiden.
3. Quando igitur quadratum aequale circulo in tale quadrangulum resolveretur, haberetur recta linea curvae aequalis.
   • Wenn also ein dem Kreis äquales Quadratum in ein solches Quadrangulum aufgelöst würde, hätte man eine gerade Linie, die einer gekrümmten Linie äqual ist.
4. Hinc deveniretur ad aequalitatem peripheriarum circuli et polygoniae, ut est de se notum.
   • Von hier aus gelangte man zur Äqualität der Peripherien des Kreises und der polygonalen Figur, wie es von sich her bekannt ist.
   • Kommentar
     • Quadratum und Quadrangulum werden unterschieden. Das Quadrangulum ist dem Sachverhalt nach das zuvor beschriebene Rechteck, wird aber nicht unmittelbar mit „Rechteck“ ersetzt. Curva wird als „gekrümmte Linie“ wiedergegeben; gemeint ist im Zusammenhang die Kreislinie. Aequalis / aequalitaswird nicht mit „gleich / Gleichheit“ ersetzt, weil Cusanus hier gerade die Frage einer Äqualität zwischen gerader und gekrümmter Linie verhandelt.

4.

1. Illi etiam hoc argumentum admittunt, sine quo nihil attingerent, scilicet: Ubi est dare magis et minus, est et dare aequale; quia, cum detur quadratum maius circulo, ut est circumscriptum, et minus, ut est inscriptum, igitur et aequale, quod erit nec circumscriptum nec inscriptum, sed pariter inscriptum et circumscriptum.
   • Jene lassen auch dieses Argument zu, ohne welches sie nichts erreichen würden, nämlich: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort kann man auch ein Äquales geben; denn da ein Quadratum gegeben ist, das größer ist als der Kreis, wie das umbeschriebene, und eines, das kleiner ist, wie das eingeschriebene, folgt also auch ein äquales, das weder umbeschrieben noch eingeschrieben sein wird, sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben.
2. Hoc idem argumentum admittunt in peripheriis: Quia est dabilis peripheria circuli maior peripheria trigoni, ut est peripheria circuli trigono circumscripti, et dabilis est peripheria circuli minor peripheria trigoni, ut est peripheria circuli inscripti, igitur est et dabilis peripheria circuli aequalis peripheriae trigoni, et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus, sed pariter circumscriptus et inscriptus.
   • Dasselbe Argument lassen sie auch bei den Peripherien zu: Denn es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die größer ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des dem Trigon umbeschriebenen Kreises ist; und es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die kleiner ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des eingeschriebenen Kreises ist; also ist auch eine Peripherie eines Kreises gebbar, die der Peripherie des Trigons äqual ist; und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch eingeschrieben, sondern gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben.
     • Kommentar dazu:
       • Peripherie wird beibehalten, weil Cusanus das Argument ausdrücklich in peripheriis führt. Trigon wird nicht durch „Dreieck“ ersetzt, weil der Wechsel vom Quadratum/Quadrangulum zum Trigon für den Ansatz wesentlich ist. Aequalis wird als „äqual“ belassen, da es um eine vermittelte Maß-Entsprechung geht, nicht um einfache Gleichheit. Der gesuchte Kreis liegt zwischen Inkreis und Umkreis und ist daher weder bloß eingeschrieben noch bloß umbeschrieben, sondern in einer vermittelnden Weise beides.

5.

1. Sunt et qui circuli quadraturam negant, et hi omnia iam dicta negant.
   • Es gibt auch solche, die die Kreisquadratur verneinen, und diese verneinen alles schon Gesagte.
2. Aiunt enim argumentum in mathematicis non procedere: Ubi est dare magis et minus, quod ibi sit dare aequale.
   • Sie sagen nämlich, daß das Argument im Mathematischen nicht durchgeht: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort könne man auch ein Äquales geben.
3. Nam dabilis est angulus incidentiae maior recto et alius minor recto, et tamen numquam aequalis.
   • Denn es ist ein Inzidenzwinkel gebbar, der größer ist als der rechte Winkel, und ein anderer, der kleiner ist als der rechte Winkel, und dennoch niemals ein äqualer.
4. Unde in quantitatibus incommensurabilibus hoc non procedit.
   • Daher geht dieses Argument bei inkommensurablen Quantitäten nicht durch.
5. Si enim daretur angulus incidentiae maior recto parte aliquota recti et minor recto parte aliquota recti, daretur et aequalis.
   • Denn wenn ein Inzidenzwinkel gegeben wäre, der größer ist als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, und ein anderer, der kleiner ist als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, dann wäre auch ein äqualer gegeben.
6. Sed cum angulus incidentiae non sit proportionalis recto, non potest esse aut maior aut minor parte aliquota recti, igitur neque umquam aequalis.
   • Da aber der Inzidenzwinkel dem rechten Winkel nicht proportional ist, kann er auch nicht um einen aliquoten Teil des rechten größer oder kleiner sein, also auch niemals äqual.
7. Et cum inter superficiem circularem et rectilinealem non possit cadere proportio, sicut nec inter angulum incidentiae et angulum rectum, igitur argumentum etiam ibi non procedit.
   1. Und da zwischen einer kreisförmigen und einer geradlinig begrenzten Fläche keine Proportio zustande kommen kann, so wie auch nicht zwischen dem Inzidenzwinkel und dem rechten Winkel, geht das Argument daher auch dort nicht durch.
   2. Kommentar:
      • Proportio wird nicht mit „rationales Verhältnis“ übersetzt, weil Cusanus den weiteren Verhältnis- und Maßbezug meint. Angulus rectus ist der rechte Winkel, nicht der geradlinige Winkel. Non procedit wird als „geht nicht durch“ wiedergegeben, weil Cusanus die Tragfähigkeit des Arguments prüft, nicht bloß eine abstrakte Unzulässigkeit behauptet. Die beigefügte Abbildung veranschaulicht vor allem den Kontingenzwinkel zwischen Tangente und Kreisbogen; sie darf nicht dazu führen, Cusanus’ Vergleich mit dem rechten Winkel in einen Vergleich mit dem geradlinigen Winkel umzudeuten.

6.

1. Hoc sic patet: Omnis quantitas in aliam resolubilis necessario sic se habet, quod quaelibet eius pars possit esse pars alterius, cum totum non sit nisi suae partes.
   • Dies zeigt sich so: Jede Quantität, die in eine andere auflösbar ist, verhält sich notwendig so, daß jeder ihrer Teile Teil der anderen sein kann; denn das Ganze ist nichts außer seinen Teilen.
     • Kommentar:
       • Quantitas bleibt Quantität, nicht allgemein „Größe“. Resolubilis wird als auflösbar wiedergegeben, nicht als bloßes „überführbar“. Totum non sit nisi suae partes wird nicht als „Summe seiner Teile“ übersetzt, weil Cusanus keine additive Summenformel formuliert, sondern eine Teil-Ganzes-Bedingung der Auflösbarkeit.
2. Sed lunula per rectam de circulo abscisa non est secundum angulos suos incidentiae, qui sunt partes quantitatis eius, in rectilineam resolubilis; igitur nec secundum eius totalitatem.
   • Aber eine Lunula, die durch eine Gerade aus dem Kreis abgeschnitten ist, ist gemäß ihren Inzidenzwinkeln, die Teile ihrer Quantität sind, nicht in eine rectilineale Quantität auflösbar; also auch nicht gemäß ihrer Totalität.
     • Kommentar:
       • Lunula bleibt als Fachbegriff erhalten. Quantitas wird nicht zu „Fläche“ geglättet, weil Cusanus den vorherigen Satz über Quantitäten hier anwendet. Resolubilis bleibt auflösbar, nicht „verwandelbar“. Rectilineam wird als elliptisches rectilineale Quantität verstanden, weil der vorausgehende Satz von der Auflösbarkeit einer Quantität in eine andere spricht. Totalität wird beibehalten, um den Zusammenhang von Ganzem und Teilen sichtbar zu lassen.
3. Manifestum est autem, si circulus est resolubilis in quadratum, necessario sequi lunulas resolubiles in rectilineales; et cum hoc sit impossibile, igitur et illud, ex quo sequitur.
   • Offenbar ist aber: Wenn ein Kreis in ein Quadratum auflösbar ist, folgt notwendig, daß Lunulae in rectilineale Quantitäten auflösbar sind; und da dies unmöglich ist, ist also auch jenes unmöglich, aus welchem dies folgt.
     • Kommentar:
       • Resolubilis bleibt auflösbar. Hofmanns „verwandeln“ verschiebt den Satz in Richtung Gestalttransformation. Rectilineales wird im Zusammenhang des vorherigen Satzes als rectilineale Quantitäten verstanden, nicht als bloße Figuren. Der Satz ist ein indirekter Schluß: Wenn die Auflösbarkeit des Kreises in ein Quadratum die Auflösbarkeit der Lunulae in rectilineale Quantitäten notwendig zur Folge hätte, diese Folge aber unmöglich ist, dann ist auch die Ausgangsannahme unmöglich.
4. Sic patet semicirculum non esse rectilineabilem, et per consequens nec circulum aut aliquam eius partem.
   • So zeigt sich, daß der Halbkreis nicht rectilineabel ist, und folgeweise auch weder der Kreis noch irgendein Teil von ihm.

7.

