Werk:Stoicheia/Buch I./5. Lehrsatz
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel auf der Grundseite, auf der die Schenkel errichtet sind, gleich und, bei Verlängerung der beiden Schenkel, auch die Winkel darunter.
Wenn das Dreieck ABC die beiden gleichen Seiten AB und AC hat, dann, nach Verlängerung der Seiten AB und AC um BD und CE, sage ich, ist der Winkel ABC gleich dem Winkel ACB und der Winkel CBD gleich dem Winkel BCE.
Von einem beliebigen Punkt F auf BD ist die Gerade FC zu ziehen, von der ganzen Strecke AE eine der AF gleiche Strecke AG abzuschneiden und die Gerade GB zu ziehen.
Da dann AF gleich AG ist und AB gleich AC, sind die beiden Strecken FA und AC den beiden Strecken GA und AB gleich und die einen und die anderen der beiden schließen den gemeinsamen Winkel FAG ein.
Also ist FC gleich GB und das Dreieck AFC ist gleich dem Dreieck AGB, damit auch die übrigen Winkel, die von jeweils gleichen Seiten eingeschlossen werden.
Also ist der Winkel ACF gleich dem Winkel ABG. Da AF gleich AG und deren Teile AB und AC gleich sind, ist auch BF gleich CG.
Da gezeigt wurde, dass FC gleich GB ist, sind die Strecken BF und FC gleich den Strecken CG und GB. Die gleichen Winkel BFC und CGB liegen unter der Grundseite BC, also ist das Dreieck BFC gleich dem Dreieck FGB und damit auch die übrigen Winkel, die von jeweils gleichen Seiten eingeschlossen werden. Damit ist der Winkel FBC gleich dem Winkel GCB und der Winkel BCF gleich dem Winkel CBG.
Da, wie gezeigt, die Winkel ABG und ACF gleich sind und als deren Teile die Winkel CBG und BCF, sind auch die Winkel ABC und ACB gleich, die auf der Grundseite des Dreiecks ABC liegen.
Dass auch die Winkel FBC und GCB, die unter der Grundseite liegen, gleich sind, wurde ebenfalls gezeigt.
Deshalb sind im gleichschenkligen Dreieck, die Winkel, die auf der Grundseite liegen, gleich und, nach Verlängerung de Schenkel, auch die Winkel unter der Grundseite, was zu zeigen war.