Werk:Die Theologie der Arithmetik/Einleitung

Gespräch:Übersetzung Die Theologie der Arithmetik Einleitung

The Theology of Arithmetic is a curious, but valuable work. It is preserved for us in the corpus of works of the eminent Neoplatonist Iamblichus, but it is almost certainly not the arithmological treatise he promised to write (On Nicomachus’ Introduction to Arithmetic, 125.15 ff.): the author of our treatise is unknown.

• Die Theologie der Arithmetik ist ein kurioses, aber wertvolles Werk. Es ist für uns im Korpus der Werke des bedeutenden Neuplatonikers Iamblichos erhalten, aber es ist fast sicher nicht die arithmologische Abhandlung, die zu schreiben er versprach (Über Nikomachos’ Einleitung in die Arithmetik, 125.15 ff.): Der Verfasser unserer Abhandlung ist unbekannt.

This is, as far as I know, the first translation of the text out of its original Greek, let alone into a modern language. There are two main reasons for the neglect of the work. In the first place, Neoplatonism in general, and Neopythagoreanism in particular, are not popular studies in today's universities. Secondly, the text itself is undeniably scrappy.

• Dies ist, soweit ich weiß, die erste Übersetzung des Textes aus seinem griechischen Original, geschweige denn in eine moderne Sprache. Es gibt zwei Hauptgründe für die Vernachlässigung des Werkes. Erstens sind der Neuplatonismus im Allgemeinen und der Neupythagoreismus im Besonderen keine populären Studienbereiche an den heutigen Universitäten. Zweitens ist der Text selbst unbestreitbar bruchstückhaft.

The treatise is, in fact, a compilation and reads like a student's written-up notes. Whole sections are taken from the Theology of Arithmetic of the famous and influential mathematician and philosopher Nicomachus of Gerasa, and from the On the Decad of Iamblichus' teacher, Anatolius, Bishop of Laodicea. These two sources, which occupy the majority of our treatise, are linked by text whose origin is at best conjectural, but some of which could very well be lecture notes—perhaps even from lectures delivered by Iamblichus. At any rate, the treatise may tentatively be dated to the middle of the fourth century A.D.

• Die Abhandlung ist in der Tat eine Kompilation und liest sich wie die ausgearbeiteten Notizen eines Studenten. Ganze Abschnitte sind der Theologie der Arithmetik des berühmten und einflussreichen Mathematikers und Philosophen Nikomachos von Gerasa entnommen sowie der Schrift Über die Dekade von Iamblichos’ Lehrer Anatoliοs, dem Bischof von Laodizea. Diese beiden Quellen, die den Großteil unserer Abhandlung einnehmen, sind durch Textstücke verbunden, deren Ursprung bestenfalls mutmaßlich ist, von denen einige jedoch sehr wohl Vorlesungsnotizen sein könnten – vielleicht sogar aus Vorlesungen, die von Iamblichos gehalten wurden. Jedenfalls kann die Abhandlung vorläufig auf die Mitte des vierten Jahrhunderts n. Chr. datiert werden.

The value of the treatise is threefold. First, from an academic point of view, given the author's eclecticism, he has preserved, or he reflects, work which would otherwise be lost to us: that of Nicomachus is especially important (Anatolius' book is independently preserved), but there is also, for instance, a long fragment of Speusippus, Plato's successor as head of the Academy in Athens.

• Die Abhandlung ist in dreifacher Hinsicht wertvoll. Erstens hat der Verfasser aus akademischer Sicht, angesichts seines Eklektizismus, Werke bewahrt oder spiegelt diese wider, die uns andernfalls verloren gegangen wären: Jenes des Nikomachos ist besonders wichtig (das Buch des Anatolios ist unabhängig überliefert), aber es gibt zum Beispiel auch ein langes Fragment von Speusippos, Platons Nachfolger als Leiter der Akademie in Athen.

The second, and related merit of the book is simply that we have little extended evidence of the vast tradition of arithmology (as distinct from the hard science of mathematics) among the Greeks; The Theology of Arithmetic is a welcome, if sometimes obscure, addition to the slender corpus of such texts.

• Der zweite und damit verbundene Vorzug des Buches besteht schlichtweg darin, dass wir nur wenig umfassende Belege für die weitverzweigte Tradition der Arithmologie (arithmología / ἀριθμολογία) – im Gegensatz zur exakten Wissenschaft der Mathematik – unter den Griechen haben; Die Theologie der Arithmetik ist eine willkommene, wenn auch bisweilen dunkle Ergänzung zum schmalen Korpus solcher Texte.

