Werk:Stoicheia/Buch III./1. Lehrsatz
Den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises auffinden.
Es sei der Kreis ABC gegeben; es soll sein Mittelpunkt gefunden werden.
Wird eine beliebige Gerade AB durch den Kreis ABC gelegt und im Punkt D zwischen den Schnittpunkten in zwei gleiche Teile geteilt, im Punkt D die Senkrechte CD errichtet und bis E verlängert, schließlich CE in F in zwei gleiche Teile geteilt, dann, sage ich, ist F der Mittelpunkt.Denn ist er es nicht, dann ist es anderer Punkt G und es GA, GD und GB zu ziehen.
Da AD und DB gleich sind und die Senkrechte DG gemeinsam haben, sind die einen beiden Strecken AD und DG gleich den anderen beiden GD und DB. Somit sind GA und GB gleiche Radien und auch der Winkel ADG ist gleich GDB. Wenn eine auf einer anderen errichteten Strecke gleiche Winkel mit ihr bildet, dann sind dies rechte Winkel. Also ist GDB ein rechter Winkel. Es ist auch FDB ein rechter Winkel, somit ist der Winkel FDB gleich GDB, der größere dem kleineren, was nicht möglich ist.
So wie gezeigt ist, dass G nicht der Mittelpunkt des Kreises ABC ist, so kann auch gezeigt werden, dass kein anderer Punkt als F Mittelpunkt ist.
Deshalb ist der Punkt F der Mittelpunkt des Kreises ABC. Was auszuführen war.
Zusatz: Offenbar liegt im Kreis auf einer Geraden, die eine schneidende Gerade zwischen den Schnittpunkten in zwei gleiche Teile teilt und mit ihr rechte Winkel bildet, der Mittelpunkt des Kreises.