Werk:Die mathematischen Schriften/Von der Quadratur des Kreises

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Gründet auf dem Werk „De circuli quadratura“ Nikolaus von Kues
12. Juli 1450 n. Chr. hrsg.  
Abschrift Liste Werke von Josepha Hofmann 

7. Mai 2026 n. Chr. erst.  
8:00 Uhr
unüberarbeitet
ungeprüft

Gespräch:Über Kreisquadratur des Cusanus

(De circuli quadratura)

Von der Quadratur des Kreises des Kardinals Nikolaus von Cues.

1

• Du versicherst, in eine Vielfalt von Bearbeitern der Kreisquadratur verstrickt zu sein, und Du drängst mich, nun, da die nötige Muße gegeben ist,
• Dir eine erschöpfende Darstellung dessen zu geben, was man über diesen Gegenstand wissen kann.
• Empfange nun im folgenden Satz meine Anschauung.
• Wisse aber, daß ich den Gegenstand Deinetwegen so behandelt habe, damit Du nach Verlassen der mathematischen Wissenschaften Dich durch die Angleichung dieser Abhandlung leichter auf das Gebiet der Theologie begeben kannst.

Satz

2

Wenn sich zu einem gegebenen Dreieckumfang ein gleicher Kreisumfang geben läßt, dann übertrifft der Halbmesser dieses Kreises um ein Fünftel seines Betrages jene Strecke, die vom Dreieckmittelpunkt zu dem die Seite von der Ecke aus viertelnden Punkt gezogen ist.

3

• Es gibt Gelehrte, die die Kreisquadratur zulassen.
• Sie müssen notwendig zugestehen, daß Kreisumfänge gleich sein können den Umfängen von Vieleckfiguren, da der Kreis gleichgesetzt wird dem Rechteck mit dem Kreishalbmesser als der kleineren und dem Halbkreisumfang als der größeren Seite.
• Wenn man also das einem Kreis gleiche Quadrat in ein solches Rechteck verwandeln könnte, dann hätte man die der Kreislinie gleiche Strecke.
• So käme man zur Gleichheit der Umfangslinien des Kreises und des Vielecks, wie es sich von selbst versteht.

4

• Diese Leute lassen auch die folgende Schlußweise zu, ohne die sie nichts erreichen könnten, nämlich: Wo man ein Größeres und Kleineres geben kann, kann man auch ein Gleiches geben.
• Weil man ein Quadrat geben kann größer als der Kreis — wie es das umbeschriebene ist —, und ein kleineres — wie es das einbeschriebene ist —, deshalb gibt es auch ein gleiches, das weder umbeschrieben noch einbeschrieben ist, sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben.
• Die nämliche Schlußweise lassen sie auch für die Umfangslinien gelten: Weil sich ein Kreisumfang geben läßt größer als der Dreieckumfang — wie es der Umfang des umbeschriebenen Kreises ist —, und weil sich ein Kreisumfang geben läßt kleiner als der Dreieckumfang — wie es der Umfang des einbeschriebenen Kreises ist —, läßt sich auch ein Kreisumfang gleich dem Dreieckumfang geben, und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch einbeschrieben, sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben.

5

• Es gibt auch Gelehrte, die die Möglichkeit der Kreisquadratur leugnen, und diese bestreiten alles soeben Gesagte.
• Sie behaupten nämlich: In der Mathematik gilt die Schlußweise nicht: Wo man ein Größeres und Kleineres geben kann, dort kann man auch ein Gleiches geben.
• Es läßt sich nämlich ein Inzidenzwinkel geben, der größer ist als ein geradliniger, und ein anderer Inzidenzwinkel kleiner als der geradlinige, und trotzdem niemals einer gleich dem geradlinigen.
• Also gilt bei inkommensurablen Größen diese Schlußweise nicht.
• Wenn man nämlich einen Inzidenzwinkel geben könnte, der um einen rationalen Bruchteil (pars aliquota) des geradlinigen Winkels größer ist als dieser geradlinige, und einen anderen, der um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen kleiner ist als dieser geradlinige, dann könnte man auch einen gleich dem geradlinigen geben.
• Da aber der Inzidenzwinkel zum geradlinigen nicht proportional ist, kann er nicht um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen größer oder kleiner sein, also auch niemals gleich.
• Und da zwischen der Kreisfläche und einer geradlinig begrenzten Fläche kein rationales Verhältnis bestehen kann — so wenig wie zwischen dem Inzidenzwinkel und dem geradlinigen —, deshalb ist die [obige] Schlußweise auch hier nicht zulässig.

6.

1. Das wird folgendermaßen offenbar: Jede Größe, die sich in eine andere überführen läßt, verhält sich notwendig so, daß jeder ihrer Teile auch ein Teil der andern Größe sein könnte, da das Ganze nichts anderes ist als die Summe seiner Teile.
2. Ein Möndchen, das durch eine Gerade vom Kreis abgeschnitten wird, läßt sich hinsichtlich seiner Inzidenzwinkel, die Teile seiner Fläche sind, nicht in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln; also auch nicht hinsichtlich seiner Gesamtheit.
3. Es ist aber handgreiflich: Wenn sich ein Kreis in ein Quadrat verwandeln läßt, dann folgt notwendig, daß sich seine Möndchen in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln lassen. Und da Letzteres unmöglich ist, muß auch das Erstere, aus dem es gefolgert wurde, unmöglich sein.
4. Offenbar läßt sich also der Halbkreis nicht in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln und folglich auch nicht der Kreis oder einer seiner Teile.