1. Omnis angulus incidentiae excedit alium aut exceditur ab alio per quantitatem anguli rectilinei, ad quem non potest habere proportionem.
   1. Jeder Inzidenzwinkel übertrifft einen anderen oder wird von einem anderen übertroffen um die Quantität eines geradlinigen Winkels, zu welchem er keine Proportio haben kann.
      1. Kommentar:
         1. Hier ist geradliniger Winkel richtig, weil Cusanus angulus rectilineus schreibt. Quantitas wird nicht als „Betrag“ übersetzt, weil dies moderne Größenwertsprache einträgt. Proportio bleibt stehen, da Cusanus nicht bloß ein rationales Zahlenverhältnis meint, sondern den proportionalen Maßbezug zwischen Inzidenzwinkel und geradlinigem Winkel verneint.
2. Hinc evenit, quod omnes abscisiones circuli per lineas rectas sunt ad illum penitus improportionales, et cum maior abscisio sit per [semi] diametrum, tunc omnes aliae abscisiones ad illam sunt improportionales.
   1. Daher ergibt sich, daß alle Abscissionen des Kreises durch gerade Linien zu diesem völlig improportional sind; und da die größere Abscission durch den [Semi-]Diameter ist, sind dann alle anderen Abscissionen zu jener improportional.
3. Non potest igitur aliqua pars circuli per tales lineas abscindi, quando nullam habet proportionem ad maiorem abscisionem, scilicet semicirculum.
   1. Es kann also kein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden, da er keine Proportio zur größeren Abscission hat, nämlich zum Halbkreis.
      1. Kommentar:
         1. Aliqua pars wird nicht als „rationaler Bruchteil“ übersetzt; im Original steht nur „ein Teil / irgendein Teil“. Proportio bleibt erhalten, weil Cusanus den proportionalen Maßbezug verneint, nicht bloß ein rationales Zahlenverhältnis. Abscissio bleibt Abscission, weil der Abschneidungsbegriff für die Argumenttreppe wichtig ist. Maior abscisio wird als „größere Abscission“ wiedergegeben; sachlich ist damit der Halbkreis als maßgebende größte Abscission gemeint.
4. Sic non valet argumentum: Abscinditur lunula maior tertia circuli et lunula minor tertia parte circuli, ergo et aequalis.
   1. So gilt das Argument nicht: Es wird eine Lunula abgeschnitten, die größer ist als ein Drittel des Kreises, und eine Lunula, die kleiner ist als der dritte Teil des Kreises, also auch eine äquale.
5. Ex quo evenit, quod abscisiones, quae fiunt per rectam lineam minorem diametro, non sunt ex eo nequaquam rectilineabiles, quia sunt partes aliquotae circuli, sed quia sequeretur circuli quadratura, si forent rectilineabiles.
   1. Daraus ergibt sich, daß die Abscissionen, die durch eine gerade Linie kleiner als der Diameter erfolgen, nicht aus diesem Grund keineswegs rectilineabel sind, weil sie aliquote Teile des Kreises sind, sondern weil die Kreisquadratur folgen würde, wenn sie rectilineabel wären.

8.

1. Ex quo elice omne id impossibile, ex quo sequitur circuli quadratura.
   1. Daraus erschließe alles das als unmöglich, woraus die Kreisquadratur folgt.
      1. Kommentar:
         1. Elice wird als erschließe wiedergegeben, nicht als „kannst du dir klar machen“. Cusanus gibt hier eine Ableitungsanweisung: Aus dem Vorhergehenden soll alles als unmöglich erschlossen werden, woraus die Kreisquadratur folgen würde.
2. Habet igitur circulus hoc ex singularitate sua, quod sicut angulus incidentiae non est rectilineabilis, sic nec circulus est in figuram rectilinealem reducibilis.
   1. Der Kreis hat also dies aus seiner Singularität: Wie der Inzidenzwinkel nicht rectilineabel ist, so ist auch der Kreis nicht in eine rectilineale Figur reduzierbar.
      1. Kommentar:
         1. Singularitas wird nicht mit „Einzigartigkeit“ geglättet, weil bei Cusanus die Beziehung zu Einheit, Einzelheit und eigentümlicher Bestimmtheit offenbleiben muß. Rectilineabilis bleibt erhalten, da der Begriff die bisherige Argumenttreppe trägt. Reducibilis wird als reduzierbar wiedergegeben, nicht als bloßes „überführen“, weil Cusanus den Kreis nicht nur anders darstellen, sondern auf eine rectilineale Figur zurückführen können müßte.
3. Sed sicut datur angulo incidentiae angulus rectilineus maior per angulum contingentiae, qui angulus contingentiae est quantitas in suo genere tantum divisibilis, quoniam omni angulo contingentiae est dabilis alius contingentiae maior ac minor, tamen, cum angulus contingentiae sit minor omni angulo rectilineo, sic dato incidentiae datur rectilineus maior, qui tamen non est maior aliqua parte aliquota rectilinei anguli; sic dato rectilineo datur incidentiae angulus minor, scilicet quantum est angulus contingentiae, qui tamen non est pars aliquota incidentiae, sed minor omni parte aliquota eius.
   1. Aber wie zum Inzidenzwinkel ein geradliniger Winkel gegeben wird, der um den Kontingenzwinkel größer ist — welcher Kontingenzwinkel eine Quantität ist, die nur in ihrer Gattung teilbar ist, weil zu jedem Kontingenzwinkel ein anderer Kontingenzwinkel gebbar ist, ein größerer und ein kleinerer —, so wird dennoch, da der Kontingenzwinkel kleiner ist als jeder geradlinige Winkel, zu einem gegebenen Inzidenzwinkel ein größerer geradliniger Winkel gegeben, der dennoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil des geradlinigen Winkels größer ist. Ebenso wird zu einem gegebenen geradlinigen Winkel ein kleinerer Inzidenzwinkel gegeben, nämlich um so viel, wie der Kontingenzwinkel ist, der dennoch kein aliquoter Teil des Inzidenzwinkels ist, sondern kleiner als jeder aliquote Teil von ihm.
      1. Kommentar:
         1. Der Satz erklärt die Sonderstellung des Kontingenzwinkels. Er ist eine Quantität eigener Gattung: innerhalb seiner Gattung größer und kleiner bestimmbar, aber kleiner als jeder geradlinige Winkel. Deshalb ist er Differenz zwischen Inzidenzwinkel und geradlinigem Winkel, ohne aliquoter Teil eines der beteiligten Winkel zu sein. Hofmanns „rationaler Bruchteil“ verfälscht diese Struktur, weil Cusanus nicht moderne Bruchzahlverhältnisse, sondern aliquote Teilbarkeit und Gattungsverschiedenheit von Quantitäten behandelt.

9.

1. Tali quidem modo dici potest dato circulo posse dari quadratum, quod etsi fuerit maius circulo, non tamen aliqua parte aliquota eius, scilicet quadrati; et dato quadrato potest dari circulus minor eo, non tamen minor parte aliquota circuli.
   1. Auf solche Weise kann freilich gesagt werden: Zu einem gegebenen Kreis kann ein Quadratum gegeben werden, das, auch wenn es größer als der Kreis sein wird, dennoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil von ihm größer ist, nämlich des Quadratums; und zu einem gegebenen Quadratum kann ein Kreis gegeben werden, der kleiner als dieses ist, dennoch nicht kleiner um einen aliquoten Teil des Kreises.
      1. Kommentar:
         1. Tali quidem modo verweist auf die zuvor entwickelte Struktur: Eine Differenz kann gegeben sein, ohne als aliquoter Teil der verglichenen Quantität faßbar zu sein. Pars aliquota wird nicht als „rationaler Bruchteil“ übersetzt. Der Satz überträgt die Kontingenzwinkel-Struktur auf Kreis und Quadratum: Größer oder kleiner kann gegeben sein, ohne daß die Differenz aliquot meßbar wäre.
2. Et consequenter ex hoc habetur, quod licet dato circulo posset dari quadratum maius, non tamen parte aliquota eius maius; et quod quocumque quadrato tali dato adhuc possit dari aliud praecisius circulo, licet nullum praecisissimum, et nullum minus circulo parte aliquota eius, ita et e converso.
   1. Und folgeweise ergibt sich daraus: Obwohl zu einem gegebenen Kreis ein größeres Quadratum gegeben werden könnte, ist es dennoch nicht um einen aliquoten Teil von ihm größer; und zu jedem so gegebenen Quadratum kann noch ein anderes gegeben werden, das zum Kreis präziser ist, obgleich kein präzisissimum; und keines ist kleiner als der Kreis um einen aliquoten Teil von ihm — so auch umgekehrt.
      1. Kommentar:
         1. Pars aliquota bleibt aliquoter Teil, nicht „rationaler Bruchteil“. Praecisius und praecisissimum werden nicht mit „näher“ und „genau gleich“ ersetzt, weil Cusanus hier seinen Präzisionsgedanken einführt: Es kann immer ein präziseres Quadratum gegeben werden, aber kein präzisissimum. Damit wird die mathematische Annäherung als unbeendbare Präzisierung beschrieben, nicht als einfache Nähe zu Gleichheit.

10.

1. Et hanc partem puto veriorem.
   • Und diese Seite halte ich für wahrer.
2. Nam cum figurae polygoniae non sint eiusdem generis quantitatis cum figura circulari, tunc, etsi reperiatur una polygonia dato circulo quoad quantitatem aequalior quam alia, habebit tamen regula locum: In recipientibus maius et minus non deveniri ad maximum simpliciter in esse et posse.
   1. Denn da polygonale Figuren nicht derselben Gattung der Quantität sind wie die kreisförmige Figur, wird, auch wenn eine polygonale Figur gefunden wird, die einem gegebenen Kreis der Quantität nach äqualer ist als eine andere, dennoch die Regel ihren Ort haben: Bei denjenigen, die Mehr und Weniger aufnehmen, gelangt man nicht zum Maximum schlechthin im Sein und Können.
      1. Kommentar:
         1. Pars wird als Seite wiedergegeben, weil Cusanus zwischen zwei Auffassungsseiten vermittelt. Genus quantitatis wird nicht zu „Größenart“ geglättet, da die Gattung der Quantität für die Argumentation entscheidend ist. Aequalior bleibt äqualer, nicht bloß „näher“. Maximum simpliciter in esse et possebezeichnet kein bloß größtes Ding, sondern das Maximum schlechthin im Sein und Können; im Bereich von Mehr und Weniger wird dieses nicht erreicht.
3. Capacitas enim circularis est quod maximum simpliciter in comparatione ad capacitates polygoniarum, quae recipiunt maius et minus et ideo eam non attingunt, sicut numeri non attingunt capacitatem unitatis et multiplicitates non attingunt virtutem simplicis.
   1. Die kreisförmige Capacitas ist nämlich das, was Maximum schlechthin ist im Vergleich zu den Capacitäten polygonaler Figuren, welche Mehr und Weniger aufnehmen und sie deshalb nicht erreichen, so wie die Zahlen die Capacitas der Einheit nicht erreichen und die Vielfachheiten nicht die Virtus des Einfachen.
      1. Kommentar:
         1. Capacitas wird nicht mit „Kreisfläche“ oder „Vieleckfläche“ ersetzt, weil Cusanus denselben Begriff anschließend auf die unitas bezieht. Der Satz baut eine Analogie: polygonale Capacitäten erreichen die kreisförmige Capacitas nicht, wie Zahlen die Capacitas der Einheit und Vielfachheiten die Virtus des Einfachen nicht erreichen. Dadurch wird der mathematische Gedankengang ausdrücklich in Richtung Einheit und Einfachheit geöffnet.

