Werk:Die mathematischen Schriften/Der Dialog über die Quadratur des Kreises

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Gründet auf dem Werk „Dialogus de circuli quadratura“ Nikolaus von Kues
1. Juli 1457 n. Chr. hrsg.
Entwurf Liste Werke von Josepha Hofmann

8. Mai 2026 n. Chr. erst.
10:51 Uhr
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geprüft

^[1] (Dialogus de circuli quadratura)

Der Dialog zwischen dem Kardinal von St. Peter, Bischof von Brixen, und dem Arzt Paulus von Florenz über die Quadratur des Kreises

Paulus. Bester Vater, Du weißt, daß ich seit meiner Kindheit die Wahrheit gesucht habe, die in den mathematischen Wissenschaften klarer aufzuleuchten scheint, und Du weißt, wie sehr es mich nach der bisher unbekannten Quadratur des Kreises gelüstet. Daher bitte ich Dich, mache mir Mitteilung, wenn Dir nach Deinen, wie mir scheint etwas dunklen und unsicheren Büchern über die Mathematischen Ergänzungen, die Du mir geschickt hast, eine andere zuverlässigere Methode eingefallen ist^[2].

Der Kardinal Nikolaus. Gewiß; ich glaube, ich habe ein leichtes und wie mich dünkt sicheres Verfahren.

P. Ich bitte Dich, sprich!

N . Ich weiß, daß Dir alles wohl bekannt ist, was sich auf diesen Gegenstand bezieht, ausgenommen einzig und allein das Folgende: Zu einem gegebenen Kreisumfang die gleich große Strecke zu finden.

P. So ist es. Aus Archimedes ist mir bekannt: Wenn man den Kreishalbmesser mit dem ausgestreckten Halbkreisbogen multipliziert, ist das entstehende Rechteck flächengleich zum Kreis^[3].

N . Um Dir einen Begriff des Fehlenden zu geben, vernimm folgenden Satz: Wenn man in einem gegebenen Kreis die Sehne des Quadranten dem Halbmesser hinzufügt, dann entsteht der Durchmesser des Umkreises am Dreieck, das zu dem gegebenen Kreis umfangsgleich ist.

Angenommen, der gegebene Kreis $b c d e$ sei um den Mittelpunkt $a$ beschrieben, $b c$ sei der Quadrant; es seien die Sehne $b c$ und die Halbmesser $a b$ und $a c$ gezogen und um den Mittelpunkt $a$ ein weiterer Kreis gezeichnet, dessen Durchmesser $f g$ gleich der Summe aus den Strecken $a b$ und $b c$ sei; und zwar sei $g h$ gleich $b a$ , $h f$ gleich $b c$ . Diesem Kreis werde das Dreieck $i k l$ einbeschrieben. Ich behaupte: Der Dreieckumfang ist gleich dem ausgestreckten Umfang des Kreises $b c d e$ ^[4].

P. Dieses Verfahren ist leicht und sagt mir außerordentlich zu, wenn Du seine Gültigkeit nachweisen kannst.

N. Ich will es versuchen. Wie vorher sei der gegebene Kreis beschrieben, die unbegrenzt verlängerte Strecke $a c$ sei $m a$ . Ich behaupte: Zweifellos läßt sich aus $b$ gegen $a m$ hin eine Linie ziehen von folgender Eigenschaft: Wenn man ihr eine Strecke anfügt, die sich zur Ausgangsstrecke verhält wie die Quadratseite zur Diagonale, dann ist die neue Strecke gleich dem Durchmesser des Umkreises an dem ^{[t. 1]} zum gegebenen Kreis isoperimetrischen Dreieck.

