Werk:Die mathematischen Schriften/Von den Atithmetischen Ergänzungen

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Gründet auf dem Werk „De arithmeticis complementis“ Nikolaus von Kues
1445 n. Chr. hrsg.  
Entwurf Liste Werke von Josepha Hofmann 

6. Mai 2026 n. Chr. erst.  
14:00 Uhr
unüberarbeitet
ungeprüft

(De arithmeticis complementis)

Der Kardinal Nikolaus von Cues widmet dem Arzte Paulus, dem besten und gelehrtesten Manne, seine Schrift Über die Arithmetischen Ergänzungen Hier, bester Paulus, etliche Ergänzungen über die arithmetischen Verhältnisse! Ich unterbreite sie Dir unverdrossen, obwohl sie Dir und allen bekannt sein könnten aus dem, was ich in meiner Abhandlung über die Geometrischen Verwandlungen entwickelt und Dir zur Berichtigung überreicht habe.

Ich behaupte: Die Koinzidenz von Winkel und Seite in den verschiedenen umfangsgleichen Vielecken führt uns zum isoperimetrischen Kreis, wie wir in der ersten Prämisse der Geometrischen Verwandlungen gezeigt haben. Damit eröffnet sich uns hier ein Weg, um das, was auf eine arithmetische Ergänzung hinzielt, auf jede nur erreichbare Weise zu berechnen. Das aber, was ich meine, war bisher in der Hauptsache unbekannt, nämlich das Verhältnis der Sehne zum Bogen. Die besagte Ergänzung besteht in dem Auffinden dieses Verhältnisses. Kennt man dieses Verhältnis, dann bleibt für die zahlenmäßige Berechnung nichts mehr schwierig.

Es gab sorgsame und genaue Gelehrte, ihnen voran Archimedes, die gezeigt haben, daß der Kreisumfang im Verhältnis zum Durchmesser größer ist als $3\frac{10}{71}$ und kleiner als $3\frac{10}{70}$, und daß dieser Näherungswert fortwährend genauer gemacht werden kann. Sie haben uns aber nicht überliefert, wo der zahlenmäßig nicht erreichbare genaue Wert verborgen ist; denn wenn sich auch die Quadratseite aus der zahlenmäßig gegebenen Diagonale nicht in [rationalen] Zahlen berechnen läßt, so gelangt man trotzdem zu einer Zahl. Wenn man deren Wurzel [genau] berechnen könnte, würden wir die zahlenmäßig nicht angebbare Seite kennen. Ich habe nicht gefunden, daß die Alten etwas Derartiges [für den Kreis] gewußt oder wenigstens überliefert hätten.

Abb. 15.

Abb. 16.

Abb. 15.Fürwahr, wenn sich dieses Verhältnis in Zahlen finden läßt, dann vermute ich, daß man diesen Kunstgriff auf den schon angegebenen Wegen gewinnen kann, und übergehe der Kürze halber die letzte dort gesetzte Figur. Es steht fest, daß das Verhältnis der Sechseckseite zum Umkreishalbmesser des isoperimetrischen Dreiecks dem Quadrat nach (in quadratis) bekannt ist. Wenn das Quadrat von $dg$ gleich $4$ ist, dann ist das Quadrat der Seite des isoperimetrischen Sechsecks gleich $3$, da die Sechseckseite gleich der Halbsehne unter dem Drittelbogen des nämlichen Kreises ist. Folglich ist das Quadrat von $ed$ bekannt; denn wenn das Quadrat von $dg$ gleich 4 ist, dann ist das Quadrat von $ed$ gleich $9$, da $dg$ das Doppelte von $ge$ ist. So wird $fe$ bekannt sein als die Sechseckseite, deren Quadrat gleich $3$ ist, wenn das Quadrat von $dg$ gleich $4$ gesetzt ist. Auf die gleiche Weise wird $ec$ bekannt sein. So kennt man $ed$ und $ef$. Und weil die Dreiecke $egl$ und $ecn$ gleiche Winkel haben, stehen die Seiten im nämlichen Verhältnis. Es ist also $ge:ce=ce:en$.