11.

1. Sufficere autem videbatur primam opinionem tenentibus, quod dato circulo posset dari quadratum, quod non esset nec maius nec minus circulo.
   1. Denjenigen aber, die die erste Meinung halten, schien zu genügen, daß zu einem gegebenen Kreis ein Quadratum gegeben werden könnte, das weder größer noch kleiner als der Kreis wäre.
      1. Kommentar:
         1. Opinionem tenere wird neutral als „eine Meinung halten“ wiedergegeben, nicht als starres „Festhalten“. Posset dari und esset bleiben im Möglichkeitsmodus: Cusanus referiert, was der ersten Auffassungsseite zu genügen schien, nicht eine bereits gesicherte Gegebenheit.
2. Omne enim maius aut est parte aliquota aut sui aut alterius, cui comparatur, maius; sic, si minus.
   1. Jedes Größere ist nämlich größer um einen aliquoten Teil entweder seiner selbst oder des anderen, mit dem es verglichen wird; ebenso, wenn es kleiner ist.
3. Sed cum quadratum, quod datur, neque minima dabili parte aut quadrati aut circuli est circulo aut maius aut minus, hoc vocarunt aequale.
   1. Wenn aber das Quadratum, das gegeben wird, weder um den kleinsten gebbaren Teil des Quadratums noch des Kreises größer oder kleiner ist als der Kreis, nannten sie dies äqual.
4. Eo enim modo ceperunt aequale, ut scilicet id sit alteri aequale, quod nulla parte aliquota, quantumcumque minima, aliud excedit aut exceditur.
   1. Auf diese Weise nämlich faßten sie das Äquale: daß nämlich dasjenige einem anderen äqual sei, was um keinen aliquoten Teil, wie klein auch immer, das andere übertrifft oder von ihm übertroffen wird.
5. Sic aequale capiendo puto verum esse, quod datae peripheriae polygoniae dabilis sit peripheria circuli aequalis et e converso.
   1. Das Äquale so fassend, halte ich es für wahr, daß zu der gegebenen Peripherie einer polygonalen Figur eine äquale Peripherie eines Kreises gebbar ist, und umgekehrt.
6. Capiendo vero aequalitatem absolute, prout respicit quantitatem, absque respectu ad partes aliquotas, tunc, quia circulari quantitati non potest non circularis praecise aequalis assignari, secundi verum dixerunt, et hoc per declarationem principii propositionis, scilicet: Si datae peripheriae trigoni etc.
   1. Wenn aber die Äqualität absolut gefaßt wird, soweit sie die Quantität betrifft, ohne Rücksicht auf aliquote Teile, dann haben die Zweiten Wahres gesagt, weil einer kreisförmigen Quantität keine nicht-kreisförmige präzise äquale zugewiesen werden kann; und dies durch die Erklärung des Anfangs der Propositio, nämlich: Wenn zu der gegebenen Peripherie eines Trigons usw.
      1. Kommentar:
         1. usanus vermittelt hier beide Seiten: Das Äquale gemäß aliquoten Teilen gibt den Ersten einen Wahrheitsanteil; die absolute Äqualität hinsichtlich der Quantität gibt den Zweiten recht. Partes aliquotaesind keine „rationalen Bruchteile“. Praecise aequalis ist nicht bloß „genau gleichgroß“, sondern präzise äqual. Principium propositionis wird wegen des folgenden Zitats als Anfang der Propositio verstanden, nicht als bloß zugrundeliegender Gedanke.
7. Sic dixisse sufficiat.
   1. So möge es genügen, dies gesagt zu haben.
8. Per quae intelligas ea, quae de hac re in certis aliis libellulis meis varie scripta reperies.
   1. Durch dieses mögest du das verstehen, was du über diese Sache in gewissen anderen meiner Libelli auf verschiedene Weise geschrieben finden wirst.

Declaratio propositionis

fig. 1

12.

1. Ad declarandum autem propositionem fiat trigonus $abc$, cui inscribatur circulus super $d$ centro, qui sit $efg$, et circumscribatur circulus $hi$; ducaturque linea $de$ sic, quod $e$ sit punctus medius inter $a$ et $b$, et ducatur linea $db$.
   1. Zur Erklärung der Propositio aber werde ein Trigon $abc$ gemacht; diesem werde ein Kreis mit Zentrum $d$eingeschrieben, der $efg$ sei, und der Kreis $hi$ werde ihm umbeschrieben. Es werde die Linie $de$ so gezogen, daß $e$ der mittlere Punkt zwischen $a$ und $b$ sei, und es werde die Linie $db$ gezogen.
2. Ducaturque linea de $d$ ad punctum medium inter $e$ et $b$, quae sit $dk$.
   1. Und es werde eine Linie von $d$ zu dem mittleren Punkt zwischen $e$ und $b$ gezogen, welche $dk$ sei.
3. Dico $dk$ esse minorem semidiametro circuli isoperimetri trigono, quantum est quarta ipsius $dk$ (cfr. figura 1).
   1. Ich sage, $dk$ sei kleiner als der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises um den vierten Teil von $dk$ selbst.

13.

1. Addatur igitur quarta ad $dk$, et sit $dl$ maior $dk$ per quartam $dk$.
   1. Es werde also ein vierter Teil zu $dk$ hinzugefügt, und $dl$ sei größer als $dk$ um den vierten Teil von $dk$.
2. Dico, quod $dl$ est semidiameter circuli isoperimetri trigono.
   1. Ich sage, daß $dl$ der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises ist.
3. Describatur igitur circulus, qui sit $lmn$.
   1. Es werde also ein Kreis beschrieben, der $lmn$ sei.
4. Dico peripheriam $lmn$ aequalem peripheriae $abc$, sic scilicet, quod $lmn$ non est nec maior nec minor quacumque minima parte aliquota ipsius peripheriae $abc$.
   1. Ich sage, daß die Peripherie $lmn$ der Peripherie $abc$ äqual ist, nämlich so, daß $lmn$ weder größer noch kleiner ist um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil der Peripherie $abc$ selbst.

14.

1. Ad hoc ostendendum sic procedo et dico quod, si de $d$ ad $eb$ linea duci debet, quae sit semidiameter circuli isoperimetri trigono, oportet, quod illa se habeat ad omnia latera trigoni simul sumpta sicut semidiameter circuli ad circumferentiam.
   1. Um dies zu zeigen, gehe ich so vor und sage: Wenn von $d$ zu $eb$ eine Linie gezogen werden muß, welche der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises sei, dann muß jene sich zu allen Seiten des Trigons, zugleich genommen, so verhalten wie der Semidiameter des Kreises zur Circumferentia.
      1. Kommentar:
         1. Duci debet wird nicht als „wenn es möglich ist zu ziehen“ übersetzt, sondern als „gezogen werden muß / soll“, weil Cusanus die notwendige Verhältnisbedingung der gesuchten Linie bestimmt. Omnia latera trigoni simul sumpta wird nicht vorschnell als „Summe der drei Seiten“ geglättet, damit die geometrische Zusammennehmung der Seiten sichtbar bleibt. Circumferentia bleibt als Begriff erhalten, weil Cusanus hier nicht peripheria, sondern circumferentia schreibt.
2. Sed cum semidiameter ad circumferentiam nullam penitus habeat proportionem, nec in quantitate nec in potentia, scilicet cum area quadrati semidiametri, quae est potentia semidiametri, nullam habeat proportionem ad aream circuli, neque etiam ad aream quadrati potentiae lineae aequalis circumferentiae, si dabilis foret, proportionem haberet.
   1. Aber da der Semidiameter zur Circumferentia gar keine Proportio hat, weder in der Quantität noch in der Potentia, nämlich da die Area des Quadratums des Semidiameters, welche die Potentia des Semidiameters ist, keine Proportio zur Area des Kreises hat, hätte sie auch zur Area des Quadratums, das die Potentia einer der Circumferentia äqualen Linie wäre, wenn eine solche gebbar wäre, keine Proportio.
      1. Kommentar:
         1. Proportio wird nicht als „rationales Verhältnis“ übersetzt, weil Cusanus den fehlenden proportionalen Maßbezug meint. Potentia wird nicht auf moderne „zweite Potenz“ reduziert; sie bezeichnet hier die Area des Quadratums über einer Linie. Besonders wichtig ist linea aequalis circumferentiae: Cusanus meint eine Linie, die der Circumferentia äqual wäre, falls sie gebbar wäre, nicht schlicht eine „Umfangslinie“.
3. Patet, quod nec quaesitae lineae quantitas aut potentia esse potest proportionalis lineae deaut db, quarum potentiae sunt proportionales ad potentiam eb.
   1. Es ist offenbar, daß weder die Quantität noch die Potentia der gesuchten Linie proportional sein kann zur Linie de oder db, deren Potentiae proportional sind zur Potentia von eb.
      1. Kommentar:
         1. Potentia wird nicht durch „Quadrat“ ersetzt, obwohl sie hier die Quadratfläche über einer Linie meint. Cusanus unterscheidet ausdrücklich die Quantität der Linie von ihrer Potentia. Diese begriffliche Unterscheidung soll erhalten bleiben.
4. Unde linea illa non potest duci de $d$ ad partem aliquotam $eb$ aut aliquotam $db$, sic quod punctus terminalis eius, qui distabit ab $e$ versus $b$, non poterit distare per lineam ab $e$, quae sit proportionalis ad $eb$ vel $db$; quia, si sic, semper esset potentia proportionalis $eb$, ut de se patet.
   1. Daher kann jene Linie nicht von d zu einem aliquoten Teil von eb oder einem aliquoten Teil von db gezogen werden: Ihr Endpunkt, der von e gegen b hin entfernt sein wird, kann von e nicht durch eine Linie entfernt sein, die zu eb oder db proportional ist; denn wenn es so wäre, wäre die Potentia immer proportional zu eb, wie es von sich her offenbar ist.
5. Unde non est assignabilis punctus in $eb$, ad quem si duceretur, haberetur praecise quaesita.
   1. Daher ist kein Punkt in $eb$ assignierbar, zu welchem, wenn die Linie gezogen würde, die präzise gesuchte erhalten würde.
6. Sed bene est punctus in $eb$, ad quem si duceretur, linea illa non foret nec maior nec minor parte aliquota quacumque minima quaesita.
   1. Aber wohl gibt es einen Punkt in $eb$, zu welchem, wenn die Linie gezogen würde, jene Linie weder größer noch kleiner wäre als die gesuchte um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil.
   2. Kommentar zu 5.–6.:
      1. Cusanus unterscheidet hier ausdrücklich zwischen der präzise gesuchten Linie und einer Linie, die ihr im äqualen Sinn entspricht. Der präzise Punkt ist nicht assignierbar; aber ein Punkt ist wohl gegeben, dessen Linie von der gesuchten nicht um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil abweicht. Damit wird die konstruktive Umsetzung des zuvor bestimmten Äquale-Begriffs ausgesprochen.
7. Dico consequenter, quod, sicut nulla linea, quae de d ad $eb$ duci potest ad partem aliquotam $eb$, potest esse quaesita, sic etiam nulla talis potest esse proportionalis ad quaesitam, ut de se patet, cum omnium illarum potentiae sint potentiae lineae $eb$ proportionales.
   1. Folgeweise sage ich, daß, wie keine Linie, die von $d$ zu $eb$ zu einem aliquoten Teil von $eb$ gezogen werden kann, die gesuchte sein kann, so auch keine solche proportional zur gesuchten sein kann, wie es von sich her offenbar ist, da die Potentiae aller jener Linien proportional zur Potentia der Linie $eb$ sind.
      1. Kommentar:
         1. Talis meint eine Linie, die zu einem aliquoten Teil von $eb$ gezogen werden kann, nicht eine Linie, die „in rationalem Verhältnis zu $eb$“ steht. Pars aliquota bleibt aliquoter Teil; Hofmanns „rationaler Teilpunkt“ und der eingeschobene Kommentar verschieben die Aussage. Der Satz setzt fort, daß die präzise gesuchte Linie nicht durch aliquote Teilung von $eb$ assignierbar ist.