The third chief merit of the treatise is harder to explain. Pythagoras of Samos lived towards the end of the sixth century B.C. Our knowledge of his work and that of his successors is usually tantalizingly scanty, but enough is preserved to be sure that, while in exoteric areas such as mathematics there was considerable development, the esoteric and religious side of their work remained firmly based on the same principles and fully deserves to be called the Pythagorean tradition, which lasted for at least a thousand years. At any rate, to anyone familiar with the fragments of Pythagoreanism and Neopythagoreanism, it is immediately clear that a great deal of what The Theology of Arithmeticsays could equally well have been said, and in many cases was, by a Pythagorean of the fifth or fourth centuries B.C.

• Der dritte Hauptvorzug der Abhandlung ist schwerer zu erklären. Pythagoras von Samos (Pythagóras ho Sámos / Πυθαγόρας ὁ Σάμος) lebte gegen Ende des sechsten Jahrhunderts v. Chr. Unser Wissen über sein Werk und das seiner Nachfolger ist gewöhnlich quälend spärlich, aber es ist genug erhalten, um sicher zu sein, dass, während es in exoterischen Bereichen wie der Mathematik eine beträchtliche Entwicklung gab, die esoterische und religiöse Seite ihres Werkes fest auf denselben Prinzipien begründet blieb und es vollauf verdient, die pythagoreische Tradition genannt zu werden, die mindestens tausend Jahre bestand. Jedenfalls ist es für jeden, der mit den Fragmenten des Pythagoreismus und Neupythagoräismus vertraut ist, sofort klar, dass ein Großteil dessen, was Die Theologie der Arithmetik sagt, ebenso gut von einem Pythagoreer des fünften oder vierten Jahrhunderts v. Chr. hätte gesagt werden können – und in vielen Fällen auch wurde.

I shall say a little more about this Pythagorean arithmological tradition shortly; here I need only say the following about it. Like Kabbalists, they recognized ten principles of all things. These ten principles are equated with, or described as, the first cycle of ten numbers. Thus our treatise simply takes each of the numbers from one to ten, and spends a few pages describing its qualities and giving reasons for those qualities. These qualities are primarily mathematical, and then by extension allegorical. So, for instance, the number one is present in all numbers and makes them what they are. This is a straightforward mathematical proposition; an extension is to call the number one Intellect, Artificer, Prometheus.

• Ich werde in Kürze noch ein wenig mehr über diese pythagoreische arithmologische Tradition sagen; hier muss ich nur Folgendes darüber anmerken. Wie die Kabbalisten (kabbalistaí / καββαλισταί) erkannten sie zehn Prinzipien aller Dinge an. Diese zehn Prinzipien werden mit dem ersten Zyklus der zehn Zahlen gleichgesetzt oder als solcher beschrieben. Daher nimmt unsere Abhandlung schlichtweg jede der Zahlen von eins bis zehn und widmet einige Seiten der Beschreibung ihrer Qualitäten und der Angabe von Gründen für diese Qualitäten. Diese Qualitäten sind in erster Linie mathematisch (mathēmatikós / μαθηματικός) und dann, als Erweiterung, allegorisch (allēgorikós / ἀλληγορικός). So ist beispielsweise die Zahl Eins in allen Zahlen vorhanden und macht sie zu dem, was sie sind. Dies ist eine einfache mathematische Behauptung; eine Erweiterung besteht darin, die Zahl Eins Intellekt (noûs / νοῦς), Schöpfer (dēmiourgós / δημιουργός) oder Prometheus (Promētheús / Προμηθεύς) zu nennen.

This approach has often been called superstitious mumbo-jumbo, but it is really only a different theological approach to ones with which we are more familiar. Mathematics is the most abstract language known to mankind; to base a theology upon it is to attempt to describe the abstract laws, as distinct from their applications, which govern God's universe. The outstanding nature of The Theology of Arithmetic, and its third chief merit, is that at one level it is unexceptionable, and fairly simple, Greek mathematics (since the complexity of mathematics lies in proving theorems, not merely in using the terminology, axioms or conclusions)—but the simplest mathematical statement is simultaneously imbued with religious import. The text makes it clear that for the Pythagoreans mathematics was more than a science: God manifests in the mathematical laws which govern everything, and the understanding of those laws, and even simply doing mathematics, could bring one closer to God.