7.

1. Jeder Inzidenzwinkel übertrifft einen andern oder wird von ihm übertroffen um den Betrag eines geradlinigen Winkels, zu dem er kein rationales Verhältnis haben kann.
2. Daraus ergibt sich, daß alle durch Gerade erzeugten Kreisabschnitte zum Kreis in keiner Weise proportional sind. Und da der größte Abschnitt vom Durchmesser erzeugt wird, sind alle andern Abschnitte zu diesem nicht proportional.
3. Es läßt sich also kein rationaler Bruchteil des Kreises durch derartige Linien abschneiden, weil dieser Bruchteil zum größten Abschnitt, d. h. zum Halbkreis, nicht-proportional ist.
4. Also gilt folgender Satz nicht: Man kann vom Kreis ein Möndchen abschneiden größer als ein Drittel des Kreises und ein anderes kleiner als ein Drittel des Kreises, also auch eines gleich einem Drittel des Kreises.
5. Daraus ergibt sich: Kreisabschnitte, die durch eine Gerade erzeugt werden, die kleiner ist als der Durchmesser, lassen sich keineswegs deshalb nicht in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln, weil sie rationale Teile des Kreises sind, sondern weil daraus die Kreisquadratur folgen würde, wenn sie sich in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln ließen.

8.

1. Daraus kannst Du Dir klar machen, daß all das unmöglich ist, woraus die Kreisquadratur folgt.
2. Es hat also der Kreis wegen seiner Einzigartigkeit die folgende Eigenschaft: Wie sich der Inzidenzwinkel nicht in einen geradlinigen verwandeln läßt, so läßt sich der Kreis nicht in eine geradlinig begrenzte Figur überführen.
3. Es läßt sich aber zum Inzidenzwinkel ein um den Kontingenzwinkel größerer geradliniger Winkel geben. — Der Kontingenzwinkel ist eine nur in ihrer Art teilbare Größe, da es zu jedem Kontingenzwinkel einen größeren und kleineren Kontingenzwinkel gibt. — Man kann, obwohl der Kontingenzwinkel kleiner ist als jeder geradlinige, auf diese Weise trotzdem zu einem gegebenen Inzidenzwinkel einen größeren geradlinigen Winkel angeben, der jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen Winkels größer ist. Ebenso kann man zu einem gegebenen geradlinigen Winkel einen kleineren Inzidenzwinkel angeben, und zwar kleiner um den Betrag des Kontingenzwinkels, der jedoch nicht ein rationaler Bruchteil des Inzidenzwinkels ist, sondern kleiner als jeder rationale Bruchteil desselben.

9.

1. Ebenso kann man sagen: Zu einem gegebenen Kreis läßt sich ein Quadrat angeben, das zwar gröBer ist als der Kreis, jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des Quadrats. Und zu einem gegebenen Quadrat läßt sich ein kleinerer Kreis angeben, der jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des Kreises kleiner ist.
2. Daraus folgt: Zu einem gegebenen Kreis läßt sich ein größeres Quadrat geben — größer, jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil; und zu jedem so gegebenen Quadrat läßt sich ein anderes geben, das dem Kreis näher kommt, aber keines, das ihm genau gleich ist. Und keines, das um einen rationalen Bruchteil kleiner ist als der Kreis, ebenso auch umgekehrt.

10.

• Und diese Ansicht halte ich für die richtigere.
• Denn da Vieleckfiguren nicht Größen der nämlichen Art sind wie die Kreisfigur, gilt, selbst wenn sich ein Vieleck finden läßt, das einem gegebenen Kreis der Größe nach näher kommt als ein anderes, trotzdem der Satz: Bei Dingen, die ein Größer und Kleiner zulassen, gelangt man nicht zu einem schlechthin Größten im Sein und in der Möglichkeit (in esse et posse).
• Die Kreisfläche ist nämlich im Vergleich zu den Vieleckflächen, die ein Größer und Kleiner zulassen und die Kreisfläche daher nicht erreichen, das schlechthin Größte, so wie die Zahlen nicht erreichen die Fassungskraft der Einheit und die Vielfachheiten nicht die Kraft des Einfachen.

11.

1. Jenen Leuten, die an der ersten Ansicht festhalten, schien es zu genügen, daß sich zu einem gegebenen Kreis ein Quadrat geben läßt, das weder größer noch kleiner ist als der Kreis.
2. Jedes Größere ist nämlich größer um einen Bruchteil seiner selbst oder der andern Größe, mit der es verglichen wird. Ebenso verhält es sich mit dem Kleineren.
3. Wenn aber das Quadrat, das sich angeben läßt, auch nicht um den kleinsten angebbaren Bruchteil des Quadrats oder des Kreises größer oder kleiner ist als der Kreis, nennen sie es gleich.
4. So nämlich faßten sie den Begriff der Gleichheit, daß einem andern gleich ist, was um keinen rationalen — auch nicht um den allerkleinsten — Bruchteil das andere übertrifft oder von ihm übertroffen wird.
5. Wenn man den Begriff der Gleichheit so faßt, dann glaube ich, kann man mit Recht sagen: Zu einem gegebenen Vieleckumfang kann man den gleichen Kreisumfang geben, und umgekchrt.
6. Wenn man aber den Begriff der Gleichheit, soweit sie sich auf eine Größe bezieht, absolut faßt ohne Berücksichtigung rationaler Bruchteile, dann ist die Aussage der Letzteren richtig: Zu einer kreisförmigen Größe läßt sich keine genau gleichgroße nicht-kreisförmige angeben; und dies vermittels der Erklärung des Gedankens, der dem angeführten Satz zugrunde liegt: Wenn sich zu einem gegebenen Dreieckumfang usw..
7. Soviel möge genügen.
8. Daraus magst Du einsehen, was Du über diesen Gegenstand in einigen meiner anderen Schriftchen auf verschiedene Weise dargelegt findest

Erklärung des Satzes

Abb. 29

12.