15.

1. Dico deinde, quod licet nulla talium sit praecise proportionalis quaesitae, una tamen erit magis proportionalis quam alia.
   1. Ich sage sodann: Obwohl keine von solchen der gesuchten präzise proportional ist, wird dennoch eine proportionaler sein als eine andere.
      1. Kommentar:
         1. Dico bleibt ich sage, nicht „ich behaupte“. Deinde wird als sodann wiedergegeben. Praecise proportionalisbleibt präzise proportional, weil Cusanus hier seine Präzisionslinie fortsetzt: keine der Linien ist präzise proportional zur gesuchten, aber eine kann proportionaler sein als eine andere.
2. Et hoc patet. Nam etsi omnes sint improportionales ad $de$ et $eb$, tamen adhuc una est magis proportionalis ad $eb$ et $db$ quam alia, et ideo minus proportionalis ad quaesitam.
   1. Und dies ist offenbar. Denn auch wenn alle improportional zu $de$ und $eb$ sind, ist dennoch weiterhin eine proportionaler zu $eb$ und $db$ als eine andere, und deshalb weniger proportional zur gesuchten.
      1. Kommentar:
         1. Improportional bleibt erhalten, weil Cusanus den Gegenbegriff zu Proportio weiterführt. Der Satz unterscheidet zwischen relativer Proportionalität zu den gegebenen Linien $eb$/$db$ und Proportionalität zur gesuchten Linie. Eine Linie kann gegenüber $eb$/$db$ proportionaler sein und gerade deshalb gegenüber der gesuchten Linie weniger proportional sein.
3. Unde illa ex omnibus, quae est maxime improportionatis ad $eb$, $de$ et $db$, illa est minime improportionalis ad quaesitam.
   1. Daher ist unter allen jene, die zu $eb$, $de$ und $db$ am meisten improportional ist, zur gesuchten am wenigsten improportional.
      1. Kommentar:
         1. Cusanus steigert hier den Begriff improportionalis. Die gesuchte Linie steht nicht in der proportionalen Ordnung der gegebenen Linien $eb$, $de$ $db$. Darum ist diejenige Kandidatenlinie, die zu diesen gegebenen Linien am meisten improportional ist, zur gesuchten am wenigsten improportional.
4. Una igitur erit inter omnes ducibiles de $d$ ad partes $eb$ minus improportionalis quaesitae.
   1. Eine also wird unter allen Linien, die von $d$ zu Teilen von $eb$ ziehbar sind, zur gesuchten weniger improportional sein.
      1. Kommentar:
         1. Die gesuchte Linie wird negativ-relational bestimmt: nicht als präzise assignierbare Linie, sondern als diejenige, zu der unter den ziehbaren Linien eine am wenigsten improportional ist. Das ist eine konstruktive Form der Annäherung, aber nicht einfach moderne rationale Approximation irrationaler Größen.

De adinvestigando proportionalem

• Über das Aufspüren hin zur Proportionalen

16.

1. Ad investigandum vero proportionalem est advertendum, quod inter lineas improportionales habent se aliquae ut costa et diameter, et numquam potest proportio adeo praecisa reperiri, quin sit excessus maior parte aliquota: ut una decima diametri minor est una septima costae, et excessus est maior parte aliquota diametri et costae, et ita in quibuscumque minimis partibus.
   1. Zum Aufspüren hin zur Proportionalen aber ist zu beachten, daß unter den improportionalen Linien einige sich verhalten wie Costa und Diameter; und niemals kann eine Proportio so präzise gefunden werden, daß nicht ein Überschuß größer als ein aliquoter Teil sei: wie ein Zehntel des Diameters kleiner ist als ein Siebtel der Costa, und der Überschuß größer ist als ein aliquoter Teil des Diameters und der Costa; und so in welchen auch immer kleinsten Teilen.
      1. Kommentar:
         1. Investigandum wird als Aufspüren gefaßt, nicht bloß als „untersuchen“. Improportionales bleibt erhalten. Costa und Diameter bezeichnen hier Seite und Diagonale des Quadrats. Pars aliquota wird nicht als „rationaler Bruchteil“ übersetzt. Hofmanns Rechnung zu (D/10 < S/7) ist korrekt, erklärt aber nur das Beispiel, nicht den ganzen Satz über beliebig kleine Teile und den bleibenden excessus.

17.

1. Alia est improportio ut angulorum incidentiae et rectilinei.
   1. Eine andere Improportio ist die der Inzidenz- und rectilinealen Winkel.
2. Nam linea se habens ut angulus incidentiae est improportionalis ad lineam se habentem ut angulus rectilineus, et medietas rectilinei est maior medietate incidentiae per quantitatem medietatis contingentiae; quae tamen medietas minor est omni parte aliquota, tam rectilinei anguli quam incidentiae.
   1. Denn eine Linie, die sich verhält wie der Inzidenzwinkel, ist improportional zu einer Linie, die sich verhält wie ein rectilinealer Winkel; und die Hälfte des rectilinealen Winkels ist größer als die Hälfte des Inzidenzwinkels durch die Quantität der Hälfte des Kontingenzwinkels. Diese Hälfte ist jedoch kleiner als jeder aliquote Teil sowohl des rectilinealen Winkels als auch des Inzidenzwinkels.
3. Kommentar:
   1. Cusanus unterscheidet hier eine andere Improportio als bei Costa und Diameter. Beim Verhältnis von Inzidenzwinkel und rectilinealem Winkel ist die Differenz die Quantität des Kontingenzwinkels; dessen Hälfte ist jedoch kleiner als jeder aliquote Teil der beiden verglichenen Winkel. Pars aliquota wird daher nicht als „rationaler Bruchteil“ übersetzt.

18.

1. Quod autem talis habitudo sit reperibilis in lineis, ex hoc videtur: Nam cum angulus sit superficies et linea sit terminus superficiei, patet, quod eo modo, quo angulus contingentiae est superficies divisibilis, sic suo modo et eius terminus, scilicet linea angulum illum superficialem terminans.
   1. Daß aber eine solche Habitudo in Linien auffindbar sei, zeigt sich aus diesem: Denn da der Winkel eine Superficies ist und die Linie der Terminus der Superficies ist, ist offenbar, daß auf die Weise, auf welche der Kontingenzwinkel eine teilbare Superficies ist, so auf seine Weise auch sein Terminus teilbar ist, nämlich die Linie, die jenen superficialen Winkel terminiert.
2. Similiter linea terminans anguli rectilinei superficiem linea est divisibilis secundum divisibilitatem superficiei.
   1. Ebenso ist die Linie, welche die Superficies des rectilinealen Winkels terminiert, eine Linie, die gemäß der Teilbarkeit der Superficies teilbar ist.
   2. Kommentar 1.–2.:
      1. Cusanus überträgt hier die Teilbarkeit des flächenhaft gedachten Winkels auf die Linie als dessen Terminus. Suo modo ist wichtig: Die Linie ist nicht auf dieselbe Weise teilbar wie die Superficies, sondern auf ihre Weise als Terminus der Superficies.
3. De linea igitur, quae terminat superficiem anguli rectilinei, potest abscindi linea terminans angulum contingentiae, et ideo linea terminans angulum incidentiae est improportionalis ad lineam terminantem angulum rectilineum per lineam terminantem angulum contingentiae.
   1. Von der Linie also, welche die Superficies des rectilinealen Winkels terminiert, kann die Linie abgeschnitten werden, die den Kontingenzwinkel terminiert; und deshalb ist die den Inzidenzwinkel terminierende Linie improportional zu der den rectilinealen Winkel terminierenden Linie durch die den Kontingenzwinkel terminierende Linie.
      1. Kommentar:
         1. Cusanus überträgt die flächenhafte Winkelstruktur auf die begrenzenden Linien. Die Linie des Kontingenzwinkels ist der abgeschnittene bzw. unterscheidende Terminus, durch den die Linie des Inzidenzwinkels zur Linie des rectilinealen Winkels improportional ist.
4. Unde cum haec linea terminans angulum contingentiae sit minor omni parte aliquota lineae rectilineum aut incidentiae angulum terminantis, patet propositum.
   1. Daher ist, da diese den Kontingenzwinkel terminierende Linie kleiner ist als jeder aliquote Teil der Linie, die den rectilinealen oder den Inzidenzwinkel terminiert, das Vorgesetzte offenbar.
      1. Kommentar:
         1. Der Satz schließt die Übertragung der Kontingenzwinkel-Improportio auf Linien ab. Die den Kontingenzwinkel terminierende Linie ist kleiner als jeder aliquote Teil der Linien, welche den rectilinealen oder den Inzidenzwinkel terminieren. Rectilineus wird hier nicht als „gerader“ oder „rechter“ Winkel übersetzt, sondern als rectilineal. Propositum ist nicht „Behauptung“, sondern das zuvor Vorgesetzte oder Beabsichtigte des Beweisschritts.