• Dieser Ansatz ist oft als abergläubischer Hokuspokus (mumbo-jumbo) bezeichnet worden, aber er ist in Wirklichkeit nur ein anderer theologischer Ansatz als jene, mit denen wir vertrauter sind. Die Mathematik ist die abstrakteste Sprache, die der Menschheit bekannt ist; eine Theologie auf ihr zu begründen, bedeutet den Versuch, die abstrakten Gesetze – im Unterschied zu ihren Anwendungen – zu beschreiben, die Gottes Universum regieren. Die herausragende Natur der Theologie der Arithmetik und ihr dritter Hauptvorzug besteht darin, dass sie auf einer Ebene unbedenkliche und ziemlich einfache griechische Mathematik (mathēmatikḗ / μαθηματική) darstellt (da die Komplexität der Mathematik im Beweisen von Theoremen liegt, nicht bloß in der Verwendung der Terminologie, Axiome oder Schlussfolgerungen) – aber die einfachste mathematische Aussage ist gleichzeitig von religiöser Bedeutung (theios / θεῖος) durchdrungen. Der Text macht deutlich, dass für die Pythagoreer die Mathematik mehr als eine Wissenschaft (epistēmē / ἐπιστήμη) war: Gott offenbart sich in den mathematischen Gesetzen, die alles regieren, und das Verständnis dieser Gesetze, ja sogar das bloße Betreiben von Mathematik, konnte einen Gott näher bringen.

In the Western world, arithmology is inevitably associated with the name of Pythagoras and his followers. It should not, however, be forgotten that long after the demise of the Pythagorean schools number mysticism was still flourishing among Jewish and Christian mystics. The study and use of gematria by Jewish Kabbalists is relatively well known; more often forgotten is the fact that even such seminal Christian writers as John of Ruysbroeck (1293-1381) were perfectly prepared to see numbers as authoritative symbols and paradigms of divine principles.

• In der westlichen Welt wird die Arithmologie (arithmología / ἀριθμολογία) unweigerlich mit dem Namen des Pythagoras und seiner Anhänger in Verbindung gebracht. Es sollte jedoch nicht vergessen werden, dass noch lange nach dem Ende der pythagoreischen Schulen die Zahlenmystik unter jüdischen und christlichen Mystikern florierte. Das Studium und die Anwendung der Gematrie (gematría / γεματρία) durch jüdische Kabbalisten ist relativ bekannt; öfter vergessen wird die Tatsache, dass selbst so einflussreiche christliche Schriftsteller wie Jan van Ruysbroeck (1293–1381) vollauf bereit waren, Zahlen als maßgebliche Symbole (sýmbola / σύμβολα) und Paradigmen (paradeígmata / παραδείγματα) göttlicher Prinzipien anzusehen.

Among the Greeks, arithmology enjoyed a long history, as has already been remarked. It was practiced and studied concurrently with the science of mathematics, and by the same practitioners. As far as we can tell, no sooner had the Greeks been prompted (probably by contact with the Middle East) to elevate mathematics out of the market-place and into a pure science, than they also began to perceive philosophical and religious connotations to what they were doing. It is not too misleading a generalization to say that the Greek philosophers were impressed by the apparent orderliness of the universe and that this was for them the chief argument for some Intelligence being behind the universe. The Pythagoreans simply attributed this orderliness to the presence of number: numbers contain and manifest the laws of God's universe. Since all numbers after ten are repetitions of the first cycle, the first decad of numbers alone manifest these principles.

• Unter den Griechen erfreute die Arithmologie (arithmología / ἀριθμολογία) eine lange Geschichte, wie bereits bemerkt wurde. Sie wurde gleichzeitig mit der Wissenschaft der Mathematik ausgeübt und studiert, und zwar von denselben Praktikern. Soweit wir wissen, hatten die Griechen kaum damit begonnen (wahrscheinlich durch Kontakt mit dem Nahen Osten), die Mathematik aus dem Marktplatz heraus zu einer reinen Wissenschaft zu erheben, als sie auch schon anfingen, philosophische und religiöse Konnotationen in dem zu erkennen, was sie taten. Es ist keine allzu irreführende Verallgemeinerung zu sagen, dass die griechischen Philosophen von der offensichtlichen Geordnetheit des Universums beeindruckt waren und dass dies für sie das Hauptargument dafür war, dass eine Intelligenz hinter dem Universum stehe. Die Pythagoreer schrieben diese Geordnetheit schlicht der Gegenwart der Zahl zu: Zahlen enthalten und offenbaren die Gesetze von Gottes Universum. Da alle Zahlen nach der Zehn Wiederholungen des ersten Zyklus sind, offenbart die erste Dekade (dekás / δεκάς) der Zahlen allein diese Prinzipien.