1. Um den Satz zu erklären, werde ein Dreieck $abc$ gezeichnet, um den Mittelpunkt $d$ werde ihm ein Kreis $efg$ einbeschrieben und ein Kreis $hi$ umbeschrieben; die Gerade $de$ werde so gezogen, daß $e$ der Mittelpunkt zwischen $a$ und $b$ ist; dann werde $db$ gezogen.
2. Ferner werde aus $d$ zum Mittelpunkt zwischen $e$ und $b$ eine Gerade $dk$ gezogen.
3. Ich behaupte: $dk$ ist kleiner als der Halbmesser des zum Dreieck isoperimetrischen Kreises um ein Viertel der Strecke $dk$.

13.

Also muß man $dk$ um ein Viertel seines Betrages verlängern, und zwar sei $dl$ um ein Viertel von $dk$ größer als $dk$.

Ich behaupte: $dl$ ist der Halbmesser des zum Dreieck umfangsgleichen Kreises. Man beschreibe also den Kreis $lmn$.

Ich behaupte: Der Umfang $lmn$ ist gleich dem Umfang $abc$, und zwar so, daß $lmn$ weder größer noch kleiner ist, auch nicht um den allerkleinsten rationalen Bruchteil des Umfangs $abc$.

14.

1. Um diese Behauptung nachzuweisen, gehe ich folgendermaßen vor: Ich sage, wenn es möglich ist, von $d$ aus nach $eb$ eine Gerade zu ziehen, die der Halbmesser des zum Dreieck isoperimetrischen Kreises ist, dann muß sie sich zur Summe der drei Dreieckseiten verhalten wie der Halbmesser des Kreises zum Umfang.
2. Aber da der Halbmesser zum Umfang kein rationales Verhältnis hat, weder als lineare Größe noch als Potenz, d.h. da die Quadratfläche des Halbmessers, die die zweite Potenz darstellt, zur Kreisfläche kein rationales Verhältnis hat, hätte sie auch zur Quadratfläche der Umfangslinie, wenn man diese angeben könnte, kein rationales Verhältnis.
3. Offenbar kann also weder die gesuchte Linie selbst noch ihr Quadrat proportional sein zur Strecke $de$ oder $db$, deren Quadrate proportional sind zum Quadrat von $eb$.
4. Deshalb kann man jene Strecke aus $d$ nicht so ziehen, daß sie in rationalem Verhältnis zu $eb$ oder $db$ steht, so wie der von $e$ aus gegen $b$ hin gelegene Endpunkt [$k$] nicht um eine zu $eb$ oder $db$ proportionale Strecke von $e$ entfernt sein wird.
5. Wenn dies so wäre, dann wäre das Quadrat immer proportional zum Quadrat von $eb$, wie von selbst klar ist.
6. Daher läßt sich auf $eb$ kein Punkt angeben, zu dem man eine Linie ziehen könnte, die genau die gesuchte wäre.
7. Wohl aber gibt es auf $eb$ einen Punkt, nach dem man eine Linie ziehen kann, die weder größer noch kleiner ist als die gesuchte, und zwar um keinen rationalen Bruchteil, wie klein er auch sei.
8. Folglich behaupte ich: Wie keine Strecke, die sich aus $d$ gegen $eb$ hin nach einem rationalen Teilpunkt von $eb$ ziehen läßt, die gesuchte sein kann, ebensowenig kann auch eine derartige [in rationalem Verhältnis zu $eb$ stehende] Strecke zur gesuchten proportional sein, wie von selbst klar ist, da die Quadrate aller dieser Strecken zum Quadrat von $eb$ proportional sind.

15.

1. Ich behaupte schließlich: Auch wenn keine derartige Strecke genau proportional zur gesuchten ist, so wird doch die eine mehr proportional sein als die andere.
2. Und das ist klar; denn selbst wenn alle zu $de$ und $eb$ nicht-proportional wären, so ist trotzdem die eine zu $eb$ und $db$ mehr proportional als die andere und deshalb zu der gesuchten weniger proportional.
3. Daher ist diejenige, die zu $eb$, $de$ und $db$ am meisten nicht-proportional ist, von allen am wenigsten nicht-proportional zur gesuchten.
4. Es wird also eine Strecke von allen, die sich aus $d$ nach den Teilpunkten von $eb$ ziehen lassen, zur gesuchten weniger nicht-proportional sein.

Über das Aufsuchen der Proportionalen

16.

1. Um aber die Proportionale zu untersuchen, muß man Folgendes beachten: Unter den nicht-proportionalen Strecken verhalten sich einige wie die Seite und Diagonale im Quadrat, und es läßt sich niemals eine Proportion so genau finden, daß die Abweichung nicht größer ist als ein rationaler Bruchteil. Z.B. ist ein Zehntel der Diagonale kleiner als ein Siebentel der Seite, und die Abweichung ist größer als ein rationaler Bruchteil der Diagonale und der Seite; und ebenso in den kleinsten Teilen.

