Werk:Stoicheia/Buch I./16. Lehrsatz

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Wird an einem Dreieck eine Seite verlängert, dann ist der außen liegende Winkel größer als einer der innen gegenüber liegenden Winkel.

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Wenn die Seite BC eines Dreiecks ABC verlängert wird bis zum Punkt D, dann, sage ich, ist der Winkel ACD größer als der Winkel CBA und auch größer als der Winkel BAC.

Denn wird AC im Punkt E in zwei gleiche Teile geteilt, die Strecke BE mit der Strecke EF gleicher Länge verlängert, wird FC gezogen und AC bis G verlängert, dann ist AE gleich EC und BE gleich EF.

Also sind die Seiten AE und EB des einen Dreiecks gleich CE und EF des andern, ebenso sind auch die von ihnen eingeschlossenen Winkel AEB und FEC gleich und auch die Grundseiten AB und FC der Dreiecke ABE und FEC, die somit übereinstimmen.

Damit ist der Winkel BAE gleich ECF, aber der Winkel ECD größer als ECF.

Also ist der Winkel ACD größer als BAE. Da BC in zwei gleiche Teile geteilt ist, sind die Winkel BCG und ACD größer als ABC und auch größer als BAC.

Deshalb ist, nach Verlängerung einer Seite eines Dreiecks, der äußere Winkel größer als einer der innen gegenüber liegenden Winkel, was zu zeigen war.