Werk:Die vierte Dimension Mathematik und Wirklichkeit

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Gründet auf dem Werk „Hörernotizen von Vorträgen über den mehrdimensionalen Raum“ Rudolf Steiner
Ausarbeitung Liste Werke von Klaus Feldmann
Heft
24. März 1905 n. Chr. erst.
Ausgabe 01
16:15 Uhr Ausgabe 01
Leserschaft: Niemand
unüberarbeitet
ungeprüft
2022020902 RUDOLF STEINER Die vierte Dimension Berlin, 24 März 1905.pages

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RUDOLF STEINER

Die vierte Dimension Mathematik und Wirklichkeit

Hörernotizen von Vorträgen über den mehrdimensionalen Raum und von Fragenbeantwortungen zu mathematischen Themen

Sechs zusammenhängende Vorträge, gehalten in Berlin vom 24. März bis 7. Juni 1905. Zwei Einzelvorträge in Berlin

vom 7. November 1905 und 22. Oktober 1908. Fragenbeantwortungen von 1904 bis 1922

1995

RUDOLF STEINER VERLAG DORNACH / SCHWEIZ

Nach vom Vortragenden nicht durchgesehenen Nachschriften und Hörernotizen, herausgegeben von der Rudolf Steiner-Nachlaßverwaltung

Die Herausgabe besorgte Renatus Ziegler unter Mitarbeit von Ulla Trapp

1. Auflage Gesamtausgabe Dornach 1995

Nachweis früherer V eröffentlichungen siehe zu Beginn der Hinweise S. 228f.

Bibliographie-Nr. 324a

Figuren im Text von Renatus Ziegler nach Skizzen in den Nachschriften

Alle Rechte bei der Rudolf Steiner-Nachlaßverwaltung, Dornach/Schweiz © 1995 by Rudolf Steiner-Nachlaßverwaltung, Dornach/Schweiz Satz: Rudolf Steiner Verlag / Bindung: Spinner GmbH, Ottersweier Printed in Germany by Konkordia Druck, Bühl/Baden

ISBN 3-7274-3245-4

Die Gesamtausgabe der Werke Rudolf Steiners (1861-1925) glie- dert sich in die drei großen Abteilungen: Schriften - Vorträge - Künstlerisches Werk (siehe die Übersicht am Schluß des Bandes).

Von den in den Jahren 1900 bis 1924 sowohl öffentlich wie für die Mitglieder der Theosophischen, später Anthroposophischen Gesellschaft zahlreichen frei gehaltenen Vorträgen und Kursen hatte Rudolf Steiner ursprünglich nicht gewollt, daß sie schriftlich festgehalten würden, da sie von ihm als «mündliche, nicht zum Druck bestimmte Mitteilungen» gedacht waren. Nachdem aber zunehmend unvollständige und fehlerhafte Hörernachschriften angefertigt und verbreitet wurden, sah er sich veranlaßt, das Nachschreiben zu regeln. Mit dieser Aufgabe betraute er Marie Steiner-von Sivers. Ihr oblag die Bestimmung der Stenographie- renden, die Verwaltung der Nachschriften und die für die Heraus- gabe notwendige Durchsicht der Texte. Da Rudolf Steiner aus Zeitmangel nur in ganz wenigen Fällen die Nachschriften selbst korrigieren konnte, muß gegenüber allen Vortragsveröffentli- chungen sein Vorbehalt berücksichtigt werden: «Es wird eben nur hingenommen werden müssen, daß in den von mir nicht nachge- sehenen Vorlagen sich Fehlerhaftes findet.»

Über das Verhältnis der Mitgliedervorträge, welche zunächst nur als interne Manuskriptdrucke zugänglich waren, zu seinen öffentlichen Schriften äußert sich Rudolf Steiner in seiner Selbstbiographie «Mein Lebensgang» (35. Kapitel). Der entsprechende Wortlaut ist am Schluß dieses Bandes wiedergegeben. Das dort Gesagte gilt gleichermaßen auch für die Kurse zu einzelnen Fachgebieten, welche sich an einen begrenzten, mit den Grundlagen der Geisteswissenschaft vertrauten Teilnehmerkreis richteten.

Nach dem Tode von Marie Steiner (1867-1948) wurde gemäß ihren Richtlinien mit der Herausgabe einer Rudolf Steiner Ge- samtausgabe begonnen. Der vorliegende Band bildet einen Be- standteil dieser Gesamtausgabe. Soweit erforderlich, finden sich nähere Angaben zu den Textunterlagen am Beginn der Hinweise.

INHALT

I

VORTRAGE ÜBER DIE VIERTE DIMENSION

ERSTER VORTRAG

Berlin, 24. März 1905

Wenn Sie enttäuscht sein sollten über das, was Sie jetzt hören werden, will ich vorausschicken, daß ich heute ganz elementare Dinge [über die vierte Dimension] besprechen will. Wer tiefer eindringen will in diese Frage, müßte mit den höheren Begriffen der Mathematik genau bekannt sein. Ich möchte Ihnen einige ganz elementare und allgemeine Begriffe geben. Man muß unterscheiden zwischen der Möglichkeit zu denken in einem vierdimensionalen Raum und der Wirklichkeit. Wer imstande ist, dort Beobachtungen zu machen, hat es mit einer Wirklichkeit zu tun, die weit hinausreicht über das, was wir als das Sinnlich-Wirkliche kennen. Man muß Gedankenumformungen machen, wenn man sich hierher begibt. Sie müssen die Dinge ein wenig in die Mathematik hineinspielen lassen, sich hineinfinden in die Denkweise des Mathematikers.

Man muß sich klarwerden, daß der Mathematiker keinen Schritt tut, ohne sich Rechenschaft zu geben von dem, was in seinen Schlußfolgerungen eintrifft. Wir müssen aber auch gewahr werden, wenn wir uns mit Mathematik beschäftigen, daß selbst der Mathematiker keinen Schritt [in die Wirklichkeit] vordringen kann, daß er keine Schlußfolgerungen machen kann, [die über das bloß Denkmögliche hinausreichen]. Zunächst handelt es sich um einfache Dinge, die aber schon komplizierter werden, wenn man zum Begriff der vierten Dimension kommen will. Wir müssen uns klar darüber werden, was wir unter Dimensionen verstehen. Am besten macht man es sich klar, wenn man die verschiedenen Raumgebilde auf ihre Dimensionalität hin prüft. Sie führen zu Betrachtungen, welche erst im 19. Jahrhundert von großen Mathematikern wie Bolyai, Gauß und Riemann in Angriff genommen worden sind.¹

Anmerkg. KF: Mathematiker der hyperbolischen nichteuklidischen Geometrie (Mathematik der Perspektive)

Die einfachste Raumgröße ist der Punkt. Er hat gar keine Ausdehnung; er muß gedacht werden. Er ist die Fixierung einer Ausdehnung im Räume. Er hat keine Dimension. Die erste Dimension ist die Linie. Die gerade Linie hat eine Dimension, die Länge. Wenn wir die Linie, die keine Dicke hat, selbst bewegen, treten wir aus der einen Dimension heraus, und die Linie wird zur Fläche. Diese hat zwei Dimensionen, eine Länge und eine Breite. Wenn wir die Fläche bewegen, so treten wir aus diesen zwei Dimensionen heraus, und wir erhalten den Körper. Er hat drei Dimensionen: Höhe, Breite, Tiefe (Figur 1).