19.

1. Et in hoc notare poteris, quomodo ante omnem divisibilitatem lineae rectae est linea inattingibilis per omnem divisibilitatem, qua linea recta rectam secare potest.
   1. Und hierin wirst du bemerken können, wie vor aller Teilbarkeit der geraden Linie eine Linie ist, die durch alle Teilbarkeit unangänglich ist, durch welche eine gerade Linie eine gerade schneiden kann.
2. Quae tamen etsi non sit divisibilis divisione, qua linea recta per rectam dividitur, in cuius respectu est ut punctus terminalis inattingibilis, est tamen suo modo per curvam divisibilis.
   1. Diese Linie jedoch ist, obgleich sie nicht teilbar ist durch die Teilung, durch welche eine gerade Linie durch eine gerade geteilt wird — in deren Hinsicht sie wie ein unangänglicher terminaler Punkt ist —, dennoch auf ihre Weise durch eine Kurve teilbar.
3. Unde linea illa, quoniam est terminus superficiei, et divisibilis linea dicitur, licet in comparatione ad lineam, quam terminat punctus, indivisibilis appareat.
   1. Daher wird jene Linie, da sie Terminus der Superficies ist, auch eine teilbare Linie genannt, obgleich sie im Vergleich zu der Linie, welche ein Punkt terminiert, unteilbar erscheint.
4. Sicut enim divisibilitas superficiei terminatur in linea, quae in respectu ad superficiem est indivisibilis, quoniam non est superficialiter divisibilis, tamen linea ipsa terminalis superficiei in se considerata quantitas divisibilis est, ita divisibilitas rectae lineae per rectam terminatur in punctum, qui est terminus divisionis et lineae, et est rectilinealiter indivisibilis in quantum terminus lineae, in se tamen est quantitas divisibilis.
   1. Wie nämlich die Teilbarkeit der Superficies in einer Linie terminiert, die im Hinblick auf die Superficiesunteilbar ist, weil sie nicht superficial teilbar ist, die Linie selbst aber als terminale der Superficies in sich betrachtet eine teilbare Quantität ist, so terminiert die Teilbarkeit der geraden Linie durch eine gerade in einem Punkt, der Terminus der Teilung und der Linie ist und rectilineal unteilbar ist, insofern er Terminus der Linie ist, in sich jedoch eine teilbare Quantität ist.
5. Est igitur possibile unam lineam esse alia minorem aut maiorem, non tamen aliqua parte aliquota aut maiori aliquota, sed minori.
   1. Es ist also möglich, daß eine Linie kleiner oder größer ist als eine andere, jedoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil oder um einen größeren aliquoten, sondern um einen kleineren.
6. Ex quo elicere potes, quid de lineis et punctis indivisibilibus sentiendum.
   1. Daraus kannst du entnehmen, was über die unteilbaren Linien und Punkte zu denken ist.

20.

1. Dico igitur, quod etsi possit de d ad eb linea proportionalis ad quaesitam trahi, ita quod excessus non sit maior parte aliquota, non tamen potest trahi talis, quin excessus sit licet minor parte aliquota.
   1. Ich sage also, daß, auch wenn von d nach eb eine zur gesuchten proportionale Linie gezogen werden kann, so daß der Überschuß nicht größer ist als ein aliquoter Teil, dennoch keine solche gezogen werden kann, ohne daß ein Überschuß sei, wenn auch kleiner als ein aliquoter Teil.
2. Deinde dico, quod etsi innumerabiles tales trahi possent, tamen una praecisior alia, nulla vero praecisissima.
   1. Ferner sage ich, daß, auch wenn unzählige solche gezogen werden könnten, dennoch eine präziser ist als die andere, keine aber präzisissima.

21.

1. Videamus igitur, quam talium potest humanum ingenium de omnibus attingere.
   1. Sehen wir also, welche von allen solchen Linien das menschliche Ingenium erreichen kann.
2. Manifestum est autem, quod si linea, quae debet esse proportionalis quaesitae, extenditur secundum quamcumque partem eius aliquotam, puta tertiam eius aut quartam aut aliam, semper manet proportionalis.
   1. Es ist aber offenbar, daß, wenn eine Linie, die der gesuchten proportional sein soll, gemäß irgendeinem aliquoten Teil ihrer verlängert wird, etwa ihrem dritten oder vierten oder einem anderen, sie immer proportional bleibt.
3. Si igitur linea ipsa extenditur secundum habitudinem lineae, quae cadit inter terminum eius in $eb$ et $e$, ad lineam $ab$ aut secundum habitudinem lineae inter terminum eius in $eb$ et $b$ ad lineam $ab$, semper manet proportionalis.
   1. Wenn also die Linie selbst gemäß der Habitudo der Linie verlängert wird, die zwischen ihrem Terminus auf $eb$ und $e$ liegt, zu der Linie $ab$, oder gemäß der Habitudo der Linie zwischen ihrem Terminus auf $eb$ und $b$ zu der Linie $ab$, so bleibt sie immer proportional.
4. Aut igitur habitudines illae sunt tales, quod secundum aliquam ipsarum devenitur ad quaesitam, aut non.
   1. Also sind jene Habitudines entweder von der Art, daß man gemäß einer von ihnen zur gesuchten gelangt, oder nicht.
5. Si non, tunc per ipsam lineam, quam praesupponimus proportionalem ad quaesitam ignotam, nihil de quaesita scire poterimus.
   1. Wenn nicht, dann werden wir durch die Linie selbst, die wir als proportional zu der gesuchten unbekannten voraussetzen, nichts über die gesuchte wissen können.
6. Nam cum quaesita sit ignota et extensio non ducat nos ad eam, sed ad maiorem vel minorem ea, quam ignoramus, non poterimus excessum scire quaesitae penitus ignotae.
   1. Denn da die gesuchte unbekannt ist und die Verlängerung uns nicht zu ihr führt, sondern zu einer größeren oder kleineren als sie, die wir nicht kennen, werden wir den Überschuß der gänzlich unbekannten Gesuchten nicht wissen können.

22.

1. Si dixeris per alteram extensionem ad quaesitam perveniri et non per ambas, idem erit, quia ignoramus, per quam et ubi linea illa cadat, cum de illis possint cadere infinitae inter $e$ et $b$.
   1. Wenn du sagen solltest, daß man durch die eine Verlängerung zur gesuchten gelange und nicht durch beide, so ist es dasselbe, weil wir nicht wissen, durch welche und wo jene Linie falle, da von jenen unendlich viele zwischen $e$ und $b$. fallen können.
2. Si dixeris aequales fore extensiones et tamen aut minores aut maiores quaesitae ignotae, iterum ad quaesitam numquam deveniretur.
   1. Wenn du sagen solltest, die Verlängerungen seien gleich und dennoch entweder kleiner oder größer als die gesuchte unbekannte, so würde man wiederum niemals zur gesuchten gelangen.

fig. 2

23.

1. Necesse est igitur proportionalem, per quam humanum ingenium hoc modo procedendi se iuvare potest, ut veniat ad quaesitam, eam esse, quae per ambas aequales extensiones sive unam sive aliam quaesitam ostendit; et haec est linea, quae ducitur de $d$ ad medium inter $e$ et $b$, puta $f$.
   1. Es ist also notwendig, daß die Proportionale, durch welche das menschliche Ingenium sich bei dieser Weise des Vorgehens helfen kann, um zur gesuchten zu gelangen, diejenige sei, welche durch beide gleichen Verlängerungen sowohl die eine als auch die andere als die gesuchte zeigt; und dies ist die Linie, die von $d$ nach der Mitte zwischen $e$ und $b$, nämlich $f$, gezogen wird.
2. Et haec est sola illa, quae per habitudinem unam, qua se habet altera linearum distantiae ab $e$ vel $b$ ad $ab$ extensa, scilicet quartam sui, nos ducit ad quaesitam, modo quo sic procedendo est nobis possibile attingere, etiam si in aliis procedendi modis alia praecisior posset reperiri.
   1. Und diese ist jene einzige, die uns durch die eine Habitudo, in der eine der beiden auf $ab$ erstreckten Abstandslinien von $e$ oder $b$ steht, nämlich als ihr Viertel, zur gesuchten führt, in der Weise, in der es uns bei solchem Vorgehen möglich ist, sie zu erreichen, auch wenn in anderen Weisen des Vorgehens eine andere präzisere gefunden werden könnte.

24.

