Werk:Dedomena/LXXIV.
Stehen zwei Parallelogramme mit gleichen oder ungleichen gegebenen Winkeln in einem angegebenen Verhältnis, dann steht eine Seite des einen zu einer Seite des anderen Parallelogramms im gleichen Verhältnis wie die andere Seite des anderen Parallelogramms zu einer Strecke, deren Verhältnis zur anderen Seite des einen Parallelogramms gegeben ist.
Wenn die beiden Parallelogramme AB, EG mit gleichen oder ungleichen gegebenen Winkeln an C, F in einem gegebenen Verhältnis stehen, dann, sage ich, verhält sich CB zu FG wie EF zu einer Strecke, deren Verhältnis zu AC gegeben ist.
Denn das Parallelogramm AB ist zu EG gleichwinklig oder nicht.
Ist es gleichwinklig, dann ist über CB das dem Parallelogramm EG gleiche Parallelogramm CH so zu errichten, dass AC, CK auf einer Geraden liegen. Es liegen dann auch DB, BH auf einer Geraden.
Da das Verhältnis AB zu EG gegeben und EG gleich CH ist, ist das Verhältnis AB zu CH und damit das Verhältnis AC zu CK gegeben.
Das Parallelogramm CH ist dem Parallelogramm EG gleich und gleichwinklig, also stehen ihre Seiten im umgekehrten Verhältnis [wie Stoicheia VI.14.]. Somit verhält sich CB zu FG wie EF zu CK. Da das Verhältnis CK zu AC gegeben ist, verhält sich deshalb CB zu FG wie EF zu einer Strecke, deren Verhältnis zu AC gegeben ist.
Sind die Parallelogramme nun nicht gleichwinklig, dann ist über CB im Punkt C der dem Winkel EFG gleiche Winkel LCB anzulegen und das dem AB gleiche Parallelogramm CM z vervollständigen.
Das Verhältnis CD zu EG ist gegeben und CD ist gleich CM, also ist das Verhältnis CM zu EG gegeben.
Da der Winkel LCB gleich dem Winkel EFG ist, verhält sich CB zu FG wie EF zu einer Strecke, zu der CL in einem Verhältnis steht, das gegeben ist.
Das Verhältnis CA zu CL ist [wie in LXXIII.] gegeben, also verhält sich CB zu FG wie EF zu einer Strecke, deren Verhältnis zu AC gegeben ist.