P. Zugegeben. Es läßt sich aus $b$ gegen $a m$ eine Linie von folgender Eigenschaft ziehen: Wenn man ihr eine Strecke zufügt, die sich zur eben gezeichneten verhält wie die Quadratseite zur Diagonale, dann ist die entstehende Summe kleiner als der Durchmesser des Umkreises um das zum gegebenen Kreis isoperimetrische Dreieck. Das ist z.B. der Fall, wenn man die Linie zu dem nahe bei $a$ gelegenen Punkt $n$ zieht. Ebenso läßt sich eine andere Strecke gegen einen nahe bei $m$ gelegenen Punkt $o$ ziehen, die zusammen mit ihrer der Quadratseite entsprechenden Verlängerung größer ist [als der genannte Durchmesser]. Also wird es zwischen $n$ und $o$ einen Punkt geben, zu dem man aus $b$ eine Strecke ziehen kann derart, daß sie zusammen mit ihrer der Quadratseite entsprechenden Verlängerung gleich ist [dem fraglichen Durchmesser], d. h. weder größer noch kleiner als der Durchmesser des Umkreises um das zum gegebenen Kreis isoperimetrische Dreieck^[5].

N . Ich kann also mit Recht sagen: Wenn Du $b n$ annimmst und die ihm als Quadratseite entsprechende Strecke beliebig oft hinzufügst, dann ist diese Summe kleiner als der um einen Halbmesser des gegebenen Kreises weniger, als Du Strecken angefügt hattest, vermehrte Durchmesser des Dreieckumkreises. Und wenn Du $b o$ annimmst und die ihm als Quadratseite entsprechende Strecke beliebig oft hinzufügst, dann ist diese Summe größer als der um einen Halbmesser des gegebenen Kreises weniger, als Du Strecken angefügt hattest, vermehrte Durchmesser des Dreieckumkreises. Es wird also zwischen $n$ und $o$ auch einen Punkt geben, zu dem man aus $b$ eine Gerade ziehen kann von folgender Eigenschaft: sie beträgt den Durchmesser des Umkreises am Dreieck und einen Halbmesser des gegebenen Kreises weniger, als Du der Quadratseite entsprechende Strecken hinzugefügt hattest. Das kann aber nur im Punkte $c$ der Fall sein, dessen zugehörige, der Quadratseite entsprechende Strecke gleich dem Halbmesser des gegebenen Kreises ist, d.h. gleich $b a$ . Wenn diese der Quadratseite entsprechende Strecke größer oder kleiner wäre als ba, ist dies nicht möglich^[6].

P. Das Erste gebe ich zu; $b n$ vermehrt um die ihm zugehörigen, der Quadratseite entsprechenden Seiten in beliebiger Anzahl, bleibt kleiner als der Durchmesser des Umkreises um das isoperimetrische Dreieck und einen Halbmesser des gegebenen Kreises weniger, als man Seiten angefügt hatte. Ich sehe ein, daß es ein Halbmesser weniger sein muß; weil Du eine der Quadratseite entsprechende Strecke mit der Linie bn zum Durchmesser des Umkreises verbindest, ist das klar. Denn da $b n$ , um die der Quadratseite entsprechende Strecke vermehrt, kleiner ist als jener Durchmesser, und diese Strecke kleiner ist als $a b$ , ist das Ganze klar^[7]. Umgekehrt verhält sich die Strecke $b o$ , und auch das ist klar. Es ist auch sicher, wenn es so geschehen muß, was die Gleichheit in irgendeinem mittleren Punkte anlangt, daß dies der Punkte ist, aus dem von Dir genannten Grunde^[8]. Wenn nämlich die der Quadratseite entsprechende Strecke kleiner oder größer wäre als die Strecke ab, würde dies keineswegs folgen. Aber wie, wenn einer bestreitet, daß es zwischen $n$ und $o$ einen derartigen Punkt gibt?

N. Wer bestreitet, daß es zwischen Kleiner und Größer ein Gleiches gibt, bestreitet auch, daß man ein zum Kreis isoperimetrisches Dreieck angeben kann. Ich setze aber die Quadratur des Kreises als möglich voraus und folglich alles, ohne das sie nicht möglich ist^[9].

P. Ich könnte aber behaupten, sie sei nichtsdestoweniger möglich, aber nicht möglich sei das Folgende: Man muß beliebig viele der Quadratseite entsprechende Strecken zu der Linie hinzufügen, damit sich als Summe ergibt der Halbmesser des Umkreises um das isoperimetrische Dreieck und ein Halbmesser des gegebenen Kreises weniger als die Anzahl der angefügten Strecken betrug. Ich könnte nämlich sagen, daß der Punkt $p$ zwischen $n$ und $c$ liegt und daß die Strecke $b p$ zusammen mit der ihr entsprechenden Quadratseite gleich dem Durchmesser des besagten Umkreises wird^[10].