17.

1. Eine andere Nicht-Proportionalität ist die der Inzidenz- und der geradlinigen Winkel.
2. Denn eine Strecke, die dem Inzidenzwinkel entspricht, ist nicht-proportional zu einer Strecke, die einem geradlinigen Winkel entspricht, und die Hälfte des geradlinigen Winkels ist größer als der halbe Inzidenzwinkel, und zwar um den halben Kontingenzwinkel.
3. Diese Hälfte ist jedoch kleiner als jeder rationale Bruchteil des geradlinigen wie des Inzidenzwinkels.

18.

1. Daß sich aber ein solches Verhältnis in Strecken finden läßt, wird aus dem Folgenden ersichtlich: Da der Winkel eine Fläche ist und die Linie die Grenze der Fläche, ist klar, daß auf die nämliche Weise, wie der Kontingenzwinkel eine teilbare Fläche ist, auch seine Grenze, d.h. die Linie, die diesen flächenhaften Winkel begrenzt, auf ihre Weise teilbar ist. Ebenso ist die Linie, welche die Fläche des geradlinigen Winkels begrenzt, teilbar gemäß der Teilbarkeit der Fläche.
2. Man kann also von der Linie, die die Fläche des geradlinigen Winkels begrenzt, die Linie abschneiden, die den Kontingenzwinkel begrenzt, und darum ist die den Inzidenzwinkel begrenzende Linie nicht-proportional zu der den geradlinigen Winkel begrenzenden um die den Kontingenzwinkel begrenzende Linie.
3. Da diese den Kontingenzwinkel begrenzende Linie kleiner ist als jeder rationale Bruchteil einer Linie, die einen geraden oder den Inzidenzwinkel begrenzt, ist also die Behauptung klar.

19.

1. Und darin kannst Du bemerken, daß es vor aller Teilbarkeit der Geraden eine Linie gibt, die unerfaßbar ist von jeder Teilbarkeit, durch die eine Gerade eine Gerade zerschneiden kann.
2. Wenn diese Linie auch nicht teilbar ist durch eine Teilung, durch die eine Gerade von einer Geraden geteilt wird — in dieser Hinsicht verhält sie sich wie ein nicht erreichbarer Endpunkt — , so ist sie trotzdem auf ihre Weise durch eine Kurve teilbar.
3. Daher heißt jene Linie, da sie Grenze einer Fläche ist, ebenfalls teilbar, mag sie auch im Vergleich zu einer von einem Punkt begrenzten Linie als unteilbar erscheinen.
4. Wie nämlich die Teilbarkeit einer Fläche in der Linie endet, die im Hinblick auf die Fläche unteilbar ist, da sie flächenhaft nicht teilbar ist, während sie als Grenzlinie der Fläche an sich betrachtet eine teilbare Größe ist, so endet die Teilbarkeit der Geraden durch eine Gerade im Punkt, der die Grenze der Teilung und der Linie ist und als Grenze der Linie linienmäßig unteilbar, für sich betrachtet aber eine teilbare Größe.
5. Es ist also möglich, daß eine Strecke kleiner oder größer ist als eine andere, aber nicht um einen angebbaren rationalen Bruchteil oder einen größeren rationalen, sondern um einen kleineren.
6. Daraus kannst Du erkennen, was man von den unteilbaren Linien und Punkten zu halten hat.

20.

1. Ich behaupte also: Selbst wenn man aus $d$ nach $eb$ eine Strecke ziehen kann, die zur gesuchten proportional ist, so daß die Abweichung nicht größer ist als ein rationaler Bruchteil, so läßt sich trotzdem keine solche Strecke derart ziehen, daß die Abweichung kleiner sein kann als ein rationaler Bruchteil.
2. Ferner behaupte ich: Selbst wenn sich unzählig viele derartige Strecken ziehen ließen, so wäre doch eine genauer als die andere, aber keine die allergenaueste.

21.

1. Wir wollen also zusehen, welche unter allen derartigen Linien der menschliche Geist erfassen kann.
2. Es ist klar: Wenn eine Strecke, die zur gesuchten proportional sein muß, um einen bestimmten Teil ihres Betrages verlängert wird, z. B. um ein Drittel, ein Viertel oder einen anderen Bruchteil, dann bleibt sie immer proportional.
3. Wenn also diese Strecke verlängert wird im Verhältnis des zwischen dem Endpunkt auf $eb$ und dem Punkt $e$ liegenden Abschnitts zur Strecke $ab$ oder im Verhältnis des zwischen dem Endpunkt auf $eb$ und $b$ liegenden Abschnitts zur Strecke ab, so bleibt sie immer proportional.
4. Die Verhältnisse sind also entweder von der Art, daß man vermittels des einen von ihnen zur gesuchten Strecke kommt oder nicht.
5. Wenn nicht, dann können wir durch die Strecke, die wir zur gesuchten unbekannten Strecke proportional setzen, nichts über die gesuchte erfahren.
6. Denn da die gesuchte unbekannt ist und die Verlängerung uns nicht zu ihr führt, sondern vielmehr zu einer Strecke, die größer oder kleiner ist als die unbekannte, werden wir die Abweichung der völlig unbekannten gesuchten nicht finden können.

22.

