Werk:Stoicheia/Buch II./8. Lehrsatz
Wird eine Strecke geteilt und um eines der Teile verlängert, dann sind vier der Rechtecke, die die Strecke mit diesem Teil ergibt, zusammen mit dem Quadrat über dem anderen Teil gleich dem Quadrat über der verlängerten Strecke.
Wenn eine Strecke AB im Punkt C geteilt und um CB bis D verlängert wird, dann, sage ich, sind vier Rechtecke aus AB mit CB zusammen mit dem Quadrat über AC gleich dem Quadrat über AD.
Es ist die Strecke AB in C zu teilen und in B um BD, das gleich CB ist, bis D zu verlängern.
Sodann das Quadrat AEFD über AD zu errichten, die Diagonale DE zu ziehen, durch C und B die zwei zu AE und DF parallelen CH und BL, sowie durch K und Q die zwei zu AD und EF parallelen MN und OP zu legen.
Dann ist CB gleich BD, CB gleich GK, BD gleich KN, somit GK gleich KN.
Aus den gleichen Gründen ist QR gleich RP.
Da BK gleich DN, DN gleich NP und KR gleich NP, ist auch BK gleich KR.
Aus den gleichen Gründen ist CG gleich GQ.
Also ist das Quadrat über CB gleich dem Quadrat über BD und das Quadrat über GK gleich dem Quadrat über KN, somit ist das Quadrat über CB gleich dem Quadrat über KN.
Da diese vier Quadrate einander gleich sind und sich zum Quadrat über CD ergänzen, ist das Quadrat über CD gleich vier Quadraten über CB.
Es ist das Rechteck aus AC mit CG gleich dem aus MG mit GQ und das Rechteck aus QR mit RL gleich dem aus RP mit PF. Im Quadrat über MK ist das Rechteck aus MG mit GQ gleich dem Rechteck aus QR mit RL. Also sind diese vier Rechtecke gleich und zusammen gleich vier Rechtecken aus AC mit CG.
Das Rechteck aus AC mit CG zusammen mit dem Quadrat über CG ist gleich dem Rechteck aus AB mit BK.
Damit ist das Gnomon ADFQ gleich vier Rechtecken aus AB mit BK, und weil CB gleich BK ist, auch gleich vier Rechtecken aus AB mit CB.
Beidem das Quadrat über OQ, das gleich dem Quadrat über AC ist, hinzugenommen, ist das Quadrat über AD gleich vier Rechtecken aus AB mit BC und dem Quadrat über AC zusammen, denn das Gnomon ADFQ zusammen mit dem Quadrat über OQ ist das Quadrat über AD.
Ist deshalb eine Strecke geteilt und um eines der Teile verlängert, dann sind vier Rechtecke, die sich aus der Strecke und diesem Teil ergeben zusammen mit dem Quadrat über dem anderen Teil gleich dem Quadrat über der verlängerten Strecke, was zu zeigen war.