Figur 1

Dimensionsebenen

Die ersten vier räumlichen Dimensionen, dargestellt in einem zweidimensionalen Bild.

0. Punkt

1. Dimension Zwei Punkte können verbunden werden, um ein Liniensegment zu erstellen.

2. Dimension Zwei parallele Strecken können zu einem Quadrat verbunden werden.

3. Dimension Zwei parallele Quadrate können zu einem Würfel verbunden werden.

4. Dimension Zwei parallele Würfel können zu einem Tesserakt verbunden werden.

Wenn Sie den Körper selbst bewegen, wenn man [zum Beispiel] einen Würfel im Räume herumführt, werden Sie wiederum nur einen Raumkörper bekommen. Sie können den [dreidimensionalen] Raum nicht aus sich heraus bewegen.

Wir müssen uns noch ein paar anderen Begriffen zuwenden. Wenn Sie eine gerade Linie betrachten, hat sie zwei Grenzen, zwei Endpunkte A und B (Figur 2).

Figur 2

Stellen wir uns vor, daß A und B sich berühren sollen. Wenn sie sich berühren sollen, müssen wir aber die Gerade krümmen. Was geschieht? Sie können unmöglich in der [eindimensionalen] Geraden drinnenbleiben, wenn Sie A und B zusammenfallen lassen wollen. Um die Punkte A und B zu verbinden, müssen wir aus der Geraden selbst heraustreten, müssen wir also aus der ersten Dimension heraus und übergehen in die zweite Dimension, die Fläche. Auf diese Weise entsteht aus der Geraden [eine geschlossene Kurve, das heißt im einfachsten Falle] ein Kreis, indem ihre Endpunkte zur Deckung gebracht werden (Figur 3).

Figur 3

Es ist also notwendig, aus der ersten Dimension herauszugehen, man kann nicht in ihr drinnenbleiben. Nur so entsteht der Kreis. Sie können dieselbe Operation mit einer [rechteckig begrenzten] Fläche machen. Dies geht aber nur, wenn Sie nicht in den zwei Dimensionen drinnenbleiben. Sie müssen in die dritte Dimension hineingehen und bekommen dann aus der Fläche eine Röhre, einen Zylinder. Diese Operation geschieht auf ganz entsprechende Weise wie vorher, wo wir zwei Punkte zur Deckung brachten und dabei aus der ersten Dimension herausgegangen sind. Wir müssen hier [bei der Fläche], um zwei Grenzen der Fläche zur Deckung zu bringen, in die dritte Dimension hinübergehen (Figur 4).

Figur 4

Ist es denkbar, daß mit einem Raumgebilde, das schon selbst drei Dimensionen hat, eine ähnliche Operation ausgeführt werden könnte? Wenn Sie zwei kongruente Würfel haben, können Sie den einen in den anderen schieben. [Denken Sie sich nun zwei kongruente Würfel als Begrenzungen eines dreidimensionalen prismatischen Körpers.] Wenn Sie versuchen, den einen Würfel, der auf einer Seite rot [und auf der gegenüberliegenden Seite blau] gefärbt ist, zur Deckung zu bringen mit dem anderen Würfel, der sonst [geometrisch] ganz gleich ist, aber bei dem die rote und blaue Farbe vertauscht sind, dann können Sie die Deckung nicht anders herbeiführen, als indem Sie den Würfel drehen (Figur 5).

Figur 5

Betrachten wir ein anderes Raumgebilde. Nehmen Sie den Handschuh der linken Hand, so ist es Ihnen unmöglich, den Handschuh der linken Hand über die rechte Hand zu ziehen. Wenn Sie aber die beiden [spiegelsymmetrischen] Handschuhe zusammengehend betrachten wie die gerade Linie mit den Endpunkten A und B, so haben Sie etwas Zusammengehöriges. Es handelt sich dann um ein einziges Gebilde, mit einer Grenze [das heißt mit einer Spiegelebene] in der Mitte. Ganz ähnlich ist es auch mit den zwei symmetrischen Hälften der menschlichen Außenhaut.²

Wie können wir nun zwei [spiegel]symmetrische dreidimensionale Gebilde zur Deckung bringen? Nur wenn wir über die dritte Dimension hinausgehen, wie früher über die erste und zweite. Wir können den rechten oder linken Handschuh auch über die linke beziehungsweise rechte Hand stülpen, wenn wir durch den vierdimensionalen Raum gehen.³

[Beim Aufbau der dritten Dimension (Tiefendimension) des Anschauungsraumes] bringen wir das Bild des rechten Auges zur Deckung mit dem des linken, stülpen es darüber.⁴

⁴⁾ Das Vorhandensein zweier Augen ermöglicht die Tieienwahmebmung; siehe dazu die hier gedruckte Fragenbeantwortung Rudolf Steiners vom 11. März 1920 (Fragen von A. Strakosch). Zur Bedeutung der Eigenaktivität für die Wahrnehmung der Tiefendimension siehe die Fragenbeantwortung vom 7. April 1921 (GA 76); siehe auch Hinweis 17.

Wir betrachten nun ein Beispiel von Zöllner.⁵ Wir haben hier einen Kreis und außerhalb desselben einen Punkt P. Wie können wir den Punkt P [in den Kreis] hineinbringen, ohne den Kreis zu durchkreuzen? Dies geht nicht, wenn wir innerhalb der Ebene bleiben. So wie man aus der zweiten Dimension in die dritte hinübergehen muß beim Übergang vom Quadrat zum Würfel, so müssen wir auch hier aus der zweiten Dimension hinausgehen. Bei einer Kugel gibt es ebenfalls keine Möglichkeit [in das Innere] hineinzugehen, ohne [die Kugeloberfläche zu durchstoßen oder] über die dritte Dimension hinauszugehen.⁶

Figur 6

Das sind Denkmöglichkeiten, die aber eine praktische Bedeutung haben für die Erkenntnislehre, [insbesondere für das Problem der Objektivität des Wahrnehmungsinhaltes]. Wenn wir uns klarmachen, wie man eigentlich wahrnimmt, werden wir zu folgender Anschauung kommen. Fragen wir uns zunächst: Wie erlangen wir durch die Sinne Kenntnisse von den Körpern? Wir sehen eine Farbe. Ohne Augen würden wir sie nicht wahrnehmen. Der Physiker sagt dann: Da draußen im Raum ist nicht das, was man Farbe nennt, sondern rein räumliche Bewegungsformen; die dringen durch unser Auge, werden vom Sehnerv aufgefangen, zum Gehirn fortgesetzt, und dort entsteht zum Beispiel das Rot. Man kann sich nun fragen: Ist das Rot auch vorhanden, wenn keine Empfindung da ist?