N . Dann leugnest Du also nicht: wenn $b p$ um zwei der Quadratseite entsprechende Strecken verlängert wird, dann ist die Summe gleich dem besagten Durchmesser und einer Strecke, die kleiner ist als der Halbmesser des gegebenen Kreises, weil die der Quadratseite entsprechende Strecke kleiner ist als $a b$ ^[11].

P. Wie sollte ich dies bestreiten?

N. Nun gelte Folgendes: Ich wähle einen Punkt $q$ oberhalb von $p$ ; $b q$ , vermehrt um die der Quadratseite entsprechende Strecke, ist um so viel größer als der besagte Durchmesser, wie eine der Quadratseite entsprechende Strecke kleiner ist als $a$ b; das ist möglich. Würde nicht, wenn $b g$ und zwei der Quadratseite entsprechende Strecken gegeben sind, diese Summe den besagten Durchmesser und einen Halbmesser des gegebenen Kreises ausmachen?

P. Wer möchte daran zweifeln?

N. Wie, wenn ich eine Strecke suche, die zusammen mit der der Quadratseite entsprechenden Strecke den besagten Durchmesser um den Betrag übertrifft, um den zwei der Quadratseite entsprechende Strecken kleiner sind als zwei Halbmesser des gegebenen Kreises?

P. Der Punkt muß näher bei $c$ liegen.

N. Wie, wenn Du mehrere der Quadratseite entsprechende Strecken hinzufügen würdest und die Linie mehreren Halbmessern gleich machen möchtest?

P. Der Punkt müßte sich notwendig dem Punkte $c$ fortwährend nähern.

N . Richtig. Wenn Du also unbegrenzt so fortfahren würdest, müßtest Du zuletzt notwendig zum Punkte $c$ kommen, da vor dem Punkte $c$ die der Quadratseite entsprechende Strecke immer kleiner ist als $a b$ .

P. Sehr richtig!

N. Es steht also fest, daß das Folgende nicht unmöglich ist: Zwischen $n$ und $o$ liegt ein Punkt, zu dem man eine Linie ziehen kann von der Art: Gleichgültig, wie oft man die zugehörige, der Quadratseite entsprechende Strecke hinzufügt, die Summe wird gleich dem Durchmesser des Umkreises am isoperimetrischen Dreieck sein, vermehrt um einen Halbmesser weniger als die Zahl der zugefügten Strecken betrug. Das ist aber der Punkt $c$ . Und wenn Du behauptest, der Punkt liege über $c$ hinaus gegen $o$ zu, dann folgt aus dem umgekehrten Schluß der ^{[t 1]} nämliche Widerspruch, weil man notwendig wieder zum Punkte $c$ kommen wird

P. Ich kann nicht bestreiten, daß es sich so verhält, wie Du einleuchtend dargelegt hast. Es steht allgemein fest: Wer behauptet, der Punkt liege diesseits oder jenseits von $c$ , der irrt, und der Irrtum wird eben aus der Lage des Punktes erwiesen; denn eine jede Strecke, die größer ist als $b c$ , ist zusammen mit ihrer zugehörigen Quadratseite größer als der Durchmesser des Umkreises am isoperimetrischen Dreieck — und eine kleinere, vermehrt um ihre zugehörige Quadratseite, ist kleiner als dieser Durchmesser^[12].

N . Das könnte man noch auf einem anderen Wege zeigen. Es gibt mehrere Methoden, die Durchmesser der In- und Umkreise an Vielecken, die zu einem gegebenen Kreis isoperimetrisch sind, leicht aufzufinden aus dem Wissen, daß das flächengrößte Vieleck von unendlicher Seitenzahl mit dem Kreis zusammenfällt. Aber diese Methode genügt, den Rest überlasse ich Dir.

