Werk:Stoicheia/Buch I./7. Lehrsatz

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Treffen sich, von den Endpunkten einer Strecke aus, zwei gerade Strecken in einem Punkt, dann können zwei andere auf derselben Strecke errichtete paarweise gleiche gerade Strecken sich nicht in einem anderen Punkt treffen, als die beiden ersten.

Wenn von den Endpunkten der Strecke AB ausgehend, zwei gerade Strecken AC und BC sich im Punkt C treffen, dann, sage ich, treffen sich zwei andere Strecken, die eine gleich AC von A ausgehend, die andere gleich BC von B ausgehend, in keinem anderen Punkt als C.

Denn treffen sie sich nicht im Punkt C, dann sei D der Punkt in dem sie sich treffen.

Es sind dann die Strecken AC und CB gleich den Strecken AD und DB. CA und DA treffen sich dann im Punkt A, sowie CB und DB im Punkt B.

Es ist dann die Strecke CD zu ziehen.

Da AC gleich AD, ist der Winkel ACD gleich dem Winkel ADC.

Damit ist der Winkel ADC größer als DCB und noch größer ist CDB als DCB. Da CB gleich DB, ist aber der Winkel CDB gleich dem Winkel DCB, der mehrfache gleich dem kleineren, was, wie gezeigt, nicht möglich ist.

Deshalb trifft sich, von den Endpunkten einer Strecke aus, das eine von zwei gleichen Streckenpaaren in keinem anderen Punkt wie das andere, das von den gleichen Punkten ausgeht, was zu zeigen war.