Das Rot könnte ohne Auge nicht wahrgenommen werden. Glockenläuten könnte ohne Ohr nicht wahrgenommen werden. Alle unsere Empfindungen hängen davon ab, daß Bewegungsfor- men umgewandelt werden durch unseren physisch-seelischen Apparat. Die Sache wird aber noch komplizierter, wenn wir uns fragen: Wo ist denn nun eigentlich das Rot, diese eigentümliche Qualität? Ist es am Körper? Ist es ein Schwingungsvorgang? Draußen ist ein Bewegungsvorgang, und der setzt sich fort bis ins Auge hinein, bis ins Gehirn selbst. Überall sind Schwingungs- [und Nervenjvorgänge, nirgends ist Rot. Auch wenn Sie das Auge untersuchen, Sie würden nirgends Rot finden. Draußen ist es nicht, aber auch nicht im Gehirn. Nur dann haben wir Rot, wenn wir uns selbst als Subjekt diesen Bewegungsvorgängen entgegenstellen. Haben wir also überhaupt keine Möglichkeit, davon zu reden, wie das Rot dem Auge, wie Cis dem Ohr entgegenkommt?

Die Frage ist, was ist diese innere [Vorstellung], wo entsteht sie? In der philosophischen Literatur des 19. Jahrhunderts werden Sie finden, daß diese Frage alles durchzieht. Vor allem Schopenhauer7 hat die folgende Definition aufgestellt: Die Welt ist unsere Vorstellung. - Was bleibt dann aber noch für den äußeren Körper? [So wie eine Farbvorstellung durch Bewegungen «erzeugt» werden kann, so kann auch] Bewegung in unserem Innern entstehen durch etwas, was im Grunde nicht bewegt ist. Betrachten wir dazu zwölf Momentaufnahmen einer [sich bewegenden] Pferdefigur auf [der Innenseite] einer [Zylinder-]Fläche, [die mit zwölf feinen Schlitzen in den Zwischenräumen versehen ist. Wenn wir seitlich auf den sich drehenden Zylinder blicken,] dann werden wir den Eindruck haben, daß es immer dasselbe Pferd bleibt, und daß es nur die Füße bewegt.⁸ Also kann auch [der Eindruck von] Bewegung durch unsere [Leibes-Organisation] entstehen, wenn etwas sich [in Wirklichkeit] überhaupt nicht bewegt. So kommen wir zu einer vollständigen Auflösung von dem, was wir Bewegung nennen.

Was ist dann aber Materie? Ziehen Sie von der Materie ab Farbenglanz, Bewegung [Gestalt und so weiter, also das durch die sinnliche Wahrnehmung Vermittelte], dann bleibt nichts übrig. Wenn wir schon die [durch Außenweltvorgänge im individuellen Bewußtsein hervorgerufenen sekundären, das heißt «subjektiven»] Empfindungen [Farbe, Ton, Wärme, Geschmack, Geruch] in un- serem Innern zu suchen haben, so müssen wir auch [die primären, das heißt «objektiven» Empfindungen, Gestalt und Bewegung,] in unser Inneres versetzen, und damit verschwindet die Außenwelt vollständig. Daraus ergeben sich aber große Schwierigkeiten [für die Erkenntnislehre].⁹

Nehmen wir an, alles wäre draußen, wie kommen dann die Eigenschaften des Gegenstandes draußen in uns hinein? Wo ist nun der Punkt [wo das Äußere in das Innere übergeht]? Wenn wir alle [sinnlichen Wahrnehmungsinhalte] abziehen, so gibt es kein Draußen mehr. Auf diese Weise versetzt sich die Erkenntnistheorie in die Lage von Münchhausen, der sich am eigenen Haarschopf frei in die Höhe ziehen will.¹⁰ Nur dann aber, wenn wir annehmen, daß es ein Draußen gibt, nur dann können wir zu [einer Erklärung der] Empfindungen drinnen kommen. Wie kann etwas von außen in unser Inneres hereinkommen und als unsere Vorstellung auftreten?

Wir müssen die Frage noch anders aufwerfen. Wir betrachten zuerst einige Analogien. Sie werden keine Möglichkeit haben, eine Beziehung [zwischen Außenwelt und Innenempfindung] zu finden, wenn Sie nicht zu folgendem greifen. Wir kehren zurück zur Betrachtung der geraden Linie mit den Endpunkten A und B. Wir müssen über die erste Dimension hinausgehen, die Linie krümmen, um die Endpunkte zur Deckung zu bringen (Figur 7).

Figur 7

Denken Sie sich nun den linken Endpunkt A [dieser geraden Linie] mit dem rechten Endpunkt B so zusammengebracht, daß sie sich unten berühren, so daß wir imstande sind, [über die zusammenfallenden Endpunkte hinweg] zum Ausgangspunkt zurückzukehren. Wenn die Linie klein ist, ist auch der entsprechende Kreis klein. Wenn ich die [zunächst gegebene] Linie zum Kreise mache und dann immer größere Linien zu Kreisen mache, dann rückt der Punkt, in welchem sich die Endpunkte treffen, immer weiter von der [ursprünglichen] Linie ab und geht in unendliche Entfernung. Erst in der unendlichen Entfernung haben [die größer werdenden] Kreislinien ihren Endpunkt. Die Krümmung wird dabei eine im- mer schwächere, und schließlich werden wir unmöglich mit dem gewöhnlichen Auge die Kreislinie von der Geraden unterscheiden können (Figur 8).

Figur 8

Ganz entsprechend erscheint uns auch die Erde als ein gerades [flaches] Stück, wenn wir auf ihr gehen, obgleich sie rund ist. Wenn wir uns denken, daß die beiden Hälften der geraden Linie bis in die Unendlichkeit ausgedehnt werden, fällt der Kreis wirklich mit der Geraden zusammen.¹¹ Dabei kann die gerade Linie als Kreis aufgefaßt werden, dessen Durchmesser unendlich ist. Jetzt können wir uns allerdings vorstellen, daß, wenn wir [die gerade Linie durchlaufen und dabei] in der Linie drinbleiben, wir von der anderen Seite aus der Unendlichkeit [wieder] zurückkommen. Dabei müssen wir aber durch die Unendlichkeit hindurchgehen.

Figur 9

Denken Sie sich nun statt einer [geometrischen] Linie etwas, was eine Wirklichkeit ist, was sich verbindet mit einer Wirklichkeit. Stellen wir uns vor, daß mit dem Fortschreiten des Punktes C [auf der Kreisperipherie] eine Abkühlung eintritt, daß der Punkt immer kälter und kälter wird, je mehr er sich [von seinem Ausgangsort] entfernt (Figur 9). Lassen wir den Punkt zunächst innerhalb der Kreislinie, und, indem er immer kälter wird, die untere Grenze A, B erreichen. Wenn er auf der anderen Seite zurückkehrt, nimmt die Temperatur wieder zu. Es tritt also auf dem Rückweg der zu dem Hinweg entgegengesetzte Zustand ein. Die Erwärmung nimmt zu, bis die Temperatur bei C wieder erreicht ist, von welcher wir aus- gegangen sind. Wie ausgedehnt auch der Kreis sei, es ist immer derselbe Vorgang: ein Abfließen der Wärme und ein Heranfließen derselben. Denken wir uns das auch bei der [unendlich ausgedehnten geraden] Linie: Indem sich die Temperatur [auf der einen Seite immer mehr] verliert, kann sie auf der anderen Seite steigen. Wir haben hier einen Zustand, der sich auf einer Seite verliert, während er sich auf der anderen Seite wieder aufbaut.

