Werk:Dedomena/LXXXIII.

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Wenn von vier Strecken drei und eine weitere Strecke, zu der die vierte in einem angegebenen Verhältnis steht, in Proportion stehen, dann steht die vierte zur dritten Strecke im gleichen Verhältnis wie die zweite zu einer Strecke, zu der die erste im gegebenen Verhältnis steht, und die damit gegeben ist.

Wenn von den vier Strecken A, B, C, D drei, nämlich A, B, C und eine weitere Strecke, nämlich E, zu der D in einem gegebenen Verhältnis steht, in Proportion stehen, wenn also A, B, C, E in Proportion stehen, dann, sage ich, steht D zu C im gleichen Verhältnis wie B zu einer Strecke, zu der A im gegebenen Verhältnis steht und die damit gegeben ist.

Denn da sich A zu B verhält wie C zu E, verhält sich das Rechteck aus A mit E wie das Rechteck aus B mit C. Damit ist das Verhältnis E zu D und deshalb das Verhältnis des Rechtecks aus A mit D zum Rechteck aus A mit E gegeben.

Da das Rechteck aus A mit E gleich dem Rechteck aus B mit C ist, ist somit das Verhältnis des Rechtecks aus D mit A zum Rechteck aus B mit C gegeben.

Deshalb verhält sich D zu C wie B zu der Strecke, zu der A im gegebenen Verhältnis steht und die damit gegeben ist.