Werk:Stoicheia/Buch I./34. Lehrsatz
Im Parallelogramm sind gegenüber liegende Seiten und Winkel gleich und es teilt die Diagonale das Parallelogramm in zwei gleiche Teile.
Das Parallelogramm ACDB mit Diagonale BC, sage ich, hat gegenüber liegende gleiche Seiten und Winkel und die Diagonale BC teilt es zwei gleiche Teile.
Denn da AB und CD Parallelen sind, die von BC geschnitten werden, sind die wechselseitigen Winkel ABC und BCD gleich. Da auch AC und BD Parallelen sind, die von BC geschnitten werden, sind die wechselseitigen Winkel ACB und CBD gleich.
Also haben die Dreiecke ABC und BCD die gleichen wechselseitigen Winkel ABC, BCA und BCD, CBD und die gemeinsame Seite BC.
Damit liegen auch ihre übrigen Seiten an gleichen wechselseitigen Winkeln und es ist AB gleich CD, AC gleich BD und der Winkel BAC gleich CDB.
Da der Winkel ABC gleich BCD und der Winkel CBD gleich ACB, ist ABD gleich ACD.
Wie gezeigt, ist auch der Winkel BAC gleich CDB.
Deshalb sind im Parallelogramm gegenüber liegende Seiten und Winkel gleich.
Ich sage nun, die Diagonale teilt es in zwei gleiche Teile. Da AB gleich CD ist, sind mit der gemeinsamen Seite BC die Seiten AB, BC und CD, BC jeweils gleich und der Winkel ABC ist gleich BCD. Also stimmen die Dreiecke ABC und BCD überein.
Deshalb teilt die Diagonale BC das Parallelogramm ABCD in zwei gleiche Teile, was zu zeigen war.