Werk:Dedomena/LXXXI.
Steht die erste von drei Strecken, die im gleichen Verhältnis stehen, zur ersten von dreianderen Strecken, die in einem gleichen Verhältnis stehen, sowie die dritte zur dritten in einem angegebenen Verhältnis, dann ist das Verhältnis der zweiten zur zweiten Strecke gegeben und
steht entweder die erste oder dritte Strecke zur ersten oder dritten Strecke dreier anderen Strecken, sowie die zweite zur zweiten Strecke in einem angegebenen Verhältnis, dann ist das Verhältnis der übrigen zur übrigen Strecke gegeben.
Wenn von den drei Strecken A, B, C, die im gleichen Verhältnis stehen, und den drei Strecken D, E. F, die in einem gleichen Verhältnis stehen, das Verhältnis A zu D und das Verhältnis C zu F gegeben ist, dann, sage ich, ist das Verhältnis B zu E gegeben.
Denn da das Verhältnis A zu D und das Verhältnis C zu F gegeben ist, ist das Verhältnis des Rechtecks aus A mit C zum Rechteck aus D mit F gegeben.
Das Rechteck aus A mit C ist gleich dem Quadrat über B und das Rechteck aus D mit F ist gleich dem Quadrat über E [wie Stoicheia VI.17.].
Somit ist das Verhältnis des Quadrats über B zum Quadrat über E und damit das Verhältnis B zu E gegeben.
Ist nun das Verhältnis A zu D und das Verhältnis B zu E gegeben, dann, sage ich, ist das Verhältnis C zu F gegeben.
Denn da die Verhältnisse A zu D und B zu E gegeben sind, ist das Verhältnis des Quadrats über B zum Quadrat über E gegeben.
Das Quadrat über B ist gleich dem Rechteck aus A mit C und das Quadrat über E ist gleich dem Rechteck aus D mit F. Somit ist das Verhältnis des Rechtecks aus A mit C zum Rechteck aus D mit F gegeben.
Das Verhältnis der Strecke A zur Strecke D ist gegeben, also ist das Verhältnis der übrigen Strecke C zur übrigen Strecke F gegeben [wie LXVIII.].