Es sollen nun zwei Größen gefunden werden, deren größere sich zu $eg$ verhält wie die kleinere zu $ec$, und zwar so, daß die Reste gleich sind, wenn man die größere von $ed$ abzieht und die kleinere von $ef$. Dieser Rest ist der Halbmesser des Kreises, der zum Sechseck oder Dreieck isoperimetrisch ist. Diese Vielecke sind unter sich umfangsgleich. Da das Verhältnis des Vieleckumfangs zu $de$ bekannt ist, und weil das Verhältnis des Halbmessers im isoperimetrischen Kreis zu $de$ bekannt ist, wird das Verhältnis des Durchmessers zum Umfang auf jede nur denkbare Weise bekannt sein. Somit weißt Du, was das Gesuchte ist, das die Zahl nicht erreichen kann, damit der Geist erkenne, wie unwissend und mangelhaft der rechnende Verstand ist.

Abb. 17.

Daraus wird offenbar, daß man jedes Verhältnis einer Sehne zum Bogen und Durchmesser untersuchen kann. Wenn Du nämlich an Stelle des Sechsecks ein beliebiges Vieleck nimmst, dann ist klar, daß sich alles wie im Sechseck behandeln läßt. Und um dies einzusehen, beschreiben wir einen Halbkreis, dessen Halbmesser gleich dem Umkreishalbmesser am Dreieck ist, ziehen vom Mittelpunkt $g$ den Halbmesser $dg$ zur Bogenmitte $d$ und geben auf dem Bogen von $d$ aus nach beiden Seiten hin den Bogen an, der den Vieleckseiten — die ja die gesuchten Sehnen darstellen — entspricht. Angenommen, Du willst die Sehne zu einem Winkel von , dann wirst Du den Winkel von $22{\frac{1}{2}}^{\circ }$ vom Punkte $d$ aus nach beiden Seiten antragen; die Endpunkte seien $s$ und $t$. Lege nunmehr von s aus gegen t hin die Halbsehne bis zum Halbmesser $dg$ und benenne diesen Endpunkt mit $v$. Da $45^{\circ }$ ein Achtel des ganzen Umfangs beträgt, hat dieses Vieleck ebenso viele Ecken und Seiten. Ziehe dann aus dem Mittelpunkt $g$ zum Punkte $s$ eine Gerade, teile den in eine Gerade aufgespannten Dreieckumfang in acht gleiche Teile und bringe einen Halbteil $xy$ parallel zu so zwischen die Geraden $gs$ und $gd$. Dann beschreibe um $g$ als Mittelpunkt mit dem Halbmesser $xg$ einen Bogen, der $dg$ in $z$ trifft.45^\circ45∘

Hierauf beschreibe zwei Quadranten wie vorher, indem Du den Halbmesser $ed$ gleich dem Umkreishalbmesser am Dreieck machst, vermehrt um den Überschuß dieses Umkreishalbmessers über den zugehörigen Inkreishalbmesser; und $ef$, den Halbmesser des zweiten Quadranten, gleich der Strecke $gx$ oder $gz$, vermehrt um den Überschuß des Umkreishalbmessers über den Inkreishalbmesser am isoperimetrischen Achteck. Nun ziehe die Sehne $gh$ so, daß der Pfeil $gd$ gleich dem Umkreishalbmesser des Dreiecks wird, und die zweite Sehne $ck$ so, daß $fc$ gleich $gx$ wird, d. h . gleich dem Umkreishalbmesser am Achteck

