Werk:Stoicheia/Buch I./26. Lehrsatz

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Sind bei zwei Dreiecken zwei Winkel des einen gleich zwei Winkeln des andern und ist entweder die Seite zwischen den Winkeln oder eine, die einem der gleichen Winkel gegenüber liegt, des einen Dreiecks gleich derjenigen im anderen, dann sind auch die übrigen Seiten und der übrige Winkel im einen gleich denjenigen im andern.

Wenn in den Dreiecken ABC und DEF die Winkel ABC und BCA gleich den Winkeln DEF und EFD sind, die einen im einen gleich den andern im andern, also der Winkel ABC gleich DEF und der Winkel BCA gleich EFD ist, und die Seiten zwischen den Winkeln gleich sind, also BC gleich EF ist, dann, sage ich zunächst, sind auch die übrigen Seiten gleich, also AB gleich DE und AC gleich DF, und auch der übrige Winkel BAC ist gleich EDF.

Denn ist AB der Seite DE nicht gleich, dann ist eine davon größer, es sei dies AB. Es ist dann von AB eine Strecke BG, die gleich DE ist, abzuteilen und GC zu ziehen.

Also ist dann BG gleich DE und BC gleich EF, die zwei Seiten BG und BC den Seiten DE und EF gleich, jeweils eine der anderen, womit der Winkel GBC gleich DEF ist.

Da dann GC gleich DF ist und damit das Dreieck GBC mit dem Dreieck DEF übereinstimmt, sind die übrigen Winkel im einen gleich den Winkeln im andern und ebenso die übrigen Seite.

Es dann ist der Winkel GCB gleich DFE und DFE gleich BCA, also BCG gleich BCA, der kleinere dem größeren, was nicht möglich ist.

Also ist AB der Seite DE nicht ungleich, sondern gleich. Da BC gleich EF ist, sind die Seiten AB und BC gleich den Seiten DE und EF, jeweils die eine der anderen, somit ist der Winkel ABC gleich DEF. AC ist damit gleich DF und der Winkel BAC gleich EDF.

Sind dagegen die beiden Seiten, die einem der gleichen Winkel gegenüber liegen, gleich, ist also AB gleich DE, dann, sage ich auch, sind auch die übrigen Seiten gleich, also AC gleich DF und BC gleich EF, und auch der übrige Winkel BAC ist gleich EDF.

Denn ist BC der Seite EF nicht gleich, dann ist eine davon größer, es sei dies BC.

Es dann von BC eine Strecke BH, die gleich EF ist, abzuteilen und AH zu ziehen.

Also ist dann BH gleich EF und AB gleich DE, die zwei Seiten AB und BH den Seiten DE und EF gleich, jeweils die eine der anderen, und schließen den gleichen Winkel ein.

Da dann AH gleich DF ist und damit das Dreieck ABH mit dem Dreieck DEF übereinstimmt, sind die übrigen Winkel im einen gleich den Winkeln im andern und ebenso die übrigen Seite.

Es dann ist der Winkel BHA gleich EFD und der Winkel EFD gleich BCA, also BHA gleich BCA, der äußere Winkel BHA im Dreieck AHC dem innen gegenüber liegenden Winkel BCA, was nicht möglich ist.

Also ist BC der Seite EF nicht ungleich, sondern gleich. Da AB gleich DE ist, sind die Seiten AB und BC gleich den Seiten DE und EF, jeweils die eine der andern, somit ist das Dreieck ABC gleich dem Dreieck DEF und der übrige Winkel BAC gleich EDF.

Deshalb sind in zwei Dreiecken, in denen zwei Winkel und entweder die Seiten zwischen den Winkeln oder Seiten, die gleichen Winkeln gegenüber liegen, gleich sind, auch die übrigen Seiten gleich und der übrige Winkel, was zu zeigen war.