In passing, it should be noted that the idea that the laws which govern the universe are numerical is not in itself at all silly. It is not just that we are happy with formulae such as E = mc²: these are perhaps different in that they are supported by scientific proof. More significant is the fact that we are still happy to accept more mysterious mathematical phenomena, like the Fibonacci series of natural growth, or Bode's law of the distances between planets, and a host of other series and constants. Do we, I wonder, have the right to praise these as scientific, but condemn the Pythagoreans as irrational?

• Im Vorbeigehen sei angemerkt, dass die Vorstellung, die Gesetze, die das Universum regieren, seien numerisch, an sich keineswegs töricht ist. Es ist nicht nur so, dass wir mit Formeln wie E = mc² zufrieden sind: Diese sind vielleicht insofern anders, als sie durch wissenschaftliche Beweise gestützt werden. Bedeutsamer ist die Tatsache, dass wir immer noch bereit sind, mysteriösere mathematische Phänomene zu akzeptieren, wie die Fibonacci-Folge des natürlichen Wachstums oder das Bode'sche Gesetz der Abstände zwischen den Planeten sowie eine Vielzahl anderer Reihen und Konstanten. Ich frage mich, ob wir das Recht haben, diese als wissenschaftlich zu preisen, aber die Pythagoreer als irrational zu verurteilen?

It should also be noted that while the Pythagorean attempt to give meaning to peculiar properties of number is unfashionably mystical, such peculiar properties have not been explained or explained away by modem mathematicians. They exist, and one either ignores them and gets on with doing mathematics, or gives them significance, which is what arithmologists do.

• Es sollte auch beachtet werden, dass, während der pythagoreische Versuch, den besonderen Eigenschaften der Zahlen eine Bedeutung beizumessen, unzeitgemäß mystisch ist, solche besonderen Eigenschaften von modernen Mathematikern weder erklärt noch wegerklärt worden sind. Sie existieren, und man ignoriert sie entweder und fährt mit dem Betreiben von Mathematik fort, oder man schreibt ihnen Bedeutung zu, was genau das ist, was Arithmologen (arithmologoi / ἀριθμολόγοι) tun.

The beginnings of arithmology among Pythagoras and his immediate successors are unknown. Both mathematics and its mystical counterpart belonged at that time to the oral tradition. By the end of the fifth century B.C., however, it is certain that Philolaus of Croton was writing arithmology down; perhaps his great fame depends upon his having been the first to do so systematically. A number of fragments of his work are extant, but the genuineness of many of them is disputed. Enough remains, however, to afford glimpses into an arithmology which is not vastly different, in content or in quality, to what we find in our treatise.

• Die Anfänge der Arithmologie (arithmología / ἀριθμολογία) bei Pythagoras und seinen unmittelbaren Nachfolgern sind unbekannt. Sowohl die Mathematik als auch ihr mystisches Gegenstück gehörten zu jener Zeit der mündlichen Tradition (ágraphos parádosis / ἄγραφος παράδοσις) an. Gegen Ende des fünften Jahrhunderts v. Chr. ist es jedoch sicher, dass Philolaos von Kroton (Philólaos / Φιλόλαος) die Arithmologie schriftlich niederlegte; vielleicht beruht sein großer Ruhm darauf, dass er der erste war, der dies systematisch tat. Eine Reihe von Fragmenten seines Werkes sind erhalten, aber die Echtheit vieler von ihnen ist umstritten. Es bleibt jedoch genug übrig, um Einblicke in eine Arithmologie zu gewähren, die sich in Inhalt oder Qualität nicht wesentlich von dem unterscheidet, was wir in unserer Abhandlung finden.