1. Wenn Du behaupten solltest, man komme durch die eine Verlängerung zur gesuchten Strecke und nicht durch beide, wird es das nämliche sein, weil wir nicht wissen, durch welche Verlängerung dies geschehen und wo jene Linie liegen soll, da ja unendlich viele Gerade zwischen $e$ und $b$ liegen können.
2. Wenn Du behaupten solltest, die Verlängerungen seien gleich und trotzdem kleiner oder größer als die gesuchte Unbekannte, kann man wiederum niemals zur Gesuchten kommen.

23.

1. Die Proportionale, deren sich der menschliche Geist bei dieser Art des Vorgehens bedienen kann, um zur gesuchten Strecke zu kommen, muß also notwendig die sein, die durch beide gleiche Verlängerungen die eine oder die andere als die gesuchte Strecke aufweist; und das ist diejenige Linie, die von $d$ nach dem Mittelpunkte $f$ zwischen $e$ und $b$ gezogen wird.
2. Und sie ist die einzige, bei der das Verhältnis des Abstandes von $e$ zur Strecke $ab$ das nämliche ist wie das Verhältnis des Abstandes von $b$ zur Strecke $ab$; in diesem Verhältnis verlängert, d.h. um ein Viertel ihres Betrages, führt sie uns zur gesuchten Strecke, wie es uns auf diese Art des Vorgehens möglich ist, das Gesuchte zu erreichen, auch wenn sich eine andere Strecke auf eine andere Weise genauer finden ließe.

Abb. 20.

24.

1. Damit Du aber nicht denkst, dies sei eine bloße Vermutung, daß der menschliche Geist durch keine andere Überlegung auf diese Behauptung geführt wird, kannst Du einen bindenden Schluß machen, der in diesem Falle außerhalb der letzten Genauigkeit und in den Grenzen des Unterschiedes um den kleinsten rationalen Bruchteil zulässig ist.
2. Zieht man aus $d$ eine Linie nach einem Punkt nahe bei $e$, z.B. nach $g$, und verlängert man sie im Verhältnis $eg:ab$, dann ist die neue Strecke kleiner als die gesuchte; verlängert man sie im Verhältnis $gb:ab$, dann ist sie ebenfalls kleiner als die gesuchte.
   1. Zieht man aus $d$ eine andere Linie nach einem Punkt nahe bei $b$, z.B. nach $h$, und verlängert man sie im Verhältnis $eh:ab$, dann ist die neue Strecke größer als die gesuchte; verlängert man sie im Verhältnis $hb:ab$, dann ist sie ebenfalls größer, wie es sich von beiden Seiten her zeigt.
3. Man kann also aus $d$ nach eb eine Strecke ziehen, die weder größer noch kleiner ist als die gesuchte, wenn man sie in dem Verhältnis verlängert, das der zwischen ihrem Endpunkt und $e$ liegende Abschnitt mit der Strecke $ab$ bildet.
   1. In gleicher Weise läßt sich aus $d$ eine Gerade nach $eb$ so ziehen, daß sie, im Verhältnis des zwischen ihrem Endpunkt und $b$ liegenden Abschnitts zur Strecke $ab$ verlängert, weder größer noch kleiner ist als die gesuchte.
4. Weil aber diese beiden Linien, aus deren Verlängerungen die gesuchte Strecke hervorgehen muß, nicht verschieden sein dürfen — die verschiedenen von $d$ nach $eb$ legbaren Linien können zur gesuchten nicht genau dasselbe Verhältnis haben, sondern eine wird immer genauer sein als die andere —, deshalb können sie auch nicht, verlängert gemäß den verschiedenen Verhältnissen zwischen ihren Abschnitten und den Strecken selbst, in gleicher Weise die nämliche gesuchte Strecke erreichen.
5. Es kann also notwendig nur eine einzige Linie und die nämliche Verlängerung geben, was nur im Punkte $f$ möglich ist.
6. Daher ist in dem dargelegten Satz eine ausreichende Erklärung für alles gegeben, was man bei dieser Art des Vorgehens wissen kann.

25.

1. Ich habe Dir alles, was man über die Gleichheit der Umfänge von krumm- und geradlinig begrenzten Figuren wissen kann, klar gemacht, nämlich, daß das Folgende der Wahrheit näher kommt:
   1. Die Gleichheit kann man nicht kennen, und selbst das, was man auf diesem Gebiet am genauesten wissen kann, ist durch einen kurzen Satz klargelegt. Damit habe ich Deinen Wunsch, so gut ich konnte, erfüllt.
2. Du mußt wissen: Du hast damit eine Methode, alles zu untersuchen, was man mathematisch wissen kann.
3. In der mathematischen Wissenschaft ist jeder Satz, aus dem die genaue Gleichheit von Kreis und Quadrat folgt, unmöglich.
   1. Und jeder Satz, durch dessen Gegenteil die genaue Gleichheit eingeführt werden könnte, ist notwendig richtig.
4. Ich versichere sogar: Wer es in der mathematischen Wissenschaft versteht, jede Untersuchung hierauf zurückzuführen, hat die Vollendung dieser Kunst erreicht.
5. Denn hier ist gar nichts wahr, aus dessen Gegenteil nicht die Gleichheit von Kreis und Quadrat folgen würde.
   1. Und das ist die vollständig hinreichende Lösung einer jeden mathematischen Untersuchung.

26.