So bringen wir Leben und Bewegung hinein in die Welt und nähern uns dem, was wir in einem höheren Sinne «Begreifen der Welt» nennen können. Wir haben hier zwei Zustände, die sich bedingen, die voneinander abhängig sind. Für alles aber, was Sie [sinnlich] beobachten können, hat der Vorgang, der, sagen wir, nach rechts verläuft, nichts zu tun mit dem, der von links zurückkommt, und doch bedingen sie sich gegenseitig.¹²

Wir vergleichen nun den Körper der Außenwelt mit dem Abkühlungszustand und im Gegensatz dazu unsere Innenempfindung mit dem Erwärmungszustand. [Obwohl Außenwelt und Innenempfindung nichts unmittelbar sinnlich Wahrnehmbares gemeinsam haben,] stehen sie in einem Verhältnis zueinander, bedingen sich gegenseitig [in analoger Weise, wie sich die oben geschilderten Prozesse bedingen]. Daraus ergibt sich ein Zusammenhang der Außenwelt [mit unserer Innenwelt], den wir unterstützen können durch ein Bild: [durch das Verhältnis von] Pet- schaft und Siegellack. Das Petschaft läßt einen genauen Abdruck, eine genaue Wiedergabe des Siegels im Siegellack zurück, ohne daß das Petschaft im Siegellack zurückbleibt [und ohne daß etwas Materielles vom Petschaft in den Siegellack übergeht]. Im Siegellack bleibt also eine getreue Wiedergabe des Siegels zurück. Ganz entsprechend ist es auch beim Zusammenhang von Außenwelt und Innenempfindungen. Nur das Wesentliche [überträgt sich]. Die eine Zustand[sform] bedingt die andere, wobei aber nichts [Materielles] übergeht.¹³

Wenn wir uns vorstellen, daß es sich so verhält mit [dem Zusammenhang zwischen der] Außenwelt und unseren Eindrücken, kommen wir zu folgendem. [Geometrische] Spiegelbilder im Räume verhalten sich so wie Handschuhe von der linken und der rechten Hand. [Um diese unmittelbar und kontinuierlich miteinander in Beziehung zu setzen,] müssen wir eine neue Dimension des Raumes zu Hilfe nehmen. [Nun verhalten sich Außenwelt und Inneneindruck analog wie geometrische Spiegelbilder, können folglich ebenso nur durch eine weitere Dimension unmittelbar miteinander in Verbindung gebracht werden.] Um nun eine Beziehung herzustellen zwischen Außenwelt und Inneneindrücken, müssen wir also durch eine vierte Dimension gehen, müssen wir in einem dritten Element sein. Nur dort können wir das Gemeinschaftliche [von Außenwelt und Inneneindrücken] suchen, wo wir [mit ihnen] eins sind. [Man kann sich diese Spiegelbilder wie] schwimmend in einem Meere [vorstellen], innerhalb welchem wir die Spiegelbilder zur Deckung bringen können. Und so kommen wir [zunächst rein gedanklich] zu etwas, was über den dreidimensionalen Raum hinweggeht und doch eine Wirklichkeit hat. Wir müssen also unsere Raumvorstellungen ins Leben bringen, sie beleben.

Oskar Simony¹⁴ hat versucht, diese belebten Raumgebilde mit Modellen darzustellen. [Wie wir gesehen haben, kommt man] von der Betrachtung des Nulldimensionalen [schrittweise] zur Möglichkeit, sich den vierdimensionalen Raum vorzustellen. [Anhand der Betrachtung spiegelsymmetrischer Körper, das heißt mit Hilfe der] Symmetrieverhältnisse, können wir diesen Raum zuerst [am leichtesten] erkennen. [Ein anderes Mittel, die Besonderheiten des empirischen dreidimensionalen Raumes im Verhältnis zum vierdimensionalen Raum zu studieren, bieten die Verknotungen von Kurven und Bändern.] Was versteht man unter Symmetrieverhältnissen? Dadurch, daß wir Raumgebilde miteinander verschlingen, rufen wir bestimmte Komplikationen herbei. [Diese Komplikationen sind Besonderheiten des dreidimensionalen Raumes; sie kommen in vierdimensionalen Räumen nicht vor.¹⁵]

Lassen Sie uns ein paar praktische Denkübungen machen. Wenn wir einen Bandring in der Mitte durchschneiden, erhalten wir zwei solche Ringe. Zerschneiden wir nun entsprechend ein Band, dessen Enden um 180° verdreht und dann verklebt worden sind, so erhalten wir einen einzigen verdrehten Ring, der nicht zerfällt. Verdrehen wir die Band-Enden um 360° vor dem Zusammenkleben, so ergeben sich beim Zerschneiden zwei ineinander verschlungene Ringe. Verdrehen wir schließlich die Band-Enden um 720°, so ergibt sich durch denselben Prozeß ein Knoten.¹⁶

Wer nachdenkt über Naturvorgänge, weiß, daß solche Windun- gen in der Natur vorkommen; [in der Wirklichkeit sind] solche verschlungenen Raumgebilde mit Kräften versehen. Nehmen Sie etwa die Bewegung der Erde um die Sonne, und dann die Bewegung des Mondes um die Erde. Man sagt, der Mond beschreibe um die Erde einen Kreis, doch [wenn man genauer hinsieht] ist es eine Linie, die wieder [um einen Kreis, den Bahnkreis der Erde,] herumgeschlungen ist, also eine Schraubenlinie um eine Kreislinie. Und dann haben wir die Sonne, die so schnell durch den Welten- raum eilt, daß der Mond noch um sie eine [zusätzliche] Schraubenbewegung macht. Es sind also sehr komplizierte Kräftelinien, die sich im Räume erstrecken. Wir müssen uns vergegenwärtigen, daß wir es mit komplizierten Raumbegriffen zu tun haben, die wir nur dann begreifen, wenn wir sie nicht starr werden lassen, wenn wir sie flüssig haben.

Vergegenwärtigen wir uns das Gesagte noch einmal: Das Nulldimensionale ist der Punkt, das Eindimensionale ist die Linie, das Zweidimensionale die Fläche und das Dreidimensionale der Körper, Wie verhalten sich diese Raumbegriffe zueinander?

Denken Sie sich, Sie wären ein Wesen, welches überhaupt nur längs einer geraden Linie sich bewegen kann. Wie müßten die Raumvorstellungen von solchen Wesen geartet sein, die selber nur eindimensional sind? Sie würden die Eindimensionalität bei sich nicht wahrnehmen, sondern nur Punkte sich vorstellen. Denn es gibt in der geraden Linie, wenn wir in ihr etwas zeichnen wollen, nur Punkte. Ein zweidimensionales Wesen könnte Linien antreffen, also eindimensionale Wesen unterscheiden. Ein dreidimensionales Wesen, etwa der Würfel, würde die zweidimensionalen Wesen wahrnehmen. Der Mensch nun kann drei Dimensionen wahrnehmen. Wenn wir richtig folgern, müssen wir uns sagen: Wie ein eindimensionales Wesen nur Punkte wahrnehmen kann, wie ein zwei- dimensionales Wesen nur eine Dimension, und ein dreidimensionales Wesen nur zwei Dimensionen wahrnehmen kann, so kann ein Wesen, das drei Dimensionen wahrnimmt, nur ein vierdimensionales Wesen sein. Dadurch, daß ein Mensch äußere Wesen nach drei Dimensionen abgrenzen kann, mit Räumen aus drei Dimensionen [umgehen kann], muß er vierdimensional sein.¹⁷ Und ebenso wie ein Würfel nur zwei Dimensionen wahrnehmen kann und nicht seine dritte, so ist es wahr, daß der Mensch die vierte Dimension, in der er lebt, nicht wahrnehmen kann.