The two great names from the beginning of the fourth century B.C. are Archytas of Tarentum and, of course, Plato. It is certain that Archytas made advances in the science of mathematics; but my opinion is that he left arithmology pretty much as he found it, though he certainly wrote on the subject. As for Plato, whose enthusiasm for mathematics (and arithmology, especially in Timaeus, certain parts of Republic, Epinomis and in his unwritten doctrines as reported by Aristotle and others) cannot be overestimated, it is an insoluble argument whether he borrowed from a tradition or was innovative in the field. Those who do not wish his greatness to be tarnished by the suggestion of plagiarism should remember that in the ancient world the borrowing of material was not theft but a sign of respect. It is likely that he both drew on and developed the tradition. Plato's Academy certainly nurtured both mathematics and arithmology, as we can tell from the titles of lost books written by Speusippus and Xenocrates, his successors as heads of the Academy, and by the presence in the Academy of the eminent mathematician Eudoxus of Cnidos and others.

• Die zwei großen Namen vom Beginn des vierten Jahrhunderts v. Chr. sind Archytas von Tarent (Archýtās / Ἀρχύτας) und natürlich Platon (Plátōn / Πλάτων). Es ist sicher, dass Archytas Fortschritte in der Wissenschaft der Mathematik erzielte; aber meine Meinung ist, dass er die Arithmologie (arithmología / ἀριθμολογία) ziemlich genau so hinterließ, wie er sie vorfand, obwohl er sicherlich über das Thema schrieb. Was Platon betrifft, dessen Enthusiasmus für Mathematik (und Arithmologie, besonders im Timaios, in gewissen Teilen des Staates, in der Epinomis und in seinen ungeschriebenen Lehren, wie sie von Aristoteles und anderen berichtet werden) nicht überschätzt werden kann, so ist es ein unlösbarer Streit, ob er Anleihen bei einer Tradition machte oder auf diesem Gebiet innovativ war. Diejenigen, die nicht wünschen, dass seine Größe durch die Andeutung eines Plagiats befleckt wird, sollten bedenken, dass in der antiken Welt das Entleihen von Material kein Diebstahl, sondern ein Zeichen von Respekt war. Es ist wahrscheinlich, dass er die Tradition sowohl nutzte als auch weiterentwickelte. Platons Akademie (Akadēmeía / Ἀκαδημεία) pflegte sicherlich sowohl Mathematik als auch Arithmologie, wie wir aus den Titeln verlorener Bücher ersehen können, die von Speusippos (Speúsippos / Σπεύσιππος) und Xenokrates (Xenokrátēs / Ξενοκράτης), seinen Nachfolgern als Leiter der Akademie, geschrieben wurden, sowie durch die Anwesenheit des bedeutenden Mathematikers Eudoxos von Knidos (Eúdoxos / Εὔδοξος) und anderer in der Akademie.

In the centuries following Plato, the science of mathematics was developed in technical works such as those of Euclid, Archimedes, Heron and Pappus, but the history of arithmology becomes obscure. It is not until the first century A.D. that we again start to have extant texts. The fragmentary evidence from the intervening centuries allows us to be sure that arithmological tenets were used in various commentaries on Plato's dialogues (especially Timaeus, of course); but the mainstream of progress can only be conjectured. That there was progress is clear: in the first place, arithmologists would have borrowed useful developments of mathematics, as corroborative evidence for some property of some number within the decad, or more generally as confirmation of the importance of number in the universe; in the second place, the extant texts of later centuries assign more properties to numbers within the decad than we can safely say were assigned in earlier centuries, which suggests that the intervening period was when these properties began to be assigned; and thirdly, as philosophical fashions came and went, arithmology absorbed the language and some of the doctrines of Platonism, Aristotelianism and Stoicism. More importantly, the later extant texts often show a high degree of unanimity of thought and even of language. This suggests that there was some common seminal writer, whose name is unknown to us (it used to be thought to be the polymath Posidonius (c. 135-c. 50 B.C.), but who can be dated to the second century B.C.