P. Es genügt eine Methode anzugeben, vermittels derer man einen gekrümmten Umfang in eine Gerade ausstreckt und umgekehrt eine Strecke in eine Kurve überführt. Daraus läßt sich alles, was man in der Mathematik bisher nicht wußte, ableiten, wie Du es in Deinem Buch über die Mathematischen Ergänzungen berührt hast. Wer also eine Kurve in eine Strecke verwandelt hat, multipliziere den Halbmesser des gegebenen Kreises mit der Hälfte jener Strecke, die gleich dem Umfang sein sollte. Angenommen, es sei $r s$ gleich $a b$ und $s t$ gleich der halben Summe der drei Seiten $i k l$ . Wenn man nun das Rechteck rstu schließt, das gleich der Kreisfläche bede ist, dann läßt sich nach Euklid VI, 9 das geometrische Mittel zwischen $r s$ und $s t$ finden. Das geometrische Mittel, d.h. die Seite des Quadrats sei $x y$ ; dann wird Quadrat xy&z gleich dem Kreis sein.

Das ist bekannt. Und daher danke ich Dir, bester Vater Nikolaus, daß Du Dich trotz Deiner zahlreichen Obliegenheiten herbeigelassen hast, Dich dieser Aufgabe zu widmen, deren Lösung von allen verschiedenen Methoden Deine ganz leichte und einleuchtende Erfindung darzulegen und den Forschern eine große Mühe abzunehmen.

Ende. Brixen 1457.

↑ Den Text des vorliegenden Dialogs kennen wir aus dem Nürnberger Druck und dem Basler Nachdruck, ferner aus einer Vatikanischen Handschrift, worin eine lange Erläuterung der entscheidenden Stelle gegeben wird. Das Ganze scheint nicht etwa literarische Fiktion zu sein, sondern auf eine tatsächlich stattgehabte Unterredung mit TOSCANELLI zurückzugehen, die wir wohl auf die erste Hälfte des Jahres 1457 datieren dürfen. Sie ist mit Bestimmtheit vor die Caes. quadr. vom 6. VIII. 1457 anzusetzen, in der ein neuer und besserer Gedanke zur Ausführung der Kreisquadratur dargeboten wird.
↑ Aus dieser Stelle ergehen wir, daß TOSCANELLI auch die erweiterte Fassung der Compl. math. abgelehnt hatte. Mit schönem Freimut gibt der CUSANER die Mängel der dortigen Versuche zu, zumal er nunmehr eine neue und bessere Näherung zu geben hofft.
↑ Erneute Erwähnung der prop, 1 aus der ARCHIMEDISCHEN Circ. dim.
↑ Diesmal geht es um die isoperimetrische „Auseckung" eines Kreises (Halbmesser $r$ ): Der CUSANER nähert den Umkreisdurchmessers $2 r_{3}$ , des zum ursprünglichen Kreis umfanggleichen gleichseitigen Dreiecks an vermittels $2 r_{3} = r (\sqrt{2} + 1)$ . Also wäre der isoperimetrische Umfang gleich $6 r_{3} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} (1 + \sqrt{2}) r$ und somit $\frac{𝚄𝚖𝚏𝚊𝚗𝚐}{𝙳𝚞𝚛𝚌𝚑𝚖𝚎𝚜𝚜𝚎𝚛} = 3, 135$ statt $3, 124$ . Die Näherung ist also unbefriedigend.