HINWEISE ZU DEN VORTRAGEN

Berlin, 24. März 1905

1) Jdnos (Johann) Bölyai (1802-1860), ungarischer Mathematiker. Beschäftigte sich mit dem Parallelenproblem und gehört zusammen mit Carl Friedrieb Gauß und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1792-1856) zu den Entdeckern der hyperbolischen nichteuklidischen Geometrie. Seine diesbezügliche Arbeit, seine einzige Publikation, erschien 1832 als Anhang («Appendix») eines Lehrbuches der Mathematik aus der Feder seines Vaters, Farkas (Wolfgang) Bolyai (1775-1856). Zu den beiden Bolyais siehe Stäckel [1913],

Carl Friedrich Gauß (1777-1855), Mathematiker und Physiker in Göttingen. Beschäftigte sich schon früh mit dem Parallelenproblem und kam für sich zum Schluß, daß es eine nichteuklidische Geometrie geben müsse. Darüber hat er aber zeitlebens nichts publiziert. Siehe dazu Reichardt [1976].

Bernhard Riemann (1826-1866), Mathematiker in Göttingen. Entdeckte als erster die elliptische nichteuklidische Geometrie. Sein Habilitationsvortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen [1867], der unter anderem die Grundlagen für eine Erweiterung der Differentialgeometrie für verallgemeinerte Maßbestimmungen sowie für die Theorie «-dimensionaler Räume (Mannigfaltigkeiten) enthält, impulsierte die damals beginnende Erforschung höherdimensionaler Räume in entscheidender Weise. Riemann unterschied als erster zwischen der Unbegrenztheit und der Unendlichkeit des Raumes. Jene ist Ausdruck der Ausdehnungsverhältnisse, das heißt der allgemeinen geometrischen Struktur (Topologie) des Raumes, diese eine Folge der Maßverhältnisse (Metrik). Diese Unterscheidung führte zur klaren Differenzierung zwischen Differentialgeometrie und Topologie. Siehe dazu Scholz [1980].

2) Darauf macht schon Immanuel Kant, Prolegomena [1783], § 13, aufmerksam: «Was kann wohl meiner Hand oder meinem Ohre ähnlicher, und in allen Stükken gleicher sein, als ihr Bild im Spiegel? Und dennoch kann ich eine solche Hand, als im Spiegel gesehen wird, nicht an die Stelle ihres Urbildes setzen; denn wenn dieses eine rechte Hand war, so ist jene im Spiegel eine linke, und das Bild des rechten Ohres ist ein linkes, das nimmermehr die Stelle des ersteren vertreten kann. Nun sind hier keine innre Unterschiede, die irgend ein Verstand nur denken könnte; und dennoch sind die Unterschiede innerlich, so weit die Sinne lehren, denn die linke Hand kann mit der rechten, ohneerachtet aller beiderseitigen Gleichheit und Ähnlichkeit, doch nicht zwischen denselben Grenzen eingeschlossen sein (sie können nicht kongruieren), der Handschuh der einen Hand kann nicht auf der anderen gebraucht werden.» (Siehe auch Kant, Lebendige Kräfte [1746], §§ 9-11, und Gegenden im Raum [1768]). Kant nahm diese Tatsache als Beweis dafür, daß der Mensch nur sinnliche Anschauungen, das heißt Erscheinungen der Dinge, auffassen könne und nicht die Dinge, wie sie an sich selbst sind. - Für eine Analyse der Kantschen Raumanschauung hinsichtlich des Dimensionsproblems siehe Zöllner, Wirkungen in die Ferne [1878a], S. 220-227.

3) Achsengespiegelte Figuren in einer Ebene können durch räumliche Drehungen um die Spiegelachse kontinuierlich ineinander übergeführt werden. Ist F eine Figur in der Ebene und F' die an der Achse a gespiegelte Figur, so geht F durch eine räumliche Drehung um a in F' über. In Figur 68 finden sich einige Stadien dieser Drehung in Normalprojektion auf die Ebene. Als ebene Figur interpretiert, handelt es sich bei dieser Transformation um eine orthogonale Affinität mit Achse a. (Im Sinne der projektiven Geometrie ist dies eine Perspektivität mit Achse a und Zentrum A auf der Ferngeraden der Ebene.)

Figur 68

In der Projektion auf die Ebene geht die durch den Raum gedrehte Figur durch die Achse a hindurch; sie verliert dabei in diesem Übergangsstadium scheinbar eine Dimension, da in diesem Moment die Figur parallel zur Projektionsrichtung wird. Man beachte, daß die Ränder von F und F' nur dann durch Drehoperatio- nen innerhalb der Ebene (das heißt Drehungen um Punkte in der Ebene) inein- ander übergeführt werden können, wenn sie in Strecken zerlegt werden, die um die entsprechenden Punkte auf der Achse a gedreht werden.

Ganz analog können zwei dreidimensionale geometrische Körper, F und F\ die bezüglich einer Ebene a spiegelsymmetrisch sind, durch eine (dreidimensio- nale) räumliche orthogonale Affinität mit Affinitätsebene a kontinuierlich inein- ander übergeführt werden (Figur 69). Diese Transformation kann als orthogona- le Projektion einer vierdimensionalen euklidischen Drehung um die Ebene a in den dreidimensionalen Raum interpretiert werden. In dieser Projektion geht das dreidimensionale Objekt F durch die zweidimensionale Ebene a hindurch und verliert in diesem Übergangsstadium scheinbar eine Dimension.

Zerlegt man die Oberfläche von F in die jeweiligen Flächenstücke, so können diese Teile durch entsprechende Achsen in a so gedreht werden, daß daraus die Oberfläche der Figur F' entsteht.

Figur 69

August Ferdinand Möbius (1790-1868) scheint der erste Mathematiker gewesen zu sein, der aufgrund dieser Analogie zwischen ebenen und räumlichen Spiegelungen an die Möglichkeit eines vierdimensionalen Raumes dachte, in welchem sich dreidimensionale spiegelsymmetrische Körper durch eine kontinuierliche Transformation zur Deckung bringen lassen (siehe Möbius, Barycentrischer Calcul [1827], § 140, Anmerkung). Er verwarf aber diese Idee als «undenkbar» und verfolgte sie nicht weiter.

5) (Johann Karl) Friedrich Zöllner (1834-1882), Astrophysiker in Leipzig. Gilt als einer der Gründungsväter der Astrophysik; grundlegende experimentelle und theoretische Beiträge zur Photometrie und Spektroskopie. Seine Theorie der Struktur von Kometen wurde richtunsgweisend für alle späteren Untersuchungen. Sein Buch Über die Natur der Cometen; Beiträge zur Geschichte und Theorie der Erkenntnis [1886] enthält, wie übrigens fast alle seine Abhandlungen, weitreichende Ausführungen philosophischer und historischer Natur sowie kritische und polemische Auseinandersetzungen mit dem zeitgenössischen Wissenschaftsbetrieb.