• This unknown teacher seems to have given a new impetus to Pythagoreanism. The name of Pythagoras was no doubt never far from the lips of all the arithmologists of these centuries; but in the first century B.C., in Rome and Alexandria, thinkers again began to claim direct descent from the master, and we nowadays call them the Neopythagoreans. Many of these philosophers, such as Publius Nigidius Figulus (first century B.C.), Apollonius of Tyana (first century A.D.) and Numenius of Apamea (second century A.D.) are little more than names to us now, though the work of others like Theon of Smyrna and Nicomachus of Gerasa, who were contemporaries at the beginning of the second century A.D., is better preserved. It is unlikely that we are dealing with a unified school of thought, but nevertheless the influence of this Pythagorean revival was great. It was especially strong over the Neoplatonists, but the early Neopythagoreans also paved the way for Greek arithmology to enter the Jewish tradition via the works of Philo of Alexandria, and the Christian tradition via the works of Clement of Alexandria.

Now, this potted history of Greek arithmology is meant only to illuminate our treatise by putting it in context. What I have called the 'lecture-note' style of the book already warns us, and the context of the vast arithmological tradition confirms, that the best approach would be to regard nothing in the book as original to the anonymous compiler, and to remember that far more ancient arithmology is lost than is extant.

• Diese kurzgefasste Geschichte der griechischen Arithmologie (arithmología / ἀριθμολογία) soll lediglich unsere Abhandlung beleuchten, indem sie diese in ihren Kontext stellt. Was ich den „Vorlesungsnotiz-Stil“ des Buches genannt habe, warnt uns bereits, und der Kontext der gewaltigen arithmologischen Tradition bestätigt, dass der beste Ansatz darin bestünde, nichts in diesem Buch als originär für den anonymen Kompilator anzusehen und sich daran zu erinnern, dass weit mehr antike Arithmologie verloren gegangen als erhalten ist.

It is not just that our author liberally quotes from Nicomachus and Anatolius, nor that much of what our treatise says can be found here and there in other books. It is also that, apart from one or two more extended and discursive passages (such as the discussion of the relation between the pentad and justice), one constantly gets the impression that we are being shown the tip of an iceberg—that far more arithmological speculation was available than we know from treatises such as The Theology of Arithmetic or occasional remarks in other philosophers.

• Es ist nicht nur so, dass unser Autor freigiebig aus Nikomachos (Nikómachos / Νικόμαχος) und Anatolios (Anatélios / Ἀνατόλιος) zitiert, noch dass vieles von dem, was unsere Abhandlung sagt, hier und da in anderen Büchern gefunden werden kann. Es ist auch so, dass man – abgesehen von ein oder zwei längeren und ausschweifenden Passagen (wie der Diskussion über die Beziehung zwischen der Pentade und der Gerechtigkeit) – ständig den Eindruck gewinnt, dass uns nur die Spitze eines Eisbergs gezeigt wird – dass weit mehr arithmologische Spekulation verfügbar war, als wir aus Abhandlungen wie Die Theologie der Arithmetik oder gelegentlichen Bemerkungen bei anderen Philosophen wissen.

As Keith Critchlow's foreword suggests, the most convincing way to demonstrate this is to practice a little arithmology our selves. In the last pages of the book, we find Anatolius associating the numbers 36 and 55 in various way. However, he omits one context in which these numbers may be related, and this context is so obvious that it must have been known to the Greeks. It would have been obvious because it stems from Plato, whose authority was revered.

• Wie Keith Critchlows Vorwort nahelegt, besteht der überzeugendste Weg, dies zu demonstrieren, darin, selbst ein wenig Arithmologie (arithmología / ἀριθμολογία) zu praktizieren. Auf den letzten Seiten des Buches finden wir Anatolios (Anatélios / Ἀνατόλιος), wie er die Zahlen 36 und 55 auf verschiedene Weise miteinander in Verbindung bringt. Er lässt jedoch einen Kontext aus, in dem diese Zahlen in Beziehung stehen könnten, und dieser Kontext ist so offensichtlich, dass er den Griechen bekannt gewesen sein muss. Er wäre offensichtlich gewesen, weil er von Platon (Plátōn / Πλάτων) stammt, dessen Autorität verehrt wurde.

In Timaeus, Plato declared that the primary sequence of numbers by which the universe gains life is 1,2,3,4,9,8,27; these numbers are displayed on a lambda diagram as follows:

A natural addition to this diagram, which completes it in the sense that it becomes a tetraktys (see Keith Critchlow's foreword), is to insert the geometrical means:

Three things immediately become clear: that the three means we have inserted add up to 36; that the three apexes of the triangle add up to 36; and that the diagram now contains all the factors of 36, which, as our author says, add up to 55. (A fourth point, that the separate double and triple series down the arms of the lambda add up to 55, is mentioned by Anatolius.)