↑ Zunächst wird festgestellt, daß es eine Strecke $x > r$ gibt, so daß $x + \frac{x}{\sqrt{2}} = 2 r_{3}$ wird.
↑ Jetzt wird behauptet, daß $s \sqrt{2} + k r = 2 r_{3} + (k - 1) r$ . ( $k \geq 2$ , ganz).
↑ Ausgangspunkt ist die Ungleichung $b n + \frac{b n}{\sqrt{2}} < 2 r_{3}$ , falls $\frac{b n}{\sqrt{2}} < a b$ . Aus ihr wird geschlossen, daß $b n + k \cdot \frac{b n}{\sqrt{2}} < 2 r_{3} + (k - 1) r$ .
↑ Damit bekennt sich TOSCANELLI zunächst zur Annahme der CUSANISCHEN Näherung.
↑ Hier wird das in der De circ. quadr. S. 36/41 eingehend behandelte Existenzproblem wenigstens im Vorübergehen berührt.
↑ Mit dieser Bemerkung zieht TOSCANELLI seine etwas voreilig gegebene Zustimmung zu der CUSANISCHEN Näherung wieder zurück. Sein Einwand trifft den Kernpunkt der Sache: Soll $x (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2 r_{3}$ , sein, so ist $x ≑ r \sqrt{2}$ , sondern $x = 1, 417 r$ , jedoch nicht $< r \sqrt{2}$ , wie TOSCANELLI andeutet, indem er $p$ zwischen $n$ und $c$ annimmt, sondern größer. Das war auch den damaligen Mathematikern unter Verwendung der ARCHIMEDISCHEN Grenzen für $n$ zugänglich.
↑ Jetzt beginnt der interessanteste Teil des Dialoge: Der CUSANER will zeigen, daß die Gleichung $x + f r a c x \sqrt{2} = 2 r_{3} [= 2, 418 r]$ keine andere Lösung haben kann als $x = r \sqrt{2}$ , und er bedient sich zu diesem Zweck einer indirekten Schlußweise von folgender Art: angenommen, es wäre $x_{0} + \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} = 2 r_{3}$ , und $x_{0} \neq r \sqrt{2}$ , sp könnte man feststellen, daß die Lösungen $x_{1}, x_{2} \dots, x_{k} \dots$ , der Gleichungen $x_{1} + \frac{2 x_{1}}{\sqrt{2}} = 2 r_{3} + r, x_{2} + \frac{3 x_{2}}{\sqrt{2}} = 2 r_{3} + 2 r, \dots, x_{k} + \frac{k + 1}{\sqrt{2}} x_{k} = 2 r_{3} + k r, \dots$ monoton von $x_{0}$ ab gegen $r \sqrt{2}$ gehen und daß $lim_{n \to \infty} x_{k} = r \sqrt{2}$ ist. Weil der CUSANER will, daß sämtliche $x_{k}$ gleich werden — dies wird jedoch nirgends hinreichend sorgfältig dargelegt muß er jedes von ihnen gleich $r \sqrt{2}$ setzen. In Wirklichkeit ist $r_{0} < r \sqrt{2}$ — wie oben angedeutet — und deshalb ist das Ganze nicht mehr als ein geistreicher, jedoch im vorliegenden Fall bedeutungslos bleibender Einfall.
↑ In der Vatikanischen Handschrift wird zu dieser Stelle eine lange Erläuterung folgenden Inhaltes gegeben: Wird der Übergang zum Unendlichen (processus in infinitum) als zulässig angesehen, so ist alles in Ordnung. Wird er als unstatthaft betrachtet, so wird man sich zwar dem Punkt $c$ bei fortwährender Vermehrung der Anzahl $k$ der hinzuzufügenden Halbmesser unbeschränkt annähern, aber ohne ihn je zu erreichen.