1. Was man aber bei der Verwandlung von Figuren und in zahlenmäßig nicht erfaßbaren Verhältnissen ohne letzte Genauigkeit, jedoch im Bereich eines jeden wahrnehmbaren oder angebbaren Fehlers auch von kleinstem rationalem Betrag wissen kann, das habe ich in dem Dargelegten klargemacht.
2. Damit weißt Du, daß sich der Durchmesser zum Kreisumfang verhält wie $2\frac{1}{2}\sqrt{1575}:6\sqrt{2700}$.
3. Zwar ist dies nicht der genaue Wert, jedoch ist er weder größernoch kleiner um eine Minute oder einen angebbaren Bruchteil einer Minute.
4. Und so kann man nicht wissen, um wieviel er von der letzten Genauigkeit abweicht, da er mit einer gewöhnlichen Zahl nicht erreichbar ist.
5. Und deshalb läßt sich dieser Fehler auch nicht beheben, da er nur durch eine höhere Einsicht und keineswegs durch einen sichtbaren Versuch faßbar ist.
6. Daraus allein kannst Du nun wissen, daß erst in dem unserem Wissen unzugänglichen Bereich ein genauerer Wert erreicht wird. Ich habe nicht gefunden, daß diese Erkenntnis bisher überliefert wurde.

27.

1. Es scheint außerdem nützlich, zu beachten, daß man, wie Du in diesem Falle siehst, durch eine Figur, z. B . das Quadrat, eine andere, nämlich den Kreis oder umgekehrt, nicht so genau erreichen kann, daß er sich nicht mehr genauer angeben ließe, selbst wenn der Fehler keineswegs in Erscheinung tritt.
2. So ist in jeder Untersuchung des Wahren, wo wir vom einen zur Erkenntnis des anderen fortschreiten — vom Bekannten zum Unbekannten —, das nämliche zu bemerken, wie man nämlich das Wahre auf verschiedene und mannigfache Weise vor der letzten Genauigkeit erreichen kann, durch die eine Überlegung genauer als durch die andere, durch keine aber vollkommen genau, selbst wenn der Fehler nicht in Erscheinung tritt.
   1. Das Maß, mit dem der Mensch die Erforschung der Wahrheit anstrebt, hat zur Wahrheit selbst kein rationales Verhältnis, und daher nimmt derjenige, der sich diesseits der Genauigkeit beruhigt, den Irrtum nicht wahr.
3. Und darin unterscheiden sich die Menschen: Die einen brüsten sich, zur vollen Genauigkeit vorgedrungen zu sein, deren Unerreichbarkeit die Weisen erkennen, so daß jene die weiseren sind, die um ihre Unwissenheit wissen.

28.

1. Zu Anfang legte ich Dir nahe, Dich auf diesem Wege der Angleichung von den mathematischen Wissenschaften zur Theologie zu begeben; denn dies ist der passendere Weg des Aufsteigens.
2. Das mathematische Denken hat seinen Sitz in den wahren Kräften des Geistes, da es die Figuren in ihrer wahren Gestalt, frei vom veränderlichen Stoff betrachtet.
3. Daher steigt man zur ersten Form, d.h. zur absoluten Form der Formen, durch eine Art von Angleichung leichter auf, nachdem man die Vielfalt der Figuren hinter sich gelassen hat.
4. Alle Theologen suchen doch nach einer gewissen Genauigkeit, vermittels deren sie die dem Kreis ähnliche Ewigkeit, die einzige und allereinfachste, erreichen können.
5. Aber die unendliche Macht ist inkommensurabel zu jedem Nicht-Unendlichen, wie die Kreisfläche zu jeder Nicht-Kreisfläche inkommensurabel bleibt.

29.

1. Wie also der Kreis die figürliche Vollendung ist, jede mögliche Vollendung der Figuren in sich zusammenfassend, und wie seine Fläche die Fläche aller Figuren umfaßt und nichts gemeinsam hat mit irgendeiner anderen Figur, sondern in sich vollkommen einfach und einzig ist, so ist die absolute Ewigkeit die Form aller Formen, die in sich einschließt die Vollendung, und so umfängt ihre Allmacht alle Kraft der Formen, eine jede Art, aber ohne ein Gemeinschaftliches zu haben mit irgendeiner anderen Form.
2. Und wie die Kreisfigur in der Eigenschaft, daß sie weder Anfang noch Ende hat, eine gewisse Ähnlichkeit mit der Ewigkeit besitzt, und in ihrer Fläche, in der sie die Flächen aller Figuren einschließt, eine gewisse Figur der Allmacht darstellt, und in der engen Verbindung, mit der sich Umfang und Fläche vereinigen, gewissermaßen eine Figur der liebevollsten unendlichen Verbindung darstellt, so schauen wir in der göttlichen Wesenheit die Ewigkeit, die in sich hat die Allmacht, und in beiden die unendliche Vereinigung.
3. In der Ewigkeit schauen wir den Anfang ohne Anfang, und dies eben nennen wir den väterlichen Urgrund.
4. In der Allmacht, die aus dem Anfang ohne Anfang kommt, schauen wir den unbegrenzten Anfang von Anfang an,
5. in der unendlichen Verbindung schauen wir die liebevollste Vereinigung des Anfangs ohne Anfang und des Anfangs von Anfang an.
6. Darin nämlich, daß wir in der göttlichen Wesenheit die Ewigkeit sehen, schauen wir den Vater.
7. Darin, daß wir in der namlichen Wesenheit die Macht der Ewigkeit sehen, die nicht anders als unendlich sein kann, da sie die Macht der Ewigkeit ist — des Anfangs ohne Anfang —, darin schauen wir die Gleichheit der ewigen Einheit, d.h. den Sohn des Vaters.
8. Darin, daß wir die liebevollste Vereinigung der ewigen Einheit und ihrer Gleichheit sehen, schauen wir den Geist der beiden.
9. In der einfachsten Einheit der Ewigkeit sehen wir also die stärkste und mächtigste Gleichheit, und umgekehrt in der Gleichheit die Einheit.
   1. Ebenso sehen wir auch in der Vereinigung die Einheit und Gleichheit.
10. Ohne die Einheit der ewigen Wesenheit kann nichts sein.
11. Ohne die Gleichheit dieser Einheit kann nichts so sein wie es ist.
12. Ohne die unendliche Verbindung von Sein und gleichzeitig So-Sein wie es ist, kann nichts sein.
13. Ohne den dreieinigen Urgrund kann also nichts sein.