• Drei Dinge werden sofort klar: dass die drei Mittelwerte, die wir eingefügt haben, sich zu 36 summieren; dass die drei Scheitelpunkte des Dreiecks sich zu 36 summieren; und dass das Diagramm nun alle Faktoren von 36 enthält, die, wie unser Autor sagt, sich zu 55 summieren. (Ein vierter Punkt, dass die getrennten Doppel- und Dreifachreihen entlang der Schenkel des Lambdas sich zu 55 summieren, wird von Anatolios erwähnt.)

This slight example of such speculation is deliberately intended to encourage others to do the same, as well as to support my contention that we are faced in The Theology of Arithmetic with the tip of an iceberg. An academic cannot acknowledge such speculation as evidence: his or her discipline is necessarily and rightly rooted in the available textual evidence—otherwise it fails to be the valuable mental discipline that it is. But I think that such speculation, provided it is not too extravagant, can afford personal insights, at any rate, into what the Pythagorean tradition was concerned with.

• Dieses bescheidene Beispiel einer solchen Spekulation ist ausdrücklich dazu gedacht, andere zu ermutigen, dasselbe zu tun, sowie um meine Behauptung zu stützen, dass wir es in Die Theologie der Arithmetik mit der Spitze eines Eisbergs zu tun haben. Ein Akademiker kann eine solche Spekulation nicht als Beweis anerkennen: Seine oder ihre Disziplin ist notwendigerweise und zu Recht in der verfügbaren textlichen Evidenz verwurzelt – andernfalls verfehlt sie es, die wertvolle geistige Disziplin zu sein, die sie ist. Aber ich denke, dass solche Spekulationen, sofern sie nicht zu ausschweifend sind, zumindest persönliche Einblicke in das gewähren können, womit sich die pythagoreische Tradition befasste.

The Greek text I have used in preparing this translation is that of V. de Falco (Teubner series, Leipzig, 1922; additional notes by U. Klein, 1975.) De Falco's text is the most recent edition, and this was only the second time that the Greek had been critically edited: the first such edition was by F. Ast (Leipzig, 1817). Nevertheless, because of the lecture-note style of the text, and because of its inherent difficulties, over the centuries the Greek has become corrupted in many places: much more work even than that of Ast, de Falco and others remains to be done. Possibly some passages will never be recoverable: at any rate, I have often felt constrained to differ from de Falco's extremely conservative text (those who are interested are referred to my article in Classical Quarterly 1988). For those who want to compare the translation with the Greek text, I have inserted de Falco's page numbers in square brackets throughout the translation for ease of cross-reference.

• Der griechische Text, den ich bei der Vorbereitung dieser Übersetzung verwendet habe, ist der von V. de Falco (Teubner-Reihe, Leipzig, 1922; zusätzliche Anmerkungen von U. Klein, 1975). De Falcos Text ist die jüngste Ausgabe, und dies war erst das zweite Mal, dass das Griechische kritisch ediert wurde: die erste derartige Ausgabe stammte von F. Ast (Leipzig, 1817). Dennoch ist das Griechische aufgrund des Vorlesungsnotiz-Stils des Textes und wegen seiner inhärenten Schwierigkeiten im Laufe der Jahrhunderte an vielen Stellen korrumpiert worden: Es bleibt noch viel mehr Arbeit zu tun als jene von Ast, de Falco und anderen. Möglicherweise werden einige Passagen niemals wiederherstellbar sein: Jedenfalls habe ich mich oft gezwungen gesehen, von de Falcos extrem konservativem Text abzuweichen (Interessierte werden auf meinen Artikel in Classical Quarterly 1988 verwiesen). Für diejenigen, die die Übersetzung mit dem griechischen Text vergleichen wollen, habe ich de Falcos Seitenzahlen in eckigen Klammern überall in der Übersetzung eingefügt, um den Querverweis zu erleichtern.

A convention I have used in the translation needs mentioning. Our author often indicates by various Greek grammatical devices when he is changing from one source (say, Nicomachus) to another (say, Anatolius, or even a different bit of Nicomachus). I have indicated such changes by leaving an extra line space in the text (a single centered asterisk is used when such a break coincides with the end of a page). Sometimes he jumps alarmingly from one source to another: on p. 39, for instance, he attributes the content of one sentence to Anatolius, then skips to an unattributed doctrine (which is probably from Nicomachus), only to revert, without attribution, to Anatolius a couple of lines later. For those who read German, there is an excellent account of this aspect of our treatise by H. Oppermann, in the course of his review of de Falco's edition in Gnomon 1929, pp. 545-58.