Hierauf ziehe man aus $e$ eine Gerade bis zu den Umfängen, deren Abschnitte zwischen den Bögen und den zugehörigen Sehnen wie oben gleich sind, und die wie früher mit $lm$ und $no$ bezeichnet werden. Nun untersuche, wie Dir $ef$ bekannt werden kann. $ed$ ist nach dem Vorhergehenden bekannt, außerdem auch $lm$ gleich $no$. Ferner ist $el$ und $ey$ bekannt, daher auch das Verhältnis $el:eg$ und $en:ec$. Da $no$ bekannt ist, wollen wir die Strecke $en$ untersuchen. Angenommen, $en$ sei irgendeine Größe, dann wird wegen des bekannten Verhältnisses notwendig auch die Größe $ec$ bekannt sein. Und wenn die als $en$ angenommene Größe die richtige ist, dann prüfe ich so $ef$. Gemäß der Annahme wird dann $eo$ bekannt und ebenso auch $cf$. Nun werde vom Quadrat der Strecke $cf$ oder $gx$ das Quadrat der Strecke $xy$ abgezogen. Das ist bekannt. Die Wurzel aus dem Rest ist $gy$. Auf diese Weise wird auch $zy$ bekannt. Wenn diese Strecke gleich $ec$ ist, dann war die Annahme richtig; wenn nicht, muß man den Fehler verbessern. Dann ergibt sich das Gesuchte.

Auf diesem Wege werden alle Sehnen bestimmbar, was die Alten trotz des größten darauf verwendeten Eifers nicht erreichen konnten. Wie Du weißt,gestehen bisher alle, die Sehnen zum Winkel $1^{\circ }$, $2^{\circ }$, $4^{\circ }$ oder $8^{\circ }$ usw. nicht genau angeben zu können. Mittels der hier behandelten Ergänzungen kann man aus dem bekannten Verhältnis der Bögen und Sehnen das Verhältnis der Seiten und Winkel eines unbekannten Dreiecks und alles, was man sonst über diesen Gegenstand wissen kann, erfassen.

Abb. 18

Indem ich die Dreieckfigur der ersten Prämisse voraussetze, beschreibe ich um den Mittelpunkt $a$ einen weiteren Kreis, dessen Halbmesser gleich dem Umkreishalbmesser am isoperimetrischen Sechseck ist, vermehrt um den Überschuß dieses Umkreishalbmessers über den Inkreishalbmesser im nämlichen Sechseck. Ziehe nunmehr die sich im Mittelpunkt senkrecht schneidenden Durchmesser mit den Endpunkten $b$, $c$, $d$, $e$ und die Sehne $fgh$, deren Pfeil gleich dem Umkreishalbmesser am Sechseck ist. Schließlich ziehe aus $a$ durch $gh$ eine Gerade $aik$, die gleich dem Umkreishalbmesser des isoperimetrischen Sechsecks wird. Dann bestimme den Überschuß der Strecke $cb$ in der ersten Figur über die Strecke $ab$ der vorliegenden, trage ihn auf der durch $a$ gezogenen Linie gleich $al$ an, fälle aus $l$ auf $ad$ das Lot und nenne den Fußpunkt $m$. Und weil $cb$ aus der Lage der Seite des dem Kreis einbeschriebenen Dreiecks bekannt ist und ebenso $ab$, ist auch $la$ und $ag$ bekannt. Es ist aber $la:am=ai:ag$ und $la:ai=ma:ag$. Nun soll also eine Zahl gefunden werden, die in einem bestimmten Verhältnis zur bekannten Strecke $la$ steht, so daß es eine andere Zahl gibt, die im nämlichen Verhältnis zur bekannten Strecke $ag$ steht derart, daß $la$ zusammen mit dieser gefundenen Zahl, von $bc$ abgezogen, den nämlichen Rest läßt, der sich ergibt, wenn man $ag$ zusammen mit der anderen Zahl von $ab$ abzieht. Damit hast Du den Halbmesser des Kreises berechnet. Du mußt also das Verhältnis der dreifachen Dreieckseite und des doppelten Halbmessers betrachten, um auf diese Weise durch eine feine Näherung da Terhältnis des Durchmessers zum Umfang zu erhalten.