30.

1. Dies alles wird im Kreis veranschaulicht durch seine Fläche und die engste Verbindung, durch die der Kreis sich selbst am stärksten verbunden ist, zusammenhängend und von Natur geeinigt.
2. Danach bemerken wir: Wie alle Vieleckfiguren sich nach Umfang, nach Fläche und dieser beiden Verbindung zum Bild der Kreisfigur verhalten, und wie jeder Vieleckumfang vom Kreisumfang abfällt und jede Vieleckfläche nicht-proportional hinter der Kreisfläche zurückbleibt und ebenso jede Verbindung der beiden, ebenso verhalten sich die verschiedenen Arten der wahrnehmbaren Dinge zur Form der Formen, so daß sich die Arten dieser wahrnehmbaren Dinge im Vergleich zu Gott verhalten wie Dreieck, Viereck, Fünfeck usw. zum Kreis.

31.

1. Ein jedes Vieleck hat eine bestimmte Vollkommenheit, außerhalb deren es weder ist noch sein kann.
2. Das Sein des Dreiecks kann keineswegs außerhalb der Wesenheit des Dreiecks bestehen; ebenso ist es beim Viereck usw.
3. So ruht also jede Art in ihrem Bereich, der von ihren Grenzen eingeschlossen ist. Und außerhalb kann und will sie nicht sein.
4. Es würde nämlich das ganze Sein aus dem Dreieck weichen, wenn es in das Viereck vordringen wollte, wie von selbst ganz klar ist.
5. Daher läßt sich keine Art aus ihrer Natur, durch die sie Sein und So-Sein hat, zum Untergang bewegen, und deshalb ruht sie in den Grenzen ihrer arteigenen Natur.
6. Und diese Ruhe ist ihre eigene, weil sie in den Grenzen ihrer Vollkommenheit die göttliche Kraft auf ihre Weise innehat und sich ihrer in liebevoller Vereinigung erfreut.

32.

1. Es ist also jede wahrnehmbare Art auf ihre Weise ein Maß für die Ewigkeit, die Kraft und die unendliche Liebesvereinigung.
   1. Allerdings hat sie bei diesem Messen nichts Proportionales, da jedes Vieleck eine verminderte Kraft und Fläche, eine schwächere Verbindung und Vereinigung hat und so zur kreisförmigen Einheit der Ewigkeit, zum unausschöpfbaren Inhalt und zur unendlichen Vereinigung kein rationales Verhältnis haben kann, selbst wenn es alles, was es besitzt, auf eine solche Weise hat, daß an der Natur des Dreiecks oder Vierecks die Kraft des Kreises teilhaben kann.
2. Das Verhältnis der wahrnehmbaren Arten zur form der Formen ist also das der Vielecke zum Kreis.
3. Ferner, da es viele Seinsweisen des Dreiecks gibt — ein anderes ist das rechtwinklige Dreieck, ein anderes das spitzwinklige, ein anderes das stumpfwinklige —, und bei allen derartigen Figuren werden die verschiedenen Seinsweisen in veränderlichem Stoff absinken —, sind auch alle diese Weisen beschränkte Einzelerscheinungen (contractiones individuales).
4. Denn die Arten, in sich und wahrhaft betrachtet, treten im veränderlichen Stoff veränderlich auf.
5. Das Dreieck läßt sich der Wirklichkeit näher und vollkommener in Gold als in Wasser oder einem anderen veränderlichen Stoff herstellen, und noch zutreffender wird es im Geiste vorgestellt als in irgendeinem Stoff dargestellt.

33.

1. Daraus bemerken wir also, daß alle Vielecke einem Kreis einbeschrieben werden können, und daß im Kreis alle auf vollkommenere Weise enthalten sind als im Stoff, da sie dort Kreis sind;
2. daran sehen wir, wenn sich alle Vielecke einem sichtbaren Kreis einbeschreiben lassen und der die Ewigkeit darstellende Kreis der Akt jeder Möglichkeit ist, daß dann alle Arten dem Akt nach (actu) in der Art oder Form der Ewigkeit selbst ewige Form sind, wie alle Vielecke sichtbar dem Kreis einbeschrieben werden können.
3. Und wie in unserem Geist die Form des Dreiecks ein wahrhafteres Sein hat als in der veränderlichen Materie, so haben alle Arten von Dingen im ewigen Geist oder im Wort (Verbo) ein wahrhafteres Sein als in der individuellen Verschiedenheit; denn dort sind sie selbst ewige Wahrheit.

34.