↑ pag. 11

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[1] Den Text des vorliegenden Dialogs kennen wir aus dem Nürnberger Druck und dem Basler Nachdruck, ferner aus einer Vatikanischen Handschrift, worin eine lange Erläuterung der entscheidenden Stelle gegeben wird. Das Ganze scheint nicht etwa literarische Fiktion zu sein, sondern auf eine tatsächlich stattgehabte Unterredung mit TOSCANELLI zurückzugehen, die wir wohl auf die erste Hälfte des Jahres 1457 datieren dürfen. Sie ist mit Bestimmtheit vor die Caes. quadr. vom 6. VIII. 1457 anzusetzen, in der ein neuer und besserer Gedanke zur Ausführung der Kreisquadratur dargeboten wird.

[2] Aus dieser Stelle ergehen wir, daß TOSCANELLI auch die erweiterte Fassung der Compl. math. abgelehnt hatte. Mit schönem Freimut gibt der CUSANER die Mängel der dortigen Versuche zu, zumal er nunmehr eine neue und bessere Näherung zu geben hofft.

[3] Erneute Erwähnung der prop, 1 aus der ARCHIMEDISCHEN Circ. dim.

[4] Diesmal geht es um die isoperimetrische „Auseckung" eines Kreises (Halbmesser $r$ ): Der CUSANER nähert den Umkreisdurchmessers $2 r_{3}$ , des zum ursprünglichen Kreis umfanggleichen gleichseitigen Dreiecks an vermittels $2 r_{3} = r (\sqrt{2} + 1)$ . Also wäre der isoperimetrische Umfang gleich $6 r_{3} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} (1 + \sqrt{2}) r$ und somit $\frac{𝚄𝚖𝚏𝚊𝚗𝚐}{𝙳𝚞𝚛𝚌𝚑𝚖𝚎𝚜𝚜𝚎𝚛} = 3, 135$ statt $3, 124$ . Die Näherung ist also unbefriedigend.

[6] Zunächst wird festgestellt, daß es eine Strecke $x > r$ gibt, so daß $x + \frac{x}{\sqrt{2}} = 2 r_{3}$ wird.

[7] Jetzt wird behauptet, daß $s \sqrt{2} + k r = 2 r_{3} + (k - 1) r$ . ( $k \geq 2$ , ganz).

[8] Ausgangspunkt ist die Ungleichung $b n + \frac{b n}{\sqrt{2}} < 2 r_{3}$ , falls $\frac{b n}{\sqrt{2}} < a b$ . Aus ihr wird geschlossen, daß $b n + k \cdot \frac{b n}{\sqrt{2}} < 2 r_{3} + (k - 1) r$ .

[9] Damit bekennt sich TOSCANELLI zunächst zur Annahme der CUSANISCHEN Näherung.

[10] Hier wird das in der De circ. quadr. S. 36/41 eingehend behandelte Existenzproblem wenigstens im Vorübergehen berührt.

[11] Mit dieser Bemerkung zieht TOSCANELLI seine etwas voreilig gegebene Zustimmung zu der CUSANISCHEN Näherung wieder zurück. Sein Einwand trifft den Kernpunkt der Sache: Soll $x (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2 r_{3}$ , sein, so ist $x ≑ r \sqrt{2}$ , sondern $x = 1, 417 r$ , jedoch nicht $< r \sqrt{2}$ , wie TOSCANELLI andeutet, indem er $p$ zwischen $n$ und $c$ annimmt, sondern größer. Das war auch den damaligen Mathematikern unter Verwendung der ARCHIMEDISCHEN Grenzen für $n$ zugänglich.

[12] Jetzt beginnt der interessanteste Teil des Dialoge: Der CUSANER will zeigen, daß die Gleichung $x + f r a c x \sqrt{2} = 2 r_{3} [= 2, 418 r]$ keine andere Lösung haben kann als $x = r \sqrt{2}$ , und er bedient sich zu diesem Zweck einer indirekten Schlußweise von folgender Art: angenommen, es wäre $x_{0} + \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} = 2 r_{3}$ , und $x_{0} \neq r \sqrt{2}$ , sp könnte man feststellen, daß die Lösungen $x_{1}, x_{2} \dots, x_{k} \dots$ , der Gleichungen $x_{1} + \frac{2 x_{1}}{\sqrt{2}} = 2 r_{3} + r, x_{2} + \frac{3 x_{2}}{\sqrt{2}} = 2 r_{3} + 2 r, \dots, x_{k} + \frac{k + 1}{\sqrt{2}} x_{k} = 2 r_{3} + k r, \dots$ monoton von $x_{0}$ ab gegen $r \sqrt{2}$ gehen und daß $lim_{n \to \infty} x_{k} = r \sqrt{2}$ ist. Weil der CUSANER will, daß sämtliche $x_{k}$ gleich werden — dies wird jedoch nirgends hinreichend sorgfältig dargelegt muß er jedes von ihnen gleich $r \sqrt{2}$ setzen. In Wirklichkeit ist $r_{0} < r \sqrt{2}$ — wie oben angedeutet — und deshalb ist das Ganze nicht mehr als ein geistreicher, jedoch im vorliegenden Fall bedeutungslos bleibender Einfall.

[14] In der Vatikanischen Handschrift wird zu dieser Stelle eine lange Erläuterung folgenden Inhaltes gegeben: Wird der Übergang zum Unendlichen (processus in infinitum) als zulässig angesehen, so ist alles in Ordnung. Wird er als unstatthaft betrachtet, so wird man sich zwar dem Punkt $c$ bei fortwährender Vermehrung der Anzahl $k$ der hinzuzufügenden Halbmesser unbeschränkt annähern, aber ohne ihn je zu erreichen.

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