1. Verum ne penitus hanc putes puram esse coniecturam, ita quod humanum ingenium nulla ratione alia ad hanc assertionem ducatur, facere poteris syllogismum, qui hoc casu extra ultimam praecisionem et citra differentiam minimae partis aliquotae admittitur (cfr. figura 2).
   1. Damit du dies aber nicht gänzlich für eine reine Konjektur hältst, so als würde das menschliche Ingenium durch keinen anderen Grund zu dieser Assertion geführt, wirst du einen Syllogismus bilden können, der in diesem Falle außerhalb der letzten Präzision und diesseits der Differenz des kleinsten aliquoten Teils zugelassen wird.
2. Nam cum de $d$ prope $e$ linea, puta ad $g$, tracta et extensa secundum habitudinem $eg$ ad $ab$ sit minor quaesita, et similiter extensa secundum habitudinem $gb$ ad $ab$ etiam sit minor quaesita; et alia linea de $d$ prope $b$, puta $h$, tracta et secundum habitudinem $eh$ ad $ab$ extensa sit maior quaesita, et similiter secundum habitudinem $hb$ ad $ab$ extensa sit maior quaesita, ut est hinc inde notorium: igitur est alia de $d$ ad $eb$ trahibilis, quae secundum lineae inter terminum eius et $e$ cadentis habitudinem ad $ab$ extensa non est maior nec minor quaesita.
   1. Denn da eine von $d$ nahe bei $e$ gezogene Linie, etwa nach $g$, gemäß der Habitudo von $eg$ zu $ab$ verlängert, kleiner ist als die gesuchte, und ebenso gemäß der Habitudo von $gb$ zu $ab$ ebenfalls kleiner ist als die gesuchte; und da eine andere von $d$ nahe bei $b$ gezogene Linie, etwa nach $h$, gemäß der Habitudo von $eh$ zu $ab$ verlängert, größer ist als die gesuchte, und ebenso gemäß der Habitudo von $hb$ zu $ab$ größer ist als die gesuchte, wie dies von beiden Seiten her bekannt ist: so ist also eine andere von $d$ nach $eb$ ziehbar, die, gemäß der Habitudo der Linie, die zwischen ihrem Terminus und $e$ fällt, zu $ab$ verlängert, weder größer noch kleiner ist als die gesuchte.
3. Et est similiter linea de $d$ trahibilis ad $eb$, quae extensa secundum habitudinem lineae inter terminum eius et $b$ cadentis ad $ab$ non est maior nec minor quaesita.
   1. Und ähnlich ist eine Linie von $d$ nach $eb$ ziehbar, die, gemäß der Habitudo der Linie, die zwischen ihrem Terminus und $b$ fällt, zu $ab$ verlängert, weder größer noch kleiner ist als die gesuchte.
4. Sed quia illae duae lineae, ex quarum extensionibus quaesita evenire debet, non possunt esse diversae, cum diversae lineae de $d$ ad $eb$ trahibiles non possint habere aeque praecisam proportionem ad quaesitam, sed una semper erit praecisior alia: ideo nec extensae secundum varias habitudines suarum partium ad eas ad eandem quaesitam aequaliter attingere possunt.
   1. Da aber jene zwei Linien, aus deren Verlängerungen die gesuchte hervorgehen soll, nicht verschieden sein können, weil verschiedene von $d$ nach $eb$ ziehbare Linien nicht eine gleich präzise Proportion zur gesuchten haben können, sondern eine immer präziser sein wird als die andere, darum können auch sie, wenn sie gemäß den verschiedenen Habitudinesihrer Teile zu ihnen verlängert werden, nicht gleicherweise zu derselben gesuchten gelangen.
5. Necesse igitur erit, quod sit una tantum linea et extensio eadem, quod extra $f$ punctum non est possibile.
   1. Es wird also notwendig sein, daß es nur eine einzige Linie und dieselbe Verlängerung gibt, was außerhalb des Punktes $f$ nicht möglich ist.
6. Quare omnis sufficientia, quae in hoc procedendi modo sciri potest, est illa, quae ponitur in propositione sic declarata.
   1. Daher ist alle Hinlänglichkeit, die bei dieser Weise des Vorgehens gewußt werden kann, diejenige, die in der so dargelegten Proposition gesetzt wird.

25.

1. Quoniam autem nunc tibi id, quod est scibile de aequalitate peripheriarum curvilinealium et rectilinealium figurarum, patefeci – scilicet, quomodo verius quod in hoc scitur est, aequalitatem sciri non posse, atque etiam quod id, quod propinquissime sciri potest in hoc, est per propositionem brevem revelatum –, tunc desiderio tuo, quantum potui, satisfeci.
   1. Da ich dir aber nun das offengelegt habe, was über die Äqualität der Peripherien curvilinealer und rectilinealer Figuren wißbar ist — nämlich, daß das, was hierin gewußt wird, wahrer dies ist: daß die Äqualität nicht gewußt werden kann, und auch, daß das, was hierin am nächsten gewußt werden kann, durch eine kurze Proposition offenbart ist —, habe ich deinem Verlangen, soweit ich konnte, genügt.
2. Nam scito hoc: Habes modum omne mathematice scibile investigandi.
   1. Denn wisse dies: Du hast einen Modus, alles mathematisch Wißbare aufzuspüren.
3. Omnis enim propositio in mathematicis, per quam sequitur praecisa aequalitas circuli et quadrati, est impossibilis, et omnis propositio, per cuius contrarium inferretur praecisio, est necessaria.
   1. Denn jede Proposition in den Mathematiken, durch die die präzise Äqualität von Kreis und Quadratum folgt, ist unmöglich, und jede Proposition, durch deren Gegenteil Präzision gefolgert würde, ist notwendig.
4. Immo assero, quod qui in mathematicis scit omnem inquisitionem ad hoc reducere, perfectionem adeptus est artis illius.
   1. Vielmehr sage ich, daß, wer in den Mathematiken versteht, jede Inquisition auf dies zurückzuführen, die Perfektion jener Kunst erlangt hat.
5. Nam nihil penitus in ea verum est, ex cuius opposito non sequitur circuli et quadrati aequalitas, et haec est omnis mathematicae inquisitionis sufficientissima resolutio.
   1. Denn in ihr ist schlechterdings nichts wahr, aus dessen Gegenteil nicht die Äqualität von Kreis und Quadratum folgt, und dies ist die allhinlänglichste Rücklösung jeder mathematischen Inquisitio.

26.

1. Id autem, quod sine praecisione citra tamen omnem sensibilem aut assignabilem errorem etiam minimae partis aliquotae sciri potest in transmutationibus figurarum et habitudinibus innumerabilibus, ex iam dictis etiam patefeci.
   1. Das aber, was in den Transmutationen der Figuren und den innumerablen Habitudines ohne Präzision, doch diesseits jedes sensiblen oder assignierbaren Fehlers auch des kleinsten aliquoten Teils gewußt werden kann, habe ich auch aus dem bereits Gesagten offengelegt.
2. Per quae habes, quomodo habitudo diametri circuli ad circumferentiam eius est ut duarum radicum numeri 1575 cum medietate unius radicis ad sex radices numeri 2700.
   1. Dadurch hast du, wie die Habitudo des Diameter des Kreises zu seiner Circumferentia sich verhält wie zwei Wurzeln der Zahl 1575 mit der Hälfte einer Wurzel zu sechs Wurzeln der Zahl 2700.
3. Et licet non sit praecisissima, non tamen est nec maior nec minor per minutum aut minuti quamcumque dabilem partem.
   1. Und obgleich sie nicht praecisissima ist, ist sie dennoch weder größer noch kleiner um ein Minute oder irgendeinen gebbaren Teil eines minutum.
4. Unde sciri non potest, quantum a praecisione ultima deficiat, cum non sit communi numero attingibilis.
   1. Daher kann nicht gewußt werden, um wieviel es der letzten Präzision ermangele, da es durch die gemeine Zahl nicht erreichbar ist.
5. Et hinc iste defectus non est reparabilis, cum non nisi alto intellectu et nequaquam sensibili experimento sit attingibilis.
   1. Und daher ist dieser defectus nicht reparabel, da er nur durch hohen intellectus und keineswegs durch sensibles experimentum erreichbar ist.
6. Scire ex solo isto nunc potes, quod in non scibili praecisius attingitur, quam scientiam hactenus traditam non repperi.
   1. Aus diesem allein kannst du nun wissen, daß im Nichtwißbaren präziser erreicht wird, welche Erkenntnis ich bis jetzt nicht überliefert gefunden habe.

27.

1. Attendere autem praeter hoc utile videtur, quod, uti hoc casu vides, per unum, puta quadratum, non attingi aliud, scilicet circulare, aut e converso adeo praecise, quin praecisius attingi possit, etiam si defectus nequaquam appareat.
   1. Nützlich scheint aber außerdem zu beachten, daß, wie du in diesem Falle siehst, durch das eine, etwa das Quadratum, das andere, nämlich das Circulare, oder umgekehrt, nicht so präzise erreicht wird, daß es nicht noch präziser erreicht werden könnte, auch wenn der defectus keineswegs erscheint.
2. Ita in omni inquisitione veri, ubi per unum ad aliud sciendum pergimus, per notum scilicet ad ignotum, idem fore sentiendum, scilicet verum varie et differenter attingi citra praecisionem ultimam, quoniam per unum praecisius quam per alium, per nullum vero praecisissime, licet defectus non appareat; quoniam mensura, qua homo pergit ad veri inquisitionem, est vero improportionalis, et hinc ille, qui citra praecisionem quietatur, errorem non apprehendit.
   1. So wird in jeder Inquisitio des Wahren, wo wir durch das eine zum Wissen des anderen fortgehen, nämlich durch das Bekannte zum Unbekannten, dasselbe zu befinden sein, nämlich daß das Wahre auf verschiedene und unterschiedene Weise diesseits der letzten Präzision erreicht wird, weil es durch das eine präziser als durch das andere, durch keines aber praecisissime erreicht wird, obgleich der defectus nicht erscheint; weil die mensura, durch welche der Mensch zur Inquisitio des Wahren fortgeht, dem Wahren improportional ist, und daher derjenige, der diesseits der Präzision sich beruhigt, den Irrtum nicht ergreift.
3. Et haec est differentia hominum, quoniam quidam se praecisionem attigisse iactant, quam sapientiores inattingibilem sciunt, ut hi sint doctiores, qui suae ignorantiae scientiam habent.
   1. Und dies ist der Unterschied der Menschen, weil manche sich rühmen, die Präzision erreicht zu haben, die die Weiseren als inattingibel wissen, so daß jene die Gelehrteren sind, die die Wissenschaft ihrer Ignoranz haben.

28.

1. Admonebam in exordio, ut via assimilationis de his mathematicis ad theologiam te transferres, nam hic est convenientior modus ascendendi.
   1. Ich erinnerte im Exordium daran, daß du dich auf dem Wege der Assimilation von diesen mathematischen Dingen zur Theologie hinübertragen solltest; denn dies ist der geeignetere Modus des Aufsteigens.
2. Versantur enim mathematicae doctrinae in veris intelligentiis, quoniam figuras in sua veritate absque variabili materia considerant.
   1. Denn die mathematischen Lehren bewegen sich in wahren Intelligenzen, weil sie die Figuren in ihrer Wahrheit ohne veränderliche Materie betrachten.
3. Unde ad formam primam, quae est formarum forma penitus absoluta, illis figurarum multiplicitatibus inferius relictis quadam assimilatione facilius scanditur.
   1. Daher wird zur ersten Form, welche die gänzlich absolute Form der Formen ist, nachdem jene Vielheiten der Figuren unten zurückgelassen sind, durch eine gewisse Assimilation leichter aufgestiegen.
4. Nam omnes theologi quandam quaerunt praecisionem, quomodo circularem aeternitatem, unissimam et simplicissimam, possint attingere.
   1. Denn alle Theologen suchen eine gewisse Präzision, wie sie die circulare Ewigkeit, die unissimste und simplicissimste, erreichen können.
5. Sed vis infinita est incommensurabilis per omne non infinitum, sicut capacitas circularis per omnem non circulum incommensurabilis manet.
   1. Aber die unendliche vis ist durch jedes Nicht-Unendliche inkommensurabel, wie die circulare capacitas durch jeden Nicht-Kreis inkommensurabel bleibt.

29.