Im Zusammenhang mit seinen Untersuchungen über die Principien einer electrodynamischen Theorie der Materie [1876], Über Wirkungen in die Ferne [1878a] und Über die Natur der Cometen [1886] beschäftigt sich Zöllner mit den neueren Untersuchungen zur nichteuklidischen und mehrdimensionalen Geometrie. Er vermutet schon Anfang der 70er Jahre, daß für das Verständnis gewisser physikalischer Erscheinungen ein gekrümmter Raum oder eine vierte Dimension zu Hilfe genommen werden müsse. Um 1875 beginnt sich Zöllner außerdem mit dem Spiritismus auseinanderzusetzen, angeregt durch die Forschungen des Chemikers und Physikers William Crookes (1832-1919). Zöllner entwickelt die Ansicht, daß die Existenz spiritistischer Phänomene durch die Annahme eines vierdimensionalen Raumes erklärt werden könne, ja daß erstere die Tatsächlich- keit (und nicht bloße Denkbarkeit) des letzteren beweisen (Zöllner [1878a], S. 273ff.). Wenig später beginnt Zöllner mit eigenen Untersuchungen spiritistischer Phänomene (siehe dazu [1878b], S. 725ff., [1878c], S. 330ff., und insbesondere [1878d]).

Für eine Übersicht zu Zöllners spiritistischen Experimenten siehe Luttenber- ger [1977]; für eine zeitgenössische Analyse von Zöllner siehe etwa Simony, Spiritistische Manifestationen [1884], und zum Spiritismus im allgemeinen Hart- mann, Geisterhypothese [1891] und Spiritismus [1898]; zur Geschichte des Spiri- tismus aus Steiners Gesichtspunkten siehe die Vorträge vom 1. Februar und 30. Mai 1904 (GA 52) sowie die Vorträge vom 10. bis 25. Oktober 1915 in GA 254. Zöllner dachte sich die Kantschen «Dinge an sich» als reale vierdimensionale Objekte, die sich in unseren Anschauungsraum hinein als dreidimensionale Körper projizieren. Einen Beleg für diese Ansicht fand er in der Existenz drei- dimensionaler spiegelsymmetrischer Körper, die zwar mathematisch kongruent sind, aber nicht kontinuierlich ineinander übergeführt werden können (siehe dazu Hinweis 3): «In der That, es muß der Raum, in welchem die uns sichtbare Welt widerspruchsfrei erklärbar sein soll, mindestens vier Dimensionen besitzen, indem ohne diese Eigenschaft die thatsächliche Existenz symmetrischer Körper niemals auf ein Gesetz zurückführbar ist [...].» (Zöllner [1878a], S. 248) Als ein Vorläufer seiner Anschauungen konnte Zöllner Kant in Anspruch nehmen (siehe dazu Hinweis 2).

Zöllner schildert in dem letztgenannten Aufsatz einige Besonderheiten des Übergangs von der dritten in die vierte Dimension, die er sowohl seinen theoretischen Überlegungen wie seinen spiritistischen Experimenten zugrunde legt. Er beginnt mit einer Diskussion von Knoten im dreidimensionalen Raum und macht darauf aufmerksam, daß diese nur aufgelöst werden können, wenn «.vor- übergehend die Theile des Fadens aus dem dreidimensionalen Räume für Wesen von gleicher Dimensionalität verschwinden müssen [siehe dazu Hinweis 15]. Das Gleiche würde der Fall sein, wenn ein Körper aus einem allseitig umschlossenen Räume von drei Dimensionen vermittelst einer in der vierten Dimension ausgeführten Bewegung daraus entfernt und nach außerhalb dieses materiell umschlossenen Raumes transportirt würde. Das Gesetz der sogenannten Undurchdringlichkeit der Materie im dreidimensionalen Raum würde demgemäß scheinbar aufgehoben werden können, und zwar in vollkommen analoger Weise, wie wir einen in der Ebene verschiebbaren und von einer geschlossenen ebenen Curve eingeschlossenen Körper durch Emporheben über die Grenze jener Curve transportiren können, ohne dieselbe zu berühren.» (Zöllner [1878a], S. 276) Siehe dazu Hinweis 6.

6) Auf jeden Punkt einer zweidimensionalen Fläche kann ein Lot gefällt werden. Bewegt sich ein Punkt P ausgehend von der Fläche auf diesem Lot, so entfernt er sich von allen Punkten der Fläche, ohne daß sich an seiner senkrechten Pro- jektion M auf die Fläche etwas ändert. Ist dieser Punkt der Mittelpunkt M eines Kreises, so hat der aus der Fläche hinauswandernde Punkt P zu allen Punkten der Kreisperipherie immer denselben, stetig größer werdenen Abstand. Läßt man den Punkt P auf dem Lot soweit wandern, bis sein Abstand vom Mittelpunkt M des Kreises größer wird als der Radius des Kreises, und dreht dann das Lot in die Kreisebene hinein, so ist auf diese Weise der Punkt P kontinuierlich aus dem Kreis hinausgewandert, ohne daß er die Kreisperipherie durchschnitten hätte.

Ganz entsprechend kann ein Punkt P, der sich innerhalb einer Kugel befindet, kontinuierlich aus dem Kugelinnern hinauswandern, ohne die Oberfläche der Kugel zu durchstoßen, sobald man den vierdimensionalen Raum zu Hilfe nimmt. Denn man kann von jedem Punkt des dreidimensionalen Raumes auf einer Geraden lotrecht in den vierdimensionalen Raum hinauswandern, ohne dabei irgendeinen Punkt des ersteren Raumes zu treffen. Bewegt man nun auf diese Weise den Mittelpunkt M einer Kugel im dreidimensionalen Raum aus diesem Raum hinaus, so entfernt sich dieser Punkt gleichmäßig von allen Punkten der Kugeloberfläche, das heißt, er hat zu allen Punkten derselben fortwährend denselben Abstand. Sobald die Entfernung vom Ausgangspunkt M größer wird als der Radius der Kugel, so befindet sich der Punkt außerhalb der Kugel; dies kann sichtbar gemacht werden, indem die entsprechende Gerade in den dreidimensionalen Raum hineingedreht wird.

7 Arthur Schopenhauer (1788-1869): «(Die Welt ist meine Vorstellung): - dies ist eine Wahrheit, welche in Beziehung auf jedes lebende und erkennende Wesen gilt [...]», Die Welt als Wille und Vorstellung I, § 1 [1894], S. 29.

8 Dieses Beispiel wird auch in dem Buch R. Steiners, Die Philosophie der Freiheit (GA 4), angeführt: Kapitel VI, «Die menschliche Individualität», S. 106. Siehe auch den Vortrag vom 14. Januar 1921 (GA 323, S. 252).

9 Auf diese Schwierigkeiten geht R. Steiner in dem Buch Die Philosophie der Freiheit (GA 4), Kapitel IV, «Die Welt als Wahrnehmung», sowie in den Einleitungen zu Goethes Naturwissenschaftlichen Schriften (GA 1), Kapitel IX, «Goethes Erkenntnistheorie», und Kapitel XVI.2, «Das Urphänomen», genauer ein.