• Eine Konvention, die ich in der Übersetzung verwendet habe, muss erwähnt werden. Unser Autor deutet oft durch verschiedene griechische grammatikalische Mittel an, wenn er von einer Quelle (etwa Nikomachos) zu einer anderen (etwa Anatolios oder sogar einem anderen Abschnitt von Nikomachos) wechselt. Ich habe solche Wechsel durch eine zusätzliche Leerzeile im Text kenntlich gemacht (ein einzelner zentrierter Asterisk wird verwendet, wenn ein solcher Umbruch mit dem Ende einer Seite zusammenfällt). Manchmal springt er erschreckend von einer Quelle zur anderen: Auf Seite 39 zum Beispiel schreibt er den Inhalt eines Satzes Anatolios (Anatélios / Ἀνατόλιος) zu, springt dann zu einer nicht zugeschriebenen Lehre (die wahrscheinlich von Nikomachos [Nikómachos / Νικόμαχος] stammt), nur um ein paar Zeilen später ohne Herkunftsangabe zu Anatolios zurückzukehren. Für diejenigen, die Deutsch lesen, gibt es einen ausgezeichneten Bericht über diesen Aspekt unserer Abhandlung von H. Oppermann im Zuge seiner Rezension von de Falcos Ausgabe in Gnomon 1929, S. 545–58.

It was tempting to clutter up the pages with many footnotes, but I have tried to keep these to a minimum. I have footnoted only those passages where I felt that the meaning might not be clear even on a second or third reading. There is a high degree of subjectivity about this, of course: what I think readers will find difficult to understand is not necessarily what any reader will find difficult to understand. It may be assumed, anyway, that those passages without footnotes are ones where I felt that a little thought could reveal the meaning. Flowever, there are one or two sentences which lack footnotes not for this reason, but because I completely fail to understand them!

• Es war verlockend, die Seiten mit vielen Fußnoten zu überfrachten, aber ich habe versucht, diese auf ein Minimum zu beschränken. Ich habe nur jene Passagen mit Fußnoten versehen, bei denen ich das Gefühl hatte, dass die Bedeutung selbst bei einer zweiten oder dritten Lektüre nicht klar sein könnte. Dabei gibt es natürlich ein hohes Maß an Subjektivität: Was ich glaube, dass Leser schwer verständlich finden werden, ist nicht notwendigerweise das, was jeder Leser schwer verständlich finden wird. Es darf jedenfalls davon ausgegangen werden, dass jene Passagen ohne Fußnoten solche sind, bei denen ich das Gefühl hatte, dass ein wenig Nachdenken die Bedeutung erschließen könnte. Es gibt jedoch ein oder zwei Sätze, denen nicht aus diesem Grund Fußnoten fehlen, sondern weil ich sie schlichtweg überhaupt nicht verstehe!

I owe a particular debt of gratitude to Keith Critchlow and Kairos for being easily persuaded that it would be worthwhile to translate and publish The Theology of Arithmetic. Several others have helped me to understand one or more passages of the treatise, and I would like to acknowledge such assistance from the following people: Professor John Dillon, Dr. Vivian Nutton, Dr. David Sedley, Rod Thom, Annie McCombe, Peter Thomas and Keith Munnings. It goes without saying that none of them are responsible for any remaining defects in quality and tone of my translation or commentary.

• Ich schulde Keith Critchlow und Kairos besonderen Dank dafür, dass sie sich leicht davon überzeugen ließen, dass es lohnenswert sei, Die Theologie der Arithmetik zu übersetzen und zu veröffentlichen. Mehrere andere haben mir geholfen, eine oder mehrere Passagen der Abhandlung zu verstehen, und ich möchte diese Unterstützung durch die folgenden Personen anerkennen: Professor John Dillon, Dr. Vivian Nutton, Dr. David Sedley, Rod Thom, Annie McCombe, Peter Thomas und Keith Munnings. Es versteht sich von selbst, dass keiner von ihnen für etwaige verbliebene Mängel in der Qualität und im Ton meiner Übersetzung oder meines Kommentars verantwortlich ist.

— Robin Waterfield