1. Sicut igitur circulus est perfectio figuralis omnem figurarum perfectionem in se complicans, sicut eius capacitas omnium figurarum capacitatem, et nihil commune habet cum omni figura alia, in se penitus simplex et una: sic aeternitas absoluta est forma omnium formarum in se complicans perfectionem, et eius vis omnipotens omnem vim formarum, omnem speciem ambiens, nihil tamen commune habens cum omni alia forma.
   1. Wie also der Kreis die figurale Perfektion ist, alle Perfektion der Figuren in sich komplizierend, wie seine capacitas die capacitas aller Figuren, und mit jeder anderen Figur nichts Gemeinsames hat, in sich gänzlich einfach und eine: so ist die absolute Ewigkeit die Form aller Formen, in sich die Perfektion komplizierend, und ihre allvermögende vis umgreift alle vis der Formen, jede species, hat jedoch mit jeder anderen Form nichts Gemeinsames.
2. Et quemadmodum circularis figura in eo, quia sine principio et fine, quandam habet assimilationem aeternitatis, et in sua capacitate, qua omnes omnium figurarum capacitates includit, quandam habet figuram omnipotentiae, et in sua connexione, qua circumferentia unitur capacitate, habet quandam figuram amorosissimi et infiniti nexus: ita quidem in essentia divina intuemur aeternitatem in se habentem omnipotentiam atque in his infinitum nexum.
   1. Und wie die circulare Figur darin, daß sie ohne Anfang und Ende ist, eine gewisse Assimilation der Ewigkeit hat, und in ihrer capacitas, durch welche sie die capacitas aller aller Figuren einschließt, eine gewisse Figur der Allmacht hat, und in ihrer connexio, durch welche die circumferentia mit der capacitas geeint wird, eine gewisse Figur des amorosissimsten und unendlichen Nexus hat: so schauen wir freilich in der göttlichen Essenz die Ewigkeit, die in sich die Allmacht hat, und in diesen den unendlichen Nexus.
3. In aeternitate quidem intuemur principium sine principio, et hoc quidem principium paternum dicimus.
   1. In der Ewigkeit freilich schauen wir das Prinzip ohne Prinzip, und dieses Prinzip nennen wir das väterliche Prinzip.
4. In omnipotentia, quae est a principio sine principio, intuemur principium illimitatum a principio.
   1. In der Allmacht, die vom Prinzip ohne Prinzip ist, schauen wir das illimitierte Prinzip vom Prinzip her.
5. In infinito nexu intuemur principii sine principio et principii a principio amorosissimum nexum.
   1. Im unendlichen Nexus schauen wir den amorosissimsten Nexus des Prinzips ohne Prinzip und des Prinzips vom Prinzip her.
6. In hoc enim, quod in divina essentia intuemur aeternitatem, intuemur patrem.
   1. Denn darin, daß wir in der göttlichen Essenz die Ewigkeit schauen, schauen wir den Vater.
7. In hoc, quod in eadem essentia intuemur aeternitatis potentiam, quae non potest esse nisi infinita, cum sit potentia aeternitatis, principii scilicet sine principio, in hoc intuemur aequalitatem unitatis aeternae, scilicet filium patris.
   1. Darin, daß wir in derselben Essenz die Potenz der Ewigkeit schauen, die nicht anders als unendlich sein kann, da sie die Potenz der Ewigkeit ist, nämlich des Prinzips ohne Prinzip, darin schauen wir die Äqualität der ewigen Einheit, nämlich den Sohn des Vaters.
8. In hoc, quod intuemur aeternae unitatis et suae aequalitatis nexum amorosissimum utriusque, spiritum intuemur.
   1. Darin, daß wir den amorosissimsten Nexus der ewigen Einheit und ihrer Äqualität, nämlich den Nexus beider, schauen, schauen wir den spiritus.
9. In unitate igitur simplicissima aeternitatis vigorosissimam et omnipotentissimam aequalitatem intuemur, ac e converso in aequalitate unitatem, similiter et in nexu unitatem et aequalitatem.
   1. In der simplicissimsten Einheit der Ewigkeit schauen wir also die vigorosissimste und omnipotentissimste Äqualität, und umgekehrt in der Äqualität die Einheit, ebenso im Nexus die Einheit und die Äqualität.
10. Sine aeternae entitatis unitate nihil esse potest.
    1. Ohne die Einheit der ewigen Entität kann nichts sein.
11. Sine illius unitatis aequalitate nihil sic esse uti est esse potest.
    1. Ohne die Äqualität jener Einheit kann nichts so sein, wie es ist.
12. Sine infinito nexu esse et simul sic esse uti est nihil esse potest.
    1. Ohne den unendlichen Nexus von Sein und zugleich so Sein, wie es ist, kann nichts sein.
13. Sine unitrino igitur principio nihil esse potest.
    1. Ohne das unitrine Prinzip also kann nichts sein.

30.

1. Haec assimilantur in circulo, et eius capacitate atque strictissimo nexu, quo circulus est maxime sibi ipsi constrictus, cohaerens atque naturaliter unitus esse videmus.
   1. Diese werden im Kreis assimiliert, und wir sehen sein Sein in seiner capacitas und im strictissimsten nexus, durch den der Kreis sich selbst am meisten zusammengeschlossen ist, zusammenhängend und natürlich geeint.
2. Post haec advertimus, quod cum omnes polygoniae figurae sint ex peripheria, capacitate et nexu ad imaginem circularis figurae, et omnis peripheria polygoniae sit cadens a peripheria circuli, et omnis capacitas polygoniae improportionabiliter deficiens a capacitate circuli, et similiter omnis nexus utriusque – quod sic etiam se habent species rerum sensibilium ad formam formarum, ut species harum sensibilium rerum sint in comparatione ad deum quasi ut trigoni, tetragoni, pentagoni et ita consequenter ad circulum comparati.
   1. Hiernach werden wir gewahr, daß, da alle polygonischen Figuren aus peripheria, capacitas und nexus nach dem Bilde der circularen Figur sind, und jede peripheria des Polygonischen von der peripheria des Kreises abfällt, und jede capacitasdes Polygonischen improportionaliter hinter der capacitas des Kreises zurückbleibt, und ebenso jeder nexusbeider, sich auch die species der sinnlichen Dinge so zur Form der Formen verhalten, daß die species dieser sinnlichen Dinge im Vergleich zu Gott gleichsam wie Trigone, Tetragone, Pentagone und so fort zum Kreis verglichen sind.

31.

1. Quaelibet autem polygoniarum quandam habet diffinitam perfectionem, extra quam nec est nec esse potest.
   1. Jede der Polygonien aber hat eine gewisse diffinite Perfektion, außerhalb deren sie weder ist noch sein kann.
2. Trigoni enim esse extra triangularitatem nequaquam esse potest; ita de tetragono et ceteris.
   1. Denn das Sein des Trigons kann keineswegs außerhalb der Triangularität sein; ebenso vom Tetragon und den übrigen.
3. Quiescit igitur sic omnis species inter ambitum suum, qui sub sua clauditur peripheria, et extra ipsum nec esse potest nec appetit.
   1. So ruht also jede species innerhalb ihres ambitus, der unter ihrer eigenen peripheria eingeschlossen ist, und außerhalb desselben kann sie weder sein noch begehrt sie es.
4. Desineret enim omne esse trigonum, si in tetragonum pergeret, uti de se notissimum est.
   1. Denn alles trigone Sein würde aufhören, wenn es in das Tetragon überginge, wie an ihm selbst höchstbekannt ist.
5. Unde ad interitum suum nulla species ex sua natura, qua habet esse et sic esse, moveri potest, quare in terminis suae specificae naturae quiescit.
   1. Daher kann keine species aus ihrer Natur, durch die sie Sein und so Sein hat, zu ihrem Untergang bewegt werden, weshalb sie in den Grenzen ihrer spezifischen Natur ruht.
6. Et haec quies est sua, quia infra peripheriam suae perfectionis vim divinam suo habet modo, in qua amoroso nexu deliciatur.
   1. Und diese Ruhe ist ihre eigene, weil sie innerhalb der peripheria ihrer Perfektion die göttliche vis auf ihre Weise hat, in welcher sie sich im amorosen nexus erfreut.

32.

1. Mensurat igitur omnis sensibilis species suo quodam modo aeternitatem, virtutem et nexum amoris infinitum, licet in mensurando nihil habeat proportionale, cum omnis polygonia multiangula sit diminutae virtutis et capacitatis, parvi nexus et unionis, quae ad circularem aeternitatis unitatem, capacitatem inexhauribilem ac infinitam connexionem nihil proportionis habere potest, etiam si omne id, quod habet, eo habeat modo, ut in triangulari aut tetragona natura virtus circularis potest participari.
   1. Es mißt also jede sensible species auf ihre gewisse Weise die Ewigkeit, die virtus und den unendlichen Liebes-nexus, obgleich sie im Messen nichts Proportionales hat, da jedes polygonische Vieleck von verminderter virtus und capacitas, von kleinem nexus und Union ist und zur circularen Einheit der Ewigkeit, zur inexhaustiblen capacitas und zur unendlichen connexio keinerlei Proportion haben kann, auch wenn es all das, was es hat, in der Weise hat, in der in trigoner oder tetragoner Natur die circulare virtus partizipiert werden kann.
2. Haec est igitur habitudo specierum sensibilium ad formam formarum, quae est polygoniarum ad circulum.
   1. Dies ist also die Habitudo der sensiblen species zur Form der Formen, welche die der Polygonien zum Kreis ist.
3. Deinde, cum multi sint modi essendi trigoni, quoniam alter est trigonus rectiangulus, alter acutiangulus, alter obtusiangulus, cadentque in singulis talibus varii essendi modi in variabili materia, et hi omnes modi sunt contractiones individuales.
   1. Ferner, da es viele modi essendi des Trigons gibt, weil das eine Trigon rechtwinklig, ein anderes spitzwinklig, ein anderes stumpfwinklig ist, und in jedem solchen in variabler Materie verschiedene modi essendi anfallen, sind alle diese Modi individuelle contractiones.
4. Species enim in se vere consideratae sic cadunt in variabili materia variabiliter.
   1. Denn die species, in sich wahrhaft betrachtet, fallen in variabler Materie veränderlich ein.
5. Nam trigonus verius figuratur et perfectius in auro quam aqua aut labili alia materia, et adhuc verius intelligitur quam figuretur in quacumque materia.
   1. Denn das Trigon wird in Gold wahrer und perfekter figuriert als in Wasser oder anderer labiler Materie, und noch wahrer wird es intelligiert, als es in irgendeiner Materie figuriert wird.

33.

• Unde ex hoc advertimus, quomodo omnes polygoniae possunt inscribi circulo ac quomodo in circulo sunt omnes meliori modo quam ut sunt in materia, quoniam ibi sunt circulus.
  • Daher werden wir daraus gewahr, wie alle Polygonien dem Kreis eingeschrieben werden können und wie sie alle im Kreis in besserer Weise sind, als sie in der Materie sind, weil sie dort Kreis sind.
• Et in hoc videmus, si omnes polygoniae possunt inscribi circulo sensibili et circulus aeternitatis sit actus omnis possibilitatis, quod tunc, sicut omnes polygoniae possunt circulo sensibiliter inscribi, ita sunt actu omnes species in specie seu forma aeternitatis ipsa forma aeterna.
  • Und darin sehen wir: Wenn alle Polygonien dem sensiblen Kreis eingeschrieben werden können und der Kreis der Ewigkeit der actus aller Möglichkeit ist, dann sind, wie alle Polygonien dem Kreis sensibel eingeschrieben werden können, so alle species dem actus nach in der species oder Form der Ewigkeit die ewige Form selbst.
• Et sicut in nostra mente verius esse habet trigonalis forma quam in variabili materia, ita in aeterna mente seu verbo verius esse habent omnes rerum species, ubi sunt ipsa aeterna veritas, quam in individuali varietate.
  • Und wie in unserem Geist die trigonale Form wahreres Sein hat als in variabler Materie, so haben im ewigen Geist oder Wort alle species der Dinge wahreres Sein, wo sie selbst die ewige Wahrheit sind, als in der individuellen Varietät.

34.

1. Adhuc progredientes advertimus circulorum varietatem, quodque non potest esse nisi unus maximus, verissimus, in se subsistens, aeternus et infinitus circulus, ad quem per circulos quantos non ascenditur, quoniam in recipientibus magis et minus non devenitur ad maximum simpliciter.
   1. Noch weiter fortschreitend werden wir die Varietät der Kreise gewahr und daß es nur einen einzigen größten, wahrhaftigsten, in sich subsistierenden, ewigen und unendlichen Kreis geben kann, zu dem man durch noch so viele Kreise nicht aufsteigt, weil man in dem, was mehr und weniger aufnimmt, nicht zum schlechthin Größten gelangt.
2. Et circa hunc infinitum circulum mira et indicibilia consideramus, quae alibi diffusius tacta sunt.
   1. Und um diesen unendlichen Kreis betrachten wir Wunderbares und Unsagbares, das anderswo ausführlicher berührt worden ist.

35.

1. Unde dicimus esse naturas circulares, quae non possunt esse sui ipsius principium, quia non sunt ut circulus maximus simpliciter, qui solus est ipsa aeternitas.
   1. Daher sagen wir, daß es circulare Naturen gibt, die nicht Prinzip ihrer selbst sein können, weil sie nicht wie der schlechthin größte Kreis sind, der allein die Ewigkeit selbst ist.
2. Alii autem circuli, licet non videantur habere principium et finem, prout considerantur via abstractionis a sensibili circulo, tamen, quia non sunt ipsa infinita aeternitas, tunc sunt circuli, quorum esse est ab ipso infinito primo aeterno circulo, et sunt circuli illi in comparatione ad polygonias eis inscriptibiles quasi aeternitas quaedam atque simplicitas perfecta.
   1. Andere Kreise aber sind, obgleich sie, sofern sie auf dem Wege der Abstraktion vom sensiblen Kreis betrachtet werden, nicht Prinzip und Ende zu haben scheinen, dennoch, weil sie nicht die unendliche Ewigkeit selbst sind, Kreise, deren Sein vom unendlichen ersten ewigen Kreis selbst ist; und jene Kreise sind im Vergleich zu den ihnen einschreibbaren Polygonien gleichsam eine gewisse Ewigkeit und perfekte Simplizität.
3. Habent enim capacitatem improportionabiliter excedentem capacitatem omnium polygoniarum, et sunt infiniti circuli primi prima imago, licet ob infinitatem primi sint ad ipsum incomparabiles.
   1. Denn sie haben eine capacitas, die die capacitas aller Polygonien improportionaliter übersteigt, und sie sind das erste Bild des unendlichen ersten Kreises, obgleich sie wegen der Unendlichkeit des ersten mit ihm inkomparabel sind.
4. Et sunt naturae, quae habent motum quendam circularem et infinibilem circa essentiam infiniti circuli, in se vim omnium aliarum specierum complicantes et ex sua vi complicativa via assimilationis alias omnes species explicantes, et in se omnia intuentes atque se imaginem infiniti circuli contemplantes per ipsamque imaginem, hoc est se ipsas, ad veritatem aeternitatis seu exemplar ipsum elevantes.
   1. Und es sind Naturen, die einen gewissen circularen und infinibilen Motus um die Essenz des unendlichen Kreises haben, in sich die vis aller anderen species komplizierend und aus ihrer komplizierenden vis auf dem Wege der Assimilation alle anderen species explizierend, und indem sie alles in sich schauen sowie sich als Bild des unendlichen Kreises betrachten und durch eben dieses Bild, das heißt durch sich selbst, sich zur Wahrheit der Ewigkeit oder zum Exemplar selbst erheben.
5. Hae sunt naturae intellectuales vi sua intellectuali cuncta ambientes.
   1. Dies sind intellektuale Naturen, die mit ihrer intellektualen vis alles umgreifen.

36.

1. Conantur autem omnes figurae, quantum possunt, capacitatem aeternae veritatis mensurare.
   1. Alle Figuren aber trachten, soweit sie können, die capacitas der ewigen Wahrheit zu messen.
2. Sed sicut finiti ad infinitum nulla est proportio, sic manet deus super omnem inquisitionem praecisio incognita, ut ipse sit non solum incognitus, sed ipsa praecisio incognita, quae in nullo cognoscibili cognoscitur.
   1. Aber wie des Endlichen zum Unendlichen keine Proportion ist, so bleibt Gott über alle Inquisition hinaus die unbekannte Präzision, so daß er nicht nur der Unbekannte ist, sondern die unbekannte Präzision selbst, die in keinem Erkennbaren erkannt wird.
3. Nititur enim quaelibet creatura deum suum intra limites suae naturae definire; sicut si trigonus vellet circulum trigonare et tetragonus tetragonare, et ita de polygoniis, sic et natura intellectualis intelligere.
   1. Denn jede Kreatur strebt danach, ihren Gott innerhalb der Grenzen ihrer Natur zu definieren; so wie, wenn das Trigon den Kreis trigonieren wollte und das Tetragon tetragonieren, und ebenso von den Polygonien, so auch die intellektuale Natur zu intelligieren.
4. Sed quamvis deus ipse, qui non habet partes, cum sit simplicitas infinita, non sit parte aliquota excedens omnem mensurandi modum specifice varium, tamen sic excedit omnem magnitudinis mensuram, quod est omni inquisibili modo maior.
   1. Aber obgleich Gott selbst, der keine Teile hat, da er unendliche Simplizität ist, nicht jeden artspezifisch verschiedenen modus des Messens um einen aliquoten Teil überschreitet, überschreitet er dennoch jedes Maß der Größe so, daß er größer ist als jeder inquisible modus.
5. Et sic excedit omnem subtilium mensurarum, minutissimas fractiones, eo quod est omnium talium fractionum subtilior, ut neque in ascensu neque descensu praecisio eius attingi possit.
   1. Und so überschreitet er die allerkleinsten Fraktionen der feinen Maße, weil er feiner ist als alle solchen Fraktionen, so daß seine Präzision weder im Aufstieg noch im Abstieg erreicht werden kann.

37.

1. Sufficit autem omni naturae, quod in sua specie deum modo, quo potest, attingat.
   1. Es genügt aber jeder Natur, daß sie Gott in ihrer species auf die Weise, auf die sie es vermag, erreicht.
2. Tunc enim quiescit, quando extra speciem suam eum nec quaerit nec esse apprehendit.
   1. Denn dann ruht sie, wenn sie ihn außerhalb ihrer species weder sucht noch als seiend ergreift.
3. Sufficientia igitur, qua ipsum in sua specie modo, quo potest, attingit, est quies eius, quoniam est satietas motus suae naturae.
   1. Die Sufficientia also, durch die sie ihn in ihrer species auf die Weise, auf die sie es vermag, erreicht, ist ihre Ruhe, weil sie die Sättigung des motus ihrer Natur ist.

38.

1. Quod nobis assimilatorie declarat investigatio, quam fecimus in trigono, quem ad aequalitatem peripheriae circuli elevare studuimus.
   1. Das erklärt uns auf assimilative Weise die Inquisitio, die wir am Trigon vollzogen haben, das wir zur Äqualität der peripheria des Kreises zu erheben uns bemühten.
2. Et quievimus in modo uno, quem solum praecisiorem, licet deficientem, repperimus in trigonali elevatione ad aequalitatem circularem.
   1. Und wir kamen in einem modus zur Ruhe, den allein wir in der trigonalen Erhebung zur circularen Äqualität als präziser, obgleich defizient, gefunden haben.
3. Qui modus speciei tetragonali non conveniret; tamen, si suo modo ad aequalitatem circuli ascenderet, etiam si non foret praecisio, dummodo in sua specie alius perfectior non foret tetragonus, se quietem attigisse gauderet.
   1. Welcher modus der tetragonalen species nicht zukäme; dennoch, wenn das Tetragon auf seine Weise zur Äqualität des Kreises aufstiege, würde es, auch wenn dies nicht die praecisio wäre, sofern nur in seiner species kein anderes Tetragon vollkommener wäre, sich freuen, die Ruhe erreicht zu haben.
4. Ita de ceteris.
   1. Ebenso von den übrigen.

39.

1. Sic quietatur omnis intellectus, si modo, quo suae speciei conceditur, se senserit ad aequalitatem infinitatis elevari divina praecisione semper inaccessa remanente.
   1. So wird jeder intellectus zur Ruhe gebracht, wenn er sich auf die Weise, auf die es seiner species zugestanden ist, zur Äqualität der Infinität erhoben weiß, während die göttliche Präzision immer unzugänglich bleibt.
2. Talia quidem et alia infinita per te elicere poteris.
   1. Solches freilich und anderes Unendliches wirst du durch dich hervorzubringen vermögen.
3. Haec sic tetigisse sufficiat.
   1. Es möge genügen, dies so berührt zu haben.
4. Amen.
   1. Amen.