10 Diesen Vergleich zieht R. Steiner auch im Vortrag vom 8. November 1908 (GA 108) heran. Dort wird zugleich das Verhältnis von Empfindung, Wahrnehmung, Vorstellung und Begriff näher untersucht.

11 Dies gilt strenggenommen nur für den Übergang eines Kreises in eine Gerade im Rahmen der euklidischen Geometrie. In der projektiven Geometrie fällt der Kreis im Grenzfall mit der festbleibenden Tangente und gleichzeitig mit der unendlich fernen Geraden zusammen (siehe dazu Locher [1937], Kapitel 4, insbesondere S. 69f.). Erst in der durch die Hinzunahme der unendlich fernen Geraden zur projektiven Ebene ergänzten euklidischen Ebene ist ein Durchgang durch das Unendliche möglich (siehe dazu auch Ziegler [1992], Kapitel III).

12 Diese Tatsache knüpft unmittelbar an den geometrischen Sachverhalt an: Das Durchschreiten der Unendlichkeit ist nur möglich, wenn der Bereich der euklidischen Geometrie verlassen wird (siehe dazu Hinweis 11). Mit anderen Worten, der sinnlich vorgestellte Punkt der einen Seite geht nicht in den sinnlich vorgestellten Punkt der anderen Seite über. Was diese beiden sinnlich vorstellbaren Bereiche der Geraden über das Unendliche hindurch verbindet, ist ihre nur im Denken zu erfassende Gesetzmäßigkeit, was sie trennt, ihre vorgestellte Punkterfüllung.

13 Das Bild von Petschaft, Siegellack und Siegelabdruck verwendet R. Steiner wiederholt im Zusammenhang mit erkenntniswissenschaftlichen Erwägungen, die das Verhältnis der objektiven Außenwelt zum individuellen Bewußtsein des Erkennenden betreffen. Entscheidend ist bei diesem Bild, daß auch im physischsinnlichen Bereiche die Übertragung einer Form nicht an die Übertragung eines Stoffes gebunden ist. Siehe dazu etwa die Aufsätze Philosophie und Anthroposophie (GA 35), und Die psychologischen Grundlagen und die erkenntnistheoretische Stellung der Anthroposophie ( G A 35), S. 138.

14 Oskar Simony (1852-1915), Mathematiker und Naturwissenschaftler in Wien. Sohn des Alpenforschers und Geographen Friedrich Simony (1812-1896). Von 1880 bis 1913 Professor an der Wiener Hochschule für Bodenkultur. Seine mathematischen Arbeiten bewegen sich vor allem auf dem Gebiet der Zahlentheorie und der empirisch-experimentellen Topologie von Knoten und zweidimensionalen Flächenstücken im dreidimensionalen Raum (siehe dazu Müller [1931] und [1951]). Die Modelle, von denen Steiner spricht, sind zum Teil in Simonys Abhandlungen abgebildet.

Simonys frühe Beschäftigung mit der Topologie entzündete sich an seiner Auseinandersetzung mit den spiritistischen Experimenten F. Zöllners (siehe Hinweis 5). Er sah sich dadurch veranlaßt, sich mit dem Raumproblem zu beschäftigen, wie es durch die Entdeckung der nichteuklidischen sowie der mehrdimensionalen Geometrie aufgeworfen worden war. Seine Untersuchungen reichten bis in physiologische und erkenntnistheoretische Erwägungen hinein (siehe Simony [1883], [1884] und [1886]). Er war sich klar, daß der empirische und der ideal-mathematische Raum nicht miteinander verwechselt werden dürfen. Als Mathematiker war ihm die Denkbarkeit eines vierdimensionalen Raumes kein Problem. Der These Zöllners, daß sämtliche Gegenstände des dreidimensionalen Raumes Projektionsphänomene von (sinnlich nicht wahrnehmbaren) vierdimensionalen Objekten seien, konnte er aber nicht zustimmen. Es war ihm aber nicht darum zu tun, die Tatsächlichkeit spiritistischer Phänomene pauschal abzuleugnen. Vielmehr plädierte er, wie auch Zöllner, für eine wissenschaftlich exakte Untersuchung derselben. Er stellte Überlegungen an, wie die von Zöllner berichteten spiritistischen Phänomene mit den traditionellen Mitteln der Physik und Physiologie begründet werden, oder zumindest, wie sie mit diesen ohne Widerspruch in Übereinstimmung gebracht werden können (Simony, Spiritistische Manifestationen [1884]). Es war ihm wichtig zu zeigen, daß zur Erklärung dieser Phänomene der dreidimensionale empirische Raum nicht verlassen werden muß. Er wies darauf hin, daß Zöllners Hypothese von der Existenz eines vierdimensionalen Raumes im Widerspruch mit der gewöhnlichen Raumerfahrung steht. Denn falls diese Hypothese richtig ist, wären die Körper des gewöhnlichen dreidimensionalen physikalischen Raumes Schattengebilde, an denen wir beliebige Veränderungen vollführen könnten, ohne einen unmittelbaren Zugriff zum Urbild zu haben (Simony [1881b], § 6, und [1884], S. 20f.). Wie am Beispiel der Schattenprojektion eines dreidimensionalen Körpers auf eine Fläche eingesehen werden kann, ist aber eine Veränderung des Schattens ohne unmittelbaren Zugriff zum schattenwerfenden Gegenstand nicht möglich.

Simony wollte mit seinen topologischen Experimenten die Natur des dreidimensionalen empirischen Raumes, im Gegensatz zu einem gekrümmten oder sonstwie mathematisch-idealen Raum, studieren: «[...] die hier untersuchten Erscheinungen, da sie unserem Sinnenraume angehören, [können] nur in eine empirische Geometrie eingeordnet werden [...], ohne mit der Lehre von den sogenannten höheren Mannigfaltigkeiten an und für sich in irgend eine Beziehung zu treten. Überdies hat der von mir gewählte Entwicklungsgang auch die Gründe ersichtlich gemacht, aus welchen ich bei der Untersuchung der verschiedenen Schnitte erster und zweiter Art, um von jeder denkbaren Hypothese über die Natur unseres Sinnenraumes unabhängig zu bleiben, weder die Hilfsmittel der analytischen Geometrie noch jene der Infinitesimalrechnung benützt habe.» ([1883], S. 963f.)

Was Simony mathematisch besonders interessierte, war das Zustandekommen von Verknotungen von verdrehten, ringförmig oder auch kreuzförmig geschlossenen, aber unverknoteten Flächenstücken; er zeigte, daß solche Flächen so zerschnitten werden können, daß sie einerseits ihre Geschlossenheit nicht verlieren und andererseits bei geeigneten Voraussetzungen eine Verknotung auftritt (Simony [1880], [1881a], [1881b]). Das bekannteste und einfachste Beispiel dieser Art wird von Rudolf Steiner im Vortrag erwähnt: das um 720° verdrehte, ringförmig geschlossene Band.