1. Noch weiter fortschreitend bemerken wir die Verschiedenheit der Kreise und daß nur ein einziger der größte, der Kreis in vollendeter Wirklichkeit, der in sich bestehende, ewige und unendliche sein kann, zu dem man durch noch so viele Kreise nicht aufsteigen kann, da man in Dingen, die ein Größer und Kleiner zulassen, nicht zum Größten schlechthin kommen kann.
2. Und in Beziehung auf diesen unendlichen Kreis erwägen wir wunderbare und unaussprechliche Dinge, die anderweitig ausgedehnter behandelt sind.

35.

1. Wir behaupten also, es gibt Wesen von der Art des Kreises, die nicht ihr eigener Anfang sein können, da sie nicht sind wie der schlechthin größte Kreis, der allein die Ewigkeit selbst ist;
2. die anderen Kreise, die zwar nicht Anfang und Ende zu haben scheinen, da sie durch Abstraktion vom sichtbaren Kreis betrachtet werden, sind jedoch, da sie nicht die unendliche Ewigkeit selbst sind, Kreise, deren Sein vom unendlichen ersten ewigen Kreis stammt.
   1. Und diese Kreise sind im Vergleich zu den ihnen einbeschreibbaren Vielecken gewissermaßen die Ewigkeit und vollkommene Einfachheit.
3. Sie haben eine Fläche, die die Fläche aller Vielecke nicht-proportional überschreitet, und sie sind des unendlichen ersten Kreises erstes Bild, wenngleich sie wegen der Unendlichkeit des ersten mit ihm nicht zu vergleichen sind.
4. Und es sind Wesen, die eine kreisförmige nicht beendbare Bewegung haben um das Sein des unendlichen Kreises.
5. Sie fassen in sich zusammen die Kraft aller anderen Arten, und aus ihrer zusammenfassenden Kraft entwickeln sie auf dem Wege der Angleichung alle anderen Arten, und alles in sich schauend und sich als das Bild des unendlichen Kreises und durch eben dieses Bild betrachtend —d.h. sich selbst — , erheben sie sich zur ewigen Wahrheit oder zum Urbild selbst.
6. Das sind die mit Erkenntnis begabten Wesen, die mit der Kraft ihres Geistes alles umfassen.

36.

1. Es versuchen aber alle Figuren, so gut sie es vermögen, die Fassungskraft der ewigen Wahrheit zu messen.
2. Aber wie das Endliche zum Unendlichen kein rationales Verhältnis hat, so bleibt Gott über jeder Untersuchung die unerkannte Genauigkeit (praecisio) selbst, damit er nicht nur der Unbekannte bleibe, sondern auch die unbekannte Genauigkeit selbst, die in keinem erkennbaren Gegenstand erkannt werden kann.
3. Es strebt nämlich jede Kreatur, ihren Gott innerhalb der Grenzen ihrer eigenen Wesenheit zu bestimmen; wie ein Dreieck den Kreis verdreiecken (trigonare) möchte, ein Viereck vervierecken (tetragonare) usw. bei den anderen Vielecken, so möchte auch das mit Erkenntnis begabte Wesen Gott erkennen.
4. Aber obschon Gott, der ja keine Teile hat, da er die unendliche Einfachheit ist, keine unter allen artgemäß verschiedenen Maßweisen um einen angebbaren Teil überschreitet, überschreitet er doch schlechtweg jedes Größenmaß, weil er größer ist als jedes untersuchbare Maß.
5. Und ebenso überschreitet er jedes der feinen Maße für die allerkleinsten Brüche deshalb, weil er der feinste aller dieser Brüche ist, so daß er also weder durch Aufsteigen noch durch Absteigen genau erfaßt werden kann.

37.

1. Es ist aber für jedes Wesen hinreichend, wenn es Gott in seiner Art und auf die ihm mögliche Weise erreicht.
2. Dann ist es nämlich in Ruhe, da es Ihn außerhalb seiner Art weder sucht noch das Sein erfaßt.
3. Dieses hinreichende Erfassen also, mit dem es Ihn nach dem Vermögen seiner Natur erreicht, ist die Ruhe des Geschöpfes, da es die gesättigte Bewegung seiner Natur ist.

38.

1. Das erklärt uns in angleichender Weise die Untersuchung, die wir am Dreieck anstellten, das wir zur Umfangsgleichheit mit dem Kreis erheben wollten.
2. Und wir kamen bei der Erhebung des Dreiecks zur Gleichheit mit dem Kreis nur auf eine Weise zur Ruhe, die wir als die allein genauere, wenn auch mangelhafte fanden.
3. Diese Weise würde der Besonderheit des Vierecks nicht zukommen.
   1. Wenn jedoch das Viereck auf seine Weise zur Gleichheit mit dem Kreis aufsteigen würde, dann könnte es sich der erreichten Ruhe erfreuen, auch wenn keine absolute Genauigkeit bestünde, wenn nur ein anderes Viereck in seiner Art nicht vollkommener wäre.
4. Das gleiche gilt für die übrigen Vielecke.

39.

1. So kommt jeder Geist zur Ruhe, wenn er sich nur in der seiner Art zugestandenen Weise zur Gleichheit mit der Unendlichkeit erhoben fühlt, wenn auch die göttliche Genauigkeit immer unerreicht bleibt.
2. Dies und unendlich viel anderes kannst Du Dir selbst klarmachen.
3. Das Vorliegende so behandelt zu haben, möge genügen.
4. Amen.