15 Im vierdimensionalen Raum gibt es keine Verknotungen, das heißt, jeder Knoten in einer geschlossenen Schnur oder in einem geschlossenen Band (Flächenstrei- fen) kann ohne Zerschneidung der Schnur oder des Bandes durch bloße Verzerrung aufgelöst werden.

Felix Klein (1848-1925) scheint der erste Mathematiker gewesen zu sein, der auf diesen Tatbestand Anfang der 70er Jahre des 19. Jahrhunderts aufmerksam wurde. Nach einem Bericht Zöllners [1878a], S. 276, unterhielt sich Klein mit ihm während einer wissenschaftlichen Tagung über dieses Problem, kurz bevor Klein seine Abhandlung [1876], in der er auf dieses Thema nebenbei zu sprechen kommt, veröffentlichte. Klein berichtet ebenfalls von dieser Begegnung und ist der Ansicht, daß er dadurch Zöllner zu seiner These von der Existenz des vierdimensionalen Raumes und dessen Bedeutung für die Erklärung spiritistischer Erscheinungen veranlaßt habe (Klein [1926], S. 169f.). Während Klein [1876], S. 478, bloß auf den allgemeinen Tatbestand aufmerksam macht, führt Hoppe [1879] die Auflösung eines einfachen dreidimensionalen Knotens im vierdimensionalen Raum an einem analytisch gefaßten Beispiel konkret durch (siehe dazu auch Durege [1880] und Hoppe [1880]).

Zöllner, Wirkungen in die Ferne [1878a], S. 272-27'4, argumentiert mit Hilfe einer Analogie, um die Auflösbarkeit von Knoten im vierdimensionalen Raum zu demonstrieren. Er betrachtet zunächst die Auflösung eines zweidimensionalen Knotens in einer geschlossenen Kurve (Figur 70): Ohne Aufschneiden kann die Überkreuzung innerhalb der Ebene nicht aufgelöst werden. Durch die Drehung eines Kurvenstücks um eine Gerade der Ebene durch den dreidimensiona- len Raum hindurch kann aber die Auflösung jeder Überkreuzung ohne Zer- schneiden der Kurve bewerkstelligt werden.

Figur 70

«Überträgt man diese Betrachtungen durch Analogie auf einen Knoten im Räu- me von drei Dimensionen, so sieht man leicht, daß sowohl die Schürzung als Lösung eines solchen Knotens nur durch Operationen ausgeführt werden könne, bei welchen die Elemente des Fadens eine Curve doppelter Krümmung beschreiben müssen.» Ohne Aufschneiden läßt sich dieser Knoten im dreidimensionalen Raum nicht auflösen. «Gäbe es aber unter uns Wesen, welche durch ihren Willen vierdimensionale Bewegungen materieller Körper auszuführen vermöchten, so würden dieselben im Stande sein, derartige Knoten viel schneller zu schürzen und zu lösen, und zwar durch eine Operation, welche der oben bei einem zwei- dimensionalen Knoten beschriebenen vollkommen analog ist. [...] Ich selbst wurde zu den obigen Betrachtungen über die Verschlingung eines biegsamen Fadens in verschiedenen Räumen durch mündliche Unterhaltungen mit Herrn Dr. Felix Klein, Professor der Mathematik in München, angeregt.

Es ist klar, daß bei den oben angedeuteten Operationen vorübergehend die Theile des Fadens aus dem dreidimensionalen Räume für Wesen von gleicher Dimensionalität verschwinden müssen.» (Zöllner [1878a], S. 273-276)

Die Auflösung eines Knotens im dreidimensionalen Raum kann tatsächlich immer dann vollzogen werden, wenn Selbstüberschneidungen zugelassen oder der vierdimensionale Raum hinzugezogen wird. Denn mit Hilfe des letzteren läßt sich das Ergebnis einer Selbstüberschneidung auch ohne Selbstüberschnei- dung erzielen (siehe Seifert/Threlfall [1934], S. 3, 315). Man braucht dazu bloß ein geeignet geformtes Kurvenstück in einer Ebene a um eine Ebene ß durch den vierdimensionalen Raum hindurch zu drehen (Figur 71).

Figur 71

16 Die Verdrehung eines zylindrischen Bandes (Figur 72) um 360° ergibt eine Flä- che (Figur 73), die zur ersteren im vierdimensionalen Raum äquivalent ist. Mit anderen Worten, Verdrehungen um ganzzahlige Vielfache von 360° lassen sich im vierdimensionalen Raum auflösen (siehe weiter unten). Simony war sich vermutlich dieses Tatbestandes bewußt, obwohl er es in seinen topologischen Schriften nicht explizit erwähnt, da es ihm ja gerade um die Besonderheiten des empirischen dreidimensionalen Raumes ging.

Figur 72

Figur 73 und 74

Man beachte, daß dieselbe Überlegung für ein um 180° verdrehtes zylindrisches Band, das sogenannte Möbiusband (Figur 75) nicht durchgeführt werden kann. Diese Fläche hat nur eine Randkurve und kann in keiner Weise (auch nicht über den vierdimensionalen Raum) kontinuierlich und ohne Aufschneiden in ein unverdrehtes Band transformiert werden. (Dies hängt mit der Nichtorientierbarkeit dieser Fläche zusammen; siehe dazu Seifert/Threlfall [1934], § 2. Das Möbiusband wurde zum ersten Mal von Möbius [1865], §11, beschrieben.)

Figur 75

17 Geometrisch kann das (statische) Sehen in der Ebene oder im Raum als Zentralprojektion der Gegenstände der Ebene beziehungsweise des Raumes auf eine Linie beziehungsweise auf einer Fläche aufgefaßt werden. Einem Wesen in einem dreidimensionalen Raum mit einem solchen Sehvermögen erschienen dann alle Gegenstände in ihren Projektionen auf einer Fläche. Von der dritten Dimension hätte dieses Wesen nur dann einen unmittelbaren Eindruck, wenn es dynamisch sehen könnte, das heißt, wenn sein Sehapparat zwei Projektionseinrichtungen zusammen mit der entsprechenden Akkomodationsmöglichkeit enthält. Andernfalls könnte es zwar die dritte Dimension erschließen (wie dies Einäugige aufgrund ihrer mannigfaltigen Erfahrungen und Vergleichsmöglichkeiten tun), aber nicht erleben. Die Tatsächlichkeit des dreidimensionalen dynamischen Sehens beim Menschen ist ein Hinweis auf seine «vierdimensionale Natur», die er allerdings nicht unmittelbar (sinnlich) wahrnehmen, sondern zunächst ebenso nur erschließen kann.

Charles Howard Hinton (1853-1907) kommt aufgrund geometrischer und physikalischer Überlegungen ebenfalls zur Ansicht, daß der Mensch ein vier- oder höherdimensionales Wesen sein muß. «Man kann dafür halten, daß [die Tatsache der] Symmetrie in irgendeiner Dimension Ausdruck einer Tätigkeit in einer höheren Dimension ist. Sehen wir uns lebendige Wesen an, so gibt es Hinweise sowohl in ihrer Struktur [bilaterale Symmetrie] wie in ihren verschiedenen Arten von Tätigkeiten auf ein Etwas, das von außerhalb in die anorganische Welt hineinkommt.» (Hinton, The Fourth Dimension [1904], S. 78; Übersetzung